2023届高考数学二轮复习试题专题02 函数与方程 （解析版）

专题02函数与方程

一、核心先导

二、考点再现

【考点1】函数的零点

对于一般函数y=f(x),xeD,我们把使/(x)=O成立的实数x叫做函数

y=/(%),%的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=/(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=/(X)的图象与X轴

的交点的横坐标

即方程/。)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与1轴有交点<=>函数y=/(x)有零点.

【考点3】零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间3,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/3>/S)vO,

那么，函数y=F(x)在区间(兄坊内有零点，即存在C£(a,b),使得f(c)=0,这个C也

就是方程f(x)=o的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

【考点4】二分法

对于在区间上连续不断且/(〃),/(份<0的函数y=f(x),通过不断地把函数的零

点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法.求方程/(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.

【考点5】高频考点技巧

①若连续不断的函数/(x)是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数尸(X)=/(x)-g(x)有零点Q方程/(X)=0有实数根=函数y=f(x)与

必=g(x)的图象有交点；

④函数尸(x)=/(X)-a有零点=方程厂(幻=0有实数根o函数,二f(x)与%=。的

图象有交点04£{yly=/(%)),其中〃为常数.

三、解法解密

方法一：确定函数f(力零点个数［方程Ax)=0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数F(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程/'(»=()的判别式小

>0,A=0,AV。来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二

次函数的图象进行判断.

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图

象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.

(3)若函数FJ)在S，⑸上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又M-f(b)

<0,则尸f(x)在区间(搐6)内有唯一零点.

方法二：导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数y=/(为的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤:

①构造函数〃(x)=f(x)-g(x);

②求导”(x);

③研究函数以X)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；

④画出函数人。)的草图，观察与X轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数y=/(幻的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点

存在性定理求解.

四、考点解密

题型一:判断零点所在区间

例1.(1)、(新疆疏勒县八一中学2018.2019学年高二上期末)

2

函数/(x)=ln(x+l)--的一个零点所在的区间是()

X

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

2

【解析】由题得/(l)=ln2—,=ln2—2<0,

2

/(2)=ln3--=ln3-l>0.

所以“1)/(2)<0,

2

所以函数"x)=ln(x+l)-嚏的一个零点所在的区间是(1,2).

故选：B

(2)、(2022•北京市西城外国语学校高一期中)函数f0)=9-丁零点所在的一个区间是

x

()

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理判断即可.

【详解】令〃不)=；-炉=0,解得：x=61>0,只有一个零点.

M/(l)=y-l=5>0,/(2)=|-4=-1<0,

由零点存在性定理知，函数〃幻=9--零点所在的.个区间是(1,2).

x

故选：C.

【变式训练1-11.(2019•浙江湖州高一期中)函数/(%)=lnx+2x-3的零点所在的区间

是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

函数y=lnx是(0,+8)上的增函数,y=2x-3是R上的增函数，

故函数/W=lnx+2x-3是（0,+8）上的增函数.

/（l）=lnl+2-3=-l<0,/（2）=ln2+2x2-3=ln24-l>0,

则xw（0,1）时J（x）<0；XG（2,-oo）时J（x）>0,

因为/（I）•/（2）<0,所以函数/（x）=lnx+2x-3在区间（1,2）上在任零点.

故选:B.

【变式训练1-2】、（2020•内蒙古•北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数

/（X）=g-10g2X的零点所在区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（4,+8）

【答案】C

【分析】先判断出函数的单调性，然后得出/（3）,/（4）的函数符号，从而得出答案

【详解】由y=2在（0,y。）上单调递减，丁=182彳在（。,入）上单调递增，

X

所以函数f（x）=gTog2X在（0,物）上单调递减，

431

又〃3）=2-唾23=嚏27>0,〃4）=5-陛24=-5<0,

所以由零点存在定理可得函数在（3,4）之间存在零点，

故选：C

题型二:零点个数的判断

例2.（1）、（2008・湖北•高考真题（文））方程2-*+/=3的实数解的人数为.

【答案】2

【详解】因为2-'=3-炉,作出函数）,=2一二y=3-/的图像，从图像可以观察到两函数的图

像有两个公共点，所以方程2-*+/=3的实数解的个数为2.

（2）、（2022•四川省泸县第二中学模拟预测）函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.

