北京17年高考数学试卷

北京17年高考数学试卷一、选择题

1.下列各式中，能够表示直线\(y=2x+3\)的方程是：（）

A.\(2x+y=3\)

B.\(y-2x=3\)

C.\(x+2y=3\)

D.\(2x-y=-3\)

2.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\）的图像开口向上，则下列条件中正确的是：（）

A.\(a>0,b>0,c>0\)

B.\(a>0,b<0,c<0\)

C.\(a<0,b>0,c>0\)

D.\(a<0,b<0,c<0\)

3.下列函数中，为奇函数的是：（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=x^3\)

D.\(f(x)=e^x\)

4.在\(\triangleABC\)中，若\(a=3,b=4,c=5\)，则\(\sinA+\sinB+\sinC\)的值是：（）

A.6

B.5

C.4

D.3

5.下列不等式中，正确的是：（）

A.\(a^2>b^2\)，则\(a>b\)

B.\(a^2>b^2\)，则\(a<b\)

C.\(a^2>b^2\)，则\(a>b\)或\(a<-b\)

D.\(a^2>b^2\)，则\(a>b\)或\(a<b\)

6.在复数\(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\））中，若\(z\)的实部\(a=2\)，虚部\(b=-3\)，则\(z\)的模是：（）

A.5

B.2

C.3

D.1

7.下列各式中，能够表示圆\(x^2+y^2=4\)的方程是：（）

A.\((x-2)^2+(y-2)^2=4\)

B.\((x-2)^2+(y-2)^2=1\)

C.\((x+2)^2+(y+2)^2=4\)

D.\((x+2)^2+(y+2)^2=1\)

8.下列各式中，能够表示椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的方程是：（）

A.\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)

B.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=0\)

C.\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=0\)

D.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)

9.若函数\(f(x)=\log_2(x+1)\)在定义域内单调递增，则\(x\)的取值范围是：（）

A.\(x>-1\)

B.\(x\geq-1\)

C.\(x\leq-1\)

D.\(x<-1\)

10.在\(\triangleABC\)中，若\(a=5,b=7,c=8\)，则\(\cosA\)的值是：（）

A.\(\frac{7}{25}\)

B.\(\frac{8}{25}\)

C.\(\frac{9}{25}\)

D.\(\frac{10}{25}\)

二、判断题

1.指数函数\(f(x)=a^x\)（\(a>1\)）在定义域内单调递增。（）

2.对数函数\(f(x)=\log_a(x)\)（\(a>1\)）的图像是一条经过点\((1,0)\)的直线。（）

3.函数\(f(x)=\sqrt{x}\)在\(x\geq0\)时是增函数。（）

4.等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)中，\(d\)表示公差，\(a_n\)表示第\(n\)项。（）

5.在复数平面内，若\(z_1\)和\(z_2\)是两个复数，且\(z_1=z_2\)，则它们的实部和虚部分别相等。（）

三、填空题

1.函数\(f(x)=3x^2-4x+1\)的顶点坐标是______。

2.若等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，则第\(n\)项\(a_n\)的表达式是______。

3.在复数\(z=2-3i\)中，\(z\)的模是______。

4.解不等式\(x^2-5x+6<0\)的解集是______。

5.若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是______。

四、简答题

1.简述一次函数图像与系数的关系，并给出一次函数图像的两种特殊情况。

2.解释等差数列和等比数列的定义，并分别给出一个实例。

3.说明复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并举例说明。

4.描述如何判断一个一元二次方程的根的性质（有两个相等的实数根、两个不同的实数根或两个复数根）。

5.举例说明如何使用三角函数解决实际问题，如计算直角三角形的角度或边长。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4x+3}{x^2+2x-3}\]

2.解下列一元二次方程：

\[3x^2-5x+2=0\]

3.已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求该数列的通项公式和前10项的和。

4.计算复数\(z=2+3i\)和\(w=4-i\)的乘积。

5.已知直角三角形的斜边长为10，且一个锐角为30度，求该直角三角形的两个锐角和三边长。

六、案例分析题

1.案例分析：某城市交通管理部门为了缓解交通拥堵，决定实施单双号限行措施。假设该城市的车辆总数为\(N\)辆，限行措施规定每天只有奇数号或偶数号的车辆可以上路。请问：

a)如何确定单双号限行的具体日期，使得限行效果最佳？

b)如果某天有\(k\)辆限行车辆因为特殊原因无法上路，如何调整限行规则以最小化对交通的影响？

2.案例分析：某公司为了提高员工的工作效率，决定实施绩效考核制度。公司设有三个部门，每个部门有10名员工。根据上一年度的业绩，每个部门的前三名员工将获得奖金。假设今年的业绩分布如下：

