高二【数学(人教A版)】双曲线应用(1)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA040学科数学年级高二学期一课题双曲线的应用（1）教科书书名：高中数学人教A版选择性必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师赵蒙北京市第二中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：巩固双曲线的标准方程和简单几何性质，解决简单的实际应用问题，体会数学在实际生活中的应用．教学重点：双曲线的标准方程和简单几何性质的应用．教学难点：分析并解决与双曲线相关的实际应用问题．教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟16分钟3分中知识回顾问题探究课堂小结知识回顾1．双曲线及其标准方程（1）双曲线的概念一般地，我们把与平面内两个定点的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．（2）双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点坐标，，利用双曲线解决实际问题的基本步骤：（）建立适当的坐标系（）求出双曲线的标准方程（）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题2．双曲线的简单几何性质回顾双曲线的焦点坐标、范围、对称轴、顶点、渐近线和离心率标准方程图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：坐标原点顶点，，实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；渐近线离心率，，其中例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图（1））．它的最小半径为12ｍ，上口半径为13ｍ，下口半径为25ｍ，高为55ｍ．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1ｍ）．问题1求此双曲线的方程，应从何处着手？分析题目条件，正确理解题意．追问1双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过的哪种曲面？旋转面．我们回忆一下立体几何中的相关概念：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．追问2“此双曲线”与“双曲线型冷却塔的外形”之间是什么关系？实际问题抽象成为数学问题，先将双曲线型冷却塔的外形抽象成一个曲面，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．反之，“双曲线型冷却塔的外形”与经过它的轴的平面的交线，就是“此双曲线”的一部分．追问3题目中的“半径”是什么意思？垂直于轴的平面与“双曲线型冷却塔的外形”相交，所得到的圆的半径。追问4“最小半径”与该双曲线有什么联系？“最小半径”等于该双曲线实轴长的一半。追问5如何恰当的建立坐标系？根据前面的分析，应在冷却塔的轴截面所在平面建立直角坐标系。具体来说，以最小半径所在的直线为轴，双曲线的虚轴所在的直线作为轴，建立平面直角坐标系．追问6如何求双曲线的方程？根据前面的分析，设出双曲线的标准方程，利用已知条件列出方程组求解．解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，．设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为．因为直径是实轴，所以，又因为点和点都在双曲线上，所以由方程②，得（负值舍去），代入方程①，得．化简得．③解方程③，得（负值舍去），因此所求双曲线的方程为．例2动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．问题2如何求点的轨迹？追问1点的轨迹是什么呢？点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．追问2如何用集合表示点的轨迹？设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合．QUOTE45}追问3上面集合中的等式，如何用坐标表示？由两点间距离公式和点到直线距离公式，可得．追问4如何化简上述方程？点的轨迹是什么呢？上述方程可化为，两边平方，并化简，得，即．则点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线．追问5此前我们学习椭圆时，做过这样一道类似的题目：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．比较这两题，你有什么发现？平面内到定点的距离与到定直线（直线不经过点）的距离的比是常数的点的轨迹可能是椭圆，也可能是双曲线．课堂小结1．双曲线的实际应用2．用坐标法求动点的轨迹坐标法是解析几何中最基本的研究方法．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．课后作业1．相