【详解】由于函数/（X）在（0,+R）上是增函数，K/（l）=-4<0,/（3）=ln3>0,

故函数在（1,3）上有唯一零点，也即在（0,”）上有唯一零点.

故选：B.

【变式训练2-1】•(2020•张家口市第一中学高一月考)函数llgxl的零点个数

为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

由题意可知零点个数转化为5=旭H的交点个数，作出图象即可求解

【详解】

函数/(x)=J-|igx|,由/(同=0,可得/-ligM，作出y=9和y=|lgH的图象,

由图象可得它们有2个交点，则“X)的零点个数为2,

故选：C.

X2+2xx40

【变式训练2-2】.(2021•陕西•西安中学模拟预测)已知函数卜।,则函

|lgr|,x>0

数g(x)=〃l-x)T的零点个数为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】通过解法方程g(x)=0来求得g(x)的零点个数.

【详解】由g(x)=O可得=

当xWO时,x2+2x=\=>x=-\-\f2或x=-1+&(舍去)，

当x>0时，忸4=1=工=10或%=\.

故l-x=-l-垃nx=2+右是g(%)的零点，

1T=10=X=-9是g(x)的零点，

1n

I—"=而="=正是屋"的零点.

综上所述，g(x)共有3个零点.

故选：C

题型三:根据零点个数，求解析式中参数的范围

例3.(1)、(2021•广东•东莞市东方明珠学校模拟预测)若关于x的方程2^-3/+。=0

在区间[-2,2]上仅有一个实根，则实数。的取值范围为()

A.[-4,0]B.(1,28]C.[T0)J(l,28]D.[<0)51,28)

【答案】C

【分析】设/*)=2丁-3/+。，可得函数递增递减区间，由函数在区间[-2,2]上仅有一个零

点，列出方程可得。的取值范围.

【详解】解：设/(幻=21一3f+a,可得/'(%)=6/-61=6工(％-1),工£[一2,2],

令/'(x)之0,可得一24xW0」Wx《2,令/'(x)<0,可得Ovxvl,

可得函数递增区间为“2,0),(1,2],递减区间为(0,1),

由函数在区间卜2,2]上仅有一个零点，/(-2)=a-28J(O)=aJ(l)=a-1,

〃2)=a+4,若/(O)=a=O,则八幻二/0^一①，显然不符合题意，故/(0)/0,

/(-2)=a-28<0

f(0)=a<0

-/(0)=a>0或

/(2)=«+4>0

f(l)=a-l>0

可得lva«28或TWavO,

故选C.

【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中

档题.

(2)、(2022•山西•模拟预测)已知函数〃力=二十八：出4：1，若函数y=/(,r)_2有三

lnx+l,x>l,

个零点，则实数。的取值范围是：)

A.(-co⑵B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+oo)

【答案】C

【分析】先求出xNl时，函数有一个零点，故x<l时，函数有两个零点，令

g(x)=x2+4x+a-2,由g⑴>0且g(-2)<0解出。的取值范围即可.

【详解】函数<,，二’当xNl时，方程/(力=2.可得lnx+l=2.解得x=e,

lnx+l,x^l,

函数有一个零点,

则当XV1时，函数有两个零点，即/+44+。=2,在XV1时有两个解.

设g(x)=x2+4x+a-2,其开口向上，对称轴为：x=-2,g(x)在(-oc,-2)上单调递减，在

(-2,+00)上单调递增，所以g⑴>0,且g(-2)<0,解得-3<a<6.

故选：C.

【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考

题型.

【变式训练3-1】,(2020•湖南•雅礼中学模拟预测)己知定义在R上的函数

In1

/(X)=|I,,若函数="力-"恰有2个零点，则实数。的取值范围是()

A*2一斗1

A.(―,ljB.(-

C.(f-l)jgl)u{0}D.(-l,0)U{0}ugl)

【答案】C

【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直

线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出。的范围.

【详解】/(x)-av=0=>/(x)=ar,所以函数y=/(%)的图象与直线有两个交点，

Inx,x>1

作出函数〃力=।2_I〈［的图象，如下图，

\x-,X—1

由f(x)=lnx得八x)=L设直线丁=以与，Cv)=lnX图象切点为P(x。,%),则。=，=比=11殳,

Xo=e,所以"=；=

由/(x)=x-f得f<x)=l-2x,/(0)=1,y="与y=x-彳2在原点相切时，々=1,

由/(x)=f一”得r(x)=2x-l,/\0)=-1,y=⑪与y="2-%在原点相切时，a=-\,

所以直线丁二%，y=f,y与曲线/(x)相切，

e

由直线产勿与曲线丁=/(外的位置关系可得:

当aw(-oo,一点,即函数y=&(%)恰有两个零点.

