高中数学第一章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率笔记新人教B版选修

函数的平均变化率例子:

假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系。A是出发点，H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。H

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？

某旅游者从A点爬到B点，假设这段山路是平直的。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)，自变量x的改变量为x1－x0，记作△x，函数值的改变量为y1－y0，记作△y，即△x=x1－x0，△y=y1－y0，假设向量对x轴的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，容易看出于是此人从点A爬到点B的位移可以用向量来表示，显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。注意各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。平均变化率的概念：一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).则当△x≠0时，商称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。说明：1.函数y=f(x)在处有定义；2.式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为0；3.若函数f(x)为常函数时，△y=0；

4.变式:函数平均变化率的几何意义过曲线上的点割线的斜率。例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率为例2．求函数在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且x0+△x≠0).解：函数的平均变化率为达标练习1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（）A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0

)

·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D2.一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C3.将半径为R的球加热，若球的半径增加△R，则球的表面积增加△S等于（）A．B．

C．D．B4、在附近，取，在四个函数：①②

④

中，平均变化率最大的是（）A、④B、③C、②D、①③B5、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.课堂小结1、平均变化率的概念：

一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).则当△x≠0时，商称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](