a)每个部门的业绩分布为：部门A（5,4,3,2,2,2,2,1,1,1），部门B（4,4,3,3,3,3,2,2,2,1），部门C（3,3,3,3,2,2,2,2,1,1）。请根据这些数据计算每个部门的前三名员工的奖金分配比例。

b)如果公司希望奖金分配更加公平，是否应该调整分配比例？请说明理由并给出调整后的建议。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，计划在5天内完成。第一天完成了总量的20%，第二天完成了总量的30%，剩下的3天内完成了剩余的全部任务。如果每天的工作效率保持不变，求每天完成的产品总量。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)（\(x,y,z>0\)），体积为\(V\)。已知长和宽的比为\(2:3\)，宽和高的比为\(3:4\)，求长方体的表面积\(S\)关于\(V\)的函数关系式。

3.应用题：一个班级有30名学生，其中男生人数是女生人数的1.5倍。在一次数学考试中，男生平均分为80分，女生平均分为70分。求整个班级的平均分。

4.应用题：某商品的售价为\(P\)元，成本为\(C\)元，已知商品的利润率是固定的，且利润率为\(r\)。如果售价提高10%，利润率降低到\(r-0.05\)，求新的售价与原售价的比。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.A

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.D

9.A

10.B

二、判断题

1.正确

2.错误

3.正确

4.正确

5.正确

三、填空题

1.\((\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\)

2.\(a_n=a_1+(n-1)d\)

3.5

4.\(\{x|2<x<3\}\)

5.5

四、简答题

1.一次函数图像与系数的关系：一次函数\(y=ax+b\)的图像是一条直线，斜率\(a\)表示直线的倾斜程度，截距\(b\)表示直线与y轴的交点。当\(a>0\)时，直线从左下到右上倾斜；当\(a<0\)时，直线从左上到右下倾斜；当\(a=0\)时，直线平行于x轴。一次函数图像的特殊情况包括：斜率\(a=0\)时，直线平行于x轴；截距\(b=0\)时，直线通过原点。

2.等差数列：等差数列是一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数。例如：1,3,5,7,9，这是一个公差为2的等差数列。等比数列：等比数列是一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数。例如：2,4,8,16,32，这是一个公比为2的等比数列。

3.复数的基本运算：复数\(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\））的加法：\(z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\)；减法：\(z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i\)；乘法：\(z_1\cdotz_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i\)；除法：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a_1+b_1i)}{(a_2+b_2i)}=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}\)。

4.判断一元二次方程的根的性质：如果判别式\(b^2-4ac>0\)，则方程有两个不同的实数根；如果\(b^2-4ac=0\)，则方程有两个相等的实数根；如果\(b^2-4ac<0\)，则方程有两个复数根。

5.使用三角函数解决实际问题：例如，计算直角三角形的锐角大小，可以使用正弦、余弦或正切函数；计算直角三角形的边长，可以使用勾股定理。

五、计算题

1.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4x+3}{x^2+2x-3}=1\)

2.\(3x^2-5x+2=0\)的解为\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)

3.等差数列的通项公式为\(a_n=3+2(n-1)=2n+1\)，前10项和为\(S_{10}=10\times3+\frac{10\times9}{2}\times2=95\)

4.\(z\cdotw=(2+3i)\cdot(4-i)=8-2i+12i-3=5+10i\)

5.30度角的正弦值为\(\frac{1}{2}\)，所以斜边长为\(10\times\frac{1}{2}=5\)，另一个锐角为60度，斜边对应的两直角边长分别为3和4。

六、案例分析题

1.a)单双号限行的具体日期可以根据车辆总数\(N\)的奇偶性来确定。如果\(N\)是偶数，则奇数号和偶数号车辆各限行一半天；如果\(N\)是奇数，则奇数号车辆限行一天多，偶数号车辆限行一天少。限行效果最佳的方法是观察每天的交通流量，根据流量数据调整限行日期。

b)当有\(k\)辆限行车辆无法上路时，可以调整限行规则为：奇数号车辆限行\(k\)天，偶数号车辆限行\(k-1\)天，或者反之。这样可以最小化对交通的影响。

2.a)部门A的前三名奖金比例为\(5:4:3\)，部门B的前三名奖金比例为\(4:3:3\)，部门C的前三名奖金比例为\(3:3:3\)。

b)为了更加公平地分配奖金，可以调整分配比例为所有部门的前三名奖金比例相同，例如都按照\(4:3:3\)的比例分配。

本试卷涵盖了数学中的多个知识点，包括：

-函数与图像

-数列

-复数

-不等式

-极限

-三角函数

-应用题

-案例分析

-统计与概率

各题型所考察的知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如函数的图像、数列的