故选：c

【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转

化为函数图象与直线交点个数，匕出函数图象与直线通过数形结合思想求解.

/、］—|1_X|,0KXK2

【变式训练3-2】、(2022•云南保山•模拟预测(理))已知函数/")=、，'o-Q,

Lj(X—ZI,Z<XSo

若方程"X)=心恰好有四个实根，则实数〃的取值范围是()

【答案】D

【分析】画出〃力的图象，根据/(力与g*)=丘的图象有4个交点来求得女的取值范围.

(x04x«1

【详解】当*W0,2］时，-一八,『3的图象向右平移2个单位，

［2-x,l<x<2

再把纵坐标变为原来的2倍，得到2f(x-2)的图象，也即外可在区间［2,4］上的图象.

以此类推，则f(x)在区间［0,8］上的图象如图所示.

记ga)=日，若方程/(灯=点恰好有四个实根，

则函数/(*)与g(x)的图象有且只有四个公共点，

248

由图得，点41,1),B(3,2),C(5,4),。(7,8),则七.=1,Aoe=1,味=］，%=］，则

所以/(⑼与g(x)的图象有且只有四个公共点时VI.

故选：D

题型四:根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系

3x

ex<0

例4.（1）.（2022•吉林•东北师大附中模拟预测）已知函数/。）=J-,J?（X）=-X2+2X

3xtx>0

（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程网幻=葭/（为）-切恰有三个不同的零点

外,在再，且王<々<X3，则3%-与+3玉的最大值为（）

34

A.1+ln-B.l+ln-C.3-ln3D.3+ln3

43

【答案】A

【分析】根据解析式研究/⑴、双幻的函数性质，由尸（%）零点个数知g。）与¥=帆的交点

横坐标一个在（OJ上，另一个在。,内）上，数形结合可得Ovmvl,g（Q=g&）=加且

0<r,<l<r2<2,r,+r2=2,进而可得玉=竽刍=鼻=全代入目标式，再构造函数研究

最值即可得解.

【详解】由/⑺解析式，在（Y,0］上八X）单调递增且值域为（0中，在©E）上J3单调递

增且值域为。内），

所以，/（*）的值域在（01］上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在―）上任意函数值

都有一个x值与之对应，

要使尸*）=g（/。））一加恰有三个不同的零点不与，七，则g。）与y=〃，的交点横坐标一个在

9,1］上，另一个在（1,竹）上，

由上图知：0cMvl,此时g（G=g（，2）=机且0<4<1<，2<2,%+q=2,

结合/（x）图象及玉v々〈占有e''=3勺=八，3X3=t2,则用=3、'2=jj,

=

所以3%一x?+3xjIn/|—=In/)—+2,且0</t<1,

4I43—4x

令〃(x)=lnx——x+2且Ovxvl,则〃(x)=----=-----,

3x33x

当xe(O,3=)时〃*)>0,僦功递增；当"£(3=』)时"0<0,力(功递减；

44

333

所以人(x)a=M-)=ln-+l,故3%-超+3玉最大值为111了+1.

444

故选：A

【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断g(x)与的交点横坐标Z"2的范围，进

而得到与4石的关系，代入目标式并构造函数研究最值.

(2).(2021•普宁市第二中学高三月考)已知函数=。若

/(君)=/(毛)=/(不)=/(/)(8"2，"3，后互不相等)，则为+/+X3+玉的取值范围是()

A.卜网B.一；,0

C•［碍D.(0,1

【答案】D

【分析】

先画函数图象，再进行数形结合得到石+勺=-2和加氏天|二|隆2%|，结合对勾函数单调性

解得,+总的范围，即得结果.

【详解】

作出函数y=f(x)的图象，如图所示：

设小吃＜工3〈心，则％+“2X(-1)=-2.

因为|log2W卜|log2.q|,所以一108/3=1。82七，

fiffWlog2+log2x4=log2(XjX4)=0,所以工3%=1,即

当|k）g2M=l时，解得x=T或x=2,所以1VZK2.

