高二【数学(人教A版)】用空间向量研究距离、夹角问题(3)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA012学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究距离、夹角问题（3）教科书书名：《数学》选择性必修第一册出版社：人教社出版日期：年月教学人员姓名单位授课教师刘兴华北京景山学校指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：了解两个平面夹角的定义，能用向量方法求两个平面的夹角，使用向量表示的面面角公式解决有关角度的度量问题，提升直观想象、数学运算等素养．教学重点：用向量的数量积运算表示两个平面的夹角计算公式．教学难点：根据问题的条件选择适当的基底．教学过程时间教学环节主要师生活动上一节课我们学习了用空间向量求两条直线的夹角、直线与平面所成的角，明确了两条直线的夹角与它们方向向量夹角的关系，可以通过计算向量的夹角，求出两条直线的夹角．明确了直线与平面所成的角与直线的方向向量、平面的法向量夹角的关系，可以通过计算向量的夹角，求出直线与平面所成的角．通过例题的解决体会了应用向量法和坐标法求空间中的角的“三步曲”：第一步，将线线角、线面角转化为求向量的夹角；第二步通过向量的数量积运算求向量的夹角；第三步，回到几何图形，给出所求的线线角、线面的结论．上节课我们已经解决了直线与直线、直线与平面产生的夹角问题，同学们一定会想：两个平面是不是也应该有夹角？如何定义？取值范围是怎样的？该如何求？请看下面的问题．问题1类比两直线夹角的定义，如何定义两个平面的夹角？生：对于两条直线的夹角，从空间中直线的三种位置关系入手．两条直线夹角的定义分别对平面内的两条相交直线和空间中的两条异面直线的夹角给出定义，异面直线的夹角通过平移转化为平面内的相交直线所成的角，体现了从立体图形向平面图形转化的思路．对于平行直线规定其夹角为0°．生：对于两个平面我们从考虑它们的位置关系入手．空间两个平面的位置关系分为相交和平行．对于//，我们可以规定它们的夹角为0°．如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角．师：两个平面夹角的取值范围是什么？生：两个平面夹角θ的取值范围是0师：这里，我们用二面角来定义两个平面的夹角，请问二面角的大小是如何度量的？生：二面角的大小可以用它的平面角来度量.师：二面角的平面角是如何定义的？生：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．师：这里，求二面角的大小体现了立体几何问题的解决往往要转化为平面问题，过二面角棱上一点分别在两个半平面内作棱垂线．师：两个平面的夹角的大小与这两个平面形成的二面角的大小之间有何关系？生：两个平面的夹角等于相应二面角或其补角．问题2类比两条直线夹角的求法，如何用向量方法求两个平面的夹角？师：可否采用向量方法来求？如何转化为向量问题？师生讨论：根据两个平面夹角的定义，可以按这样的思路转化解决问题：求平面α，

β的夹角→求直线a，b的夹角→求方向向量u,v的夹角→求得向量u,v的夹角→求得平面α，

β这条思路的关键是求直线a，b的方向向量，如果不借助坐标系，很难师：法向量可以刻画平面的方向，两个平面的夹角θ与这两个平面的法向量的夹角有什么关系？生：θ=所以师生总结：转化思路2：求平面α，

β的夹角→求法向量n1和n2的夹角→求出向量n1,

n2的夹角这条思路在建立空间直角坐标系的情况下一定可行．例如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱A，BB1上，师：转化为哪种向量的夹角？思路一：转化为两平面内与交线垂直的直线的方向向量的夹角；思路二：转化为两平面的法向量的夹角．生：采用思路二更合理．具体解答过程如下：解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．平面A1B1C1的法向量为，平面PQR的法向量为，则平面PQR与平面A1B因为C1C⊥平面所以平面A1B1设平面PQR的法向量为n因为P(0，1，3)，所以PQ＝(2，-又n2∙PQ＝0，n2∙PR＝0，

所以cosn1设平面PQR与平面A1B1Ccosθ=cos即

平面PQR与平面A1B1C1师：请思考，如果在相同条件下求“平面A1B1C生：思路一，思路二均可以.师：请同学们课下完成求解过程.例题小结：求两个平面的夹角的一般方法是用坐标法，通过求平面的法向量的夹角的余弦值得到两个平面夹角的余弦值．用空间向量求两个平角夹角的一般步骤：课堂小结：问题3本节课主要学习了哪些内容？通过二面角定义了两个平面的夹角，明确其取值范围，将两个平面的夹角转化为相应法向量的夹角，再应用空间向量的数量积可以解决问题．通过例题的解决，体会到求两个平面夹角的一般方法是坐标法，求两个平面法向量的夹角．问题4研究这些内容主要用了什么方法？本节课通过类比两条直线的夹角的定义、求法，定义了两个平面的夹角，给出了求两个平面夹角的一般方法．角度是“方向”的差异，但是研究方法、研究内容、解决方法却是是一致的．问题5用向量方法解决立体几何中夹角问题的一般步骤是什么？课后作业：１.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1