因为函数y=x+9E（E）上单调递增，所以；+廿+232,即2%+凡《

所以Ov^+W+W+x4KB.

故选：D.

3w-l,（x<l）

【变式训练4・1】.（2021•云南红河•模拟预测（文））已知函数216,「

--^-4x+y,（x>,）

若为<々<与<%，且/（内）=/&）=〃毛）=〃七），则笠&的取值范围是（）

A.（—8,—5）B.（5,8）C.（8,11）D.（—11,—8）

【答案】A

【分析】作出图形，设/（幻二〃%）=/（玉）=/（七）=3则0</<2,分析得出为=-2,

七工4=与主，结合一次函数的基本性质可求得弩•的取值范围.

2x\

【详解】如下图所示，〃x）=〃毛）=/（毛）=〃七）=，则0<z<2,

_1_6_f

且与、勺是方程9-4x+?=f的两个根，所以演“吃一=智里

3

一1.xx-.x16-3/3c/c

所以47A4=__—=-Z-8G(-8,-5).

人14乙

故选：A.

【变式训练4-2】.（2020•全国•高三零模（文））已知函数若函数

[4r,x>0

了=/（幻-。有3个不同的零点和巴,毛（为〈占〈七），则N+天+一■的取值范围是.

【答案】（-2,0]

【详解】作出函数y=/（x）的图象及直线y=a,如下图所示，因为函数有3个

不同的零点内，与，&aV&<工3），所以由图象可知玉+工2=-2,0V当4，a=/（x3）=4xj,所

题型五:根据零点所在区间，求解析式中参数的范围

例5.（1）、（2017♦江苏南通•一模）已知函数f（x）=x+lnx-4的零点在区间（2,%+1）内，

则正整数2的值为.

【答案】2

【详解】由函数的解析式可得函数在（0,+8）上是增函数，且f（2）=ln2+2-4<0,

/（3）=ln3+3-4>0,故有/（2）〃3）v0,根据函数零点存在性可得函数在区间（2,3）上存

在零点，结合所给的条件可得，故攵=2,故答案为2.

（2）、（2021•江西上饶•二模（文））已知函数，（幻=1门-白2+],若/（X）-履>0恰有3

个正整数解，则k的取值范围为（）

In27In37、rln27In37

---.-''——B.---------.-

24'36,<24,36

In27In37"-In27In37

D.

24'3624'36

【答案】A

【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算

进行求解即可.

【详解】解：由题意，/（刈-米>0恰有3个正整数解,转换为y=lnx的图象与y=-]+奴

的图象交点问题,

9

ln3>--l+3k

则需满足：2

ln4^7+4k

解得:**号］

故选：A.

【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合

思想进行求解.

16/-24x+9,E

【变式训练5-1】.(2022•新疆昌吉•二模(文))已知函数〃x)=|..

若关于X的方程“同=〃7(〃好我)有三个不同的实根，则机的取值范围为.

【答案】6,1)

【分析】由条件作函数/⑶的图象，根据方程“行=〃?(〃?£马有三个不同的实根结合图象

求参数阳的范围.

【详解】由已知当X41时，/(X)=16X2-24X+9,

当1cxK2时，fW=1/(^-1)=1[16(A:-1)2-24*-1)+9J=1(16x2-56x+49),

当2<xW3时，

/(x)=^/(x-l)=^-/(x-2)=^-ri6(x-2)2-24(x-2)+9]=^-(16x2-88x+121)

9o1o1o1

因为关于x的方程/(力=加(m£&)有三个不同的实根,

所以函数y=/(x)的图象与的图象有二•个交点，

观察图象可得［＜加＜1,

故答案为：g,i).

【变式训练5・2】.(2019・安徽•三模(文))已知函数/&)=lnx-g)i+〃有唯一的零点

而，且与w(2.3),则实数。的取值范围是

A.(--In3,--In2)B.(--In3,--In2)

4234

C.(—+In2,—+In3)D.(—+In2,-+In3)

2443

【答案】A

【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象询定满足的条件，解得

结果.

【详解】令/(力=0即：lnx=(g

在同一坐标系中分别作出y=lnx与y

的图象知，y=Inx为增函数，而y=a为减函数，要是交点的横坐标落在区间(2,3)内,

必须:

故选A

【点睛】本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.

题型六:复合函数的零点问题(自我嵌套)

例6.(1)、(2021•吉林长春外国语学校(理))已知函数/(力=若关于/

log2x,x>0

的方程/[/(力]=0有且只有一个实数根，则实数"的取值范围是()

A.(F,O)B.(fo,0)U(0,l)

C.(0,1)D.(0J)J(l,-H»)

【答案】B

【分析】

分。=0、。工0两种情况讨论，由/[〃x)]=0可得出"力的值或取值范围，再分“«0、

x>0两类讨论，利用代数法或数形结合思想，利用关于x的方程/[/(力]=0有且只有一个

实数根可求得实数。的取值范围.

【详解】

令〃="力，则/(〃)=0.

□当a=0时，若/(w)=0：若〃〉0,/(w)=log2w=0,得u=l.

所以，由(切=0可得〃力40或””)=1.

如下图所示:

满足/(x)WO的“有无数个，方程/(力=1只有一个解，不合乎题意；

□当时，若则/(")=a-2"*0；若〃>0,/(«)=Iog2M=0,得〃=1.

所以，由/[/3]=0可得〃x)=l,

当x>0时，由/(x)=log2X=l,可得x=2,

因为关于x的方程/[f(x)]=0有且只有一个实数根，则方程外力=1在XW(YO,0]时无解,

若a>0且xWO时，/(x)=a-2re(O,a],故0<a<l；

若。<0且x«0时，/(x)=a-2x<0,合乎题意.

综上所述，实数〃的取值范围是(-8,0)U(0,l).

故选：B.

(2).(2022•全国高三专题练习)设aeR,函数/(力二若函数)，=/上(切

(-x~+ar,x<0

恰有4个零点，则实数〃的值为.

【答案】-2&

【分析】

分〃之0和a<0两种情况讨论，由f[/a)]=O解出/(力的值，然后分壮0、x<0解关于x

的方程，结合已知条件可得出关于实数。的等式，进而可求得实数。的值.

【详解】

□当aNO时，由/[/(1)]=0,可得/(力=2,

当工20时，rtl/(x)=|x-2|=2,可得x=0或4，

当x<0时，/(大)=-丁+如<0.

即当。之0时，函数产/[/(")]只有2个零点，不合乎题意；

□当"0时，由，[/(力]=0,可得〃力=2或〃x)=a.

当xNO时，由/•(x)=|x-2|=2,可得工=0或4,方程|x-2|=。无解.

当x<0时，由/（同二一/+双=。，即彳2_以+々=0，A=a2-4a>0，

解方程x2-av+a=O可得”=〃±\力一4a,

其中x=a-Ja?-4«vO合乎题意，x=a+\la2-4a>0舍去，

所以，方程-/+妙=2在x<0时有唯一解，

函数/（力=*+〃在卜呜）上单调递增，在e,0）上单调递减，

当avx<0时，/（x）>0,当x<。时，/（x）<0,

故/图4=2,解得〃=_2垃.

综上所述，a=-2y/2■

故答案为：-2&-

【点睛】

思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函

数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：

（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；

（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.

.x+l,x40,

【变式训练6-1】•（2022•全国高三专题练习（理））已知函数/（外=।八则函数

Iog2x,x>0

y=f[f（x）]的所有零点之和为.

【答案】y

【分析】

利用分段函数，分类讨论，即可求出函数），=/[/（力]的所有零点，从而得解.

【详解】

解：&0时，x+1=0,x=-l,由/（x）=-l,可得x+1=—1或log2X=-l,/.x=-2或x=g；

x>0时，log2x=0,x=l,由=可得x+1=1或log2%=l,口=0或x=2；

函数y=的所有零点为-2,I，0,2,所以所有零点的和为-2+g+0+2=g

故答案为：4-

Inx—x>0

【变式训练6-2】、（2022•湖南•长郡中学模拟预测）已知函数/（x）={J，贝IJ函

X2+2X,X<0

数y=/"(幻+1］的零点个数是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】令£=/(力+1,根据，>0八0分别求出函数〃。的零点或零点所在区间，再作出

函数f=f(x)+l的图象，根据数形结合即可求出函数丁=/［/。)-1］的零点个数；

\nx—+l,x>0

【详解】令f=/(x)+l=1X,

(x+l)',x<0

U当CO时，/(r)=lnr-j,则函数f⑺在(0,+oo)上单调递增，

由于/(l)=T<0J(2)=ln2-g>0,由零点存在定理可知，存在461.2),使得/&)=0；

2

匚当YO时，f(t)=t+2tt由％)=产+2工=0,解得，2=-2,)=0,

由图象可知，直线，=4与函数，=/(幻+1的图象有两个交点；

直线，=0与函数，=/*)+1的图象有两个交点；直线才=-2与函数，=/*)+1的图象有且只

有一个交点.综上所述，函数y=/［/(H+i］的零点个数为5.

故选：D.

题型七:复合函数的零点问题(与二次函数嵌套)

例7.(1)、(2022♦陕西•铜川市耀州中学模拟预测(文))设函数f(x)=I+丁,1，

［|log4x|,x>0

若关于X的方程［/(刈丁―(a+2)〃x)+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数4的取值范

国为()

A.(-273-2,2^-2)

D.(26-2,+8)

【答案】B

【分析】画出f(x)的图象，由图象求得力与有3个交点时，，的取值范围.结合

一元二次方程零点分布的知识列不等式组，由此求得。的取值范围.

【详解】画出函数/(、)=卜；-八的图象如下图所示，

|log4x|.x>0

令f(x)=f，则方程［/(X)了-(a+2)/(x)+3=0可化为*-(a+2)f+3=0.

由图可知:当fe(l,2］时，y=/(力与丁=，有3个交点，

要使关于x的方程［“X)丁-(a+2)/(x)+3=0恰好有六个不同的实数解，

则方程*-(a+2)f+3=0在(1,2］内有两个不同实数根，

A=(«+2)2-12>0

1<—<2

□J2,

l2-(a+2)xl+3>0

22-(a+2)x2+3>0

解得26-

实数°的取值范围为(26-2,|.

(2)、(2021•江西省乐平中学高一开学考试)已知函数/(6=［四：匕4：：°，的值域为R,

—X+1,XsU

且让1,若关于X的方程产⑺一加+2)/(力+*=0有三个不同的实数根，则6的取值范

围为()

A.(YO,1)B.(-00,e)C.[0,1]D.[0,e]

【答案】A

【分析】

函数=+的值域要为R,则又故。=1,画出函数/(X)图象，

-x-+1,x<0

利用数形结合的方法即可求解

【详解】

根据该分段函数的图象，函数的值域要为R,则at,

-x2+L<0

但aN1,\a=1,

当a=l时，函数/(幻图象如图2所示：

关于x的方程/-(机+2)/(x)+2m=0有三个不同的实数根,

即(/(x)-m)(/(x)-2)=0有三个不相等的实数根，

由图象可知/*)=2有两个实数根，则〃幻=，〃有一个实数根，

/."2<1,

【变式训练7-1】、(2021・吉林省实验中学模拟预测(文))已知函数〃[)=¥|；；(?的，

则关于x的函数y="2(x)-13/(x)+9的零点的个数为()

A.8B.7C.5D.2

【答案】B

【分析】问题转化为要求方程4/。)-13/a)+9=0的解的个数，对应于函数〃刈=1或

人幻=”的解的个数.故先根据题意作出〃“)的简图，由图可知，函教/3=1或f(x)宅的

44

解的个数，可以得出答案.

【详解】根据题意，令”2(X)-13/(X)+9=0,

得/(X)=1或/(X)=2

4

作出了(X)的简图：

故关于X的函数y=4/2(x)—13/(x)+9的零点的个数为7.

故选：B.

ln(|^+l),x<0

【变式训练7-2】.(2021•黑龙江鹤岗一中(理))已知函数〃力=x，若

方程f2(x)+2帆•/(x)+〃_|=o恰有4个不同的实数根，则实数〃，的取值范围是()

A.(-2,-1)B.(0,2)

【答案】A

【分析】

方程左边先进行因式分解得(/(幻+〃2+1)・(/。)+6-1)=0,作出函数/W的图象如图所示,

可得<,I，解不等式即可得到答案；

【详解】

f2(x)+2m-/(x)+/n2-1=0=>(/(x)+m+1)-(/(x)+/??-1)=0,

fW=一6—1或f(x)=-tn+1,

作出函数/(©的图象如图所示，

当x=l,/*)极大值=1,

1>1

1］，解得：-2<〃<一1,

故选：A.

【点睛】

本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到两条直线与曲线分别

要有1个交点和3个交点.

题型八:高考压轴真题训练

例8.(1)、(2007・湖北•高考真题)关于4的方程卜2一1)2_卜2_］卜攵=0,给出下列四个

命题：

□存在实数3使得方程恰有2个不同的实根；

口存在实数3使得方程恰有4个不同的实根；

口存在实数3使得方程恰有5个不同的实根；

□存在实数3使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】令则左=一产+/«20),作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象

可得结果.

【详解】令则攵=_/+/。20),

作出这两个函数的图象，如图：

当欠<0时，火=一"+，只有一个大于1的根，则方程，=|/一1|恰有两个实根；故为真命题；

当斤=0时，由2=-r+,得，=0或，=1,

当£=0时，x=±l»当f=l时，x=0或x=±&,此时原方程恰有5个实根，故为真命题：

当0<女<!时，2=一/+,有两个实根，两个实根在(0,1)内，此时原方程有8个实根，故【

为真命题；

当时，由女=得f=g,则方程川TI恰有4个实根；此时原方程恰有4个实

根，故」为真命题.

故选：A

【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键.

(2)、(2019•江苏•高考真题)i殳/3),g*)是定义在R上的两个周期函数，的周期为

4,g(x)的周期为2,且是奇函数.当xe(0,2］时，f(x)=y］l-(x-1)2，

攵(x+2),0<x41

g(x)=1..,其中4>0.若在区间(0,9］上，关于X的方程f(x)=g(x)有8个不

——J<x^2

2

同的实数根，则k的取值范围是.

142]

【答案】

3,-r

Z

【分析】分别考查函数“X)和函数g(x)图像的性质，考查临界条件确定上的取值范围即可.

【详解】当％«0,2］时,f(x)=J_(X-1)2,即("-1)2+丁=1,”0.

又/(X)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4,如图，函数/(X)与g(x)的图象，要使

/(x)=g(x)在(0,9］上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当g(x)=-g时，函数/(X)与g(x)的图象有2个交点;

当g(x)=A(x+2)时，g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线，只需函数/⑶与g(x)的图象有6个

交点.当"X)与g(x)图象相切时，圆心。,0)到直线区-y+2&=0的距离为1,即号冷=1,

得％=变，函数/(幻与g(x)的图象有3个交点；当g(x)=%(x+2)过点(1,1)时，函数/⑶与

4

g(4)的图象有6个交点，此时1=3鼠得4=；.

综上可知，满足/*)=g(x)在(0,9]上有8个实根的人的取值范围为9

【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出

函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界

交点个数，从而确定参数的取值范围.

X<0

【变式训练8-1】・(2018•全国•高考真题(理))已知函数/(X)={'-；

lnx>x>0>

g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则。的取值范围是

A.[-1,0)B.[0»+oG)C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【答案】C

【详解】分析：首先根据g(x)存在2个零点，得到方程f(x)+x+a=0有两个解，将其转

化为7l(x)=r-a有两个解，即直线y=与曲线y=f(x)有两个交点，根据题中所给的

函数解析式，画出函数/(x)的图像(将8">0)去掉)，再画出直线了=-3并将其上下移

动，从图中可以发现，当时，满足y=-x-a与曲线y=/(x)有两个交点，从而求得

结果.

详解：画出函数Ax)的图像，)，="在y轴右侧的去掉，

再画出直线y=一%之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点,

即方程，a)=T-。有两个解，

也就是函数g(x)有两个零点，

此时满足即“NT,故选C.

点睛：该题考查的是有关己知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，

解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子哆项变形，转化为两条

曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思

想，求得相应的结果.

【变式训练8-2】.(2021•北京•高考真题)已知函数〃幻=|棺力履-2,给出下列四个结论：

口若k=0,/(x)恰有2个零点；

口存在负数左，使得f(x)恰有1个零点；

□存在负数k,使得f(x)恰有3个零点；

口存在正数2,使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】□□口

【分析】由〃X)=0可得出|修闻=点+2,考查直线丁=辰+2与曲线8(力=|怆H的左、右支

分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.

【详解】对于口，当无=0时，由〃司=旭闻一2=0,可得x=工或)=100,正确：

对于口，考查直线y=h+2与曲线y=-lgM0〈xvl)相切于点P(，，Tgf