2025高考数学一轮复习-第10章-第7节 离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.唯一的实数X(ω)2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝____(i＝1，2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列.pi3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)；(2)_______________

＝1.p1＋p2＋…＋pn4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平偏离程度5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________.(2)D(aX＋b)＝_______

(a，b为常数).aE(X)＋ba2D(X)1.若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；D(X)＝E(X2)－(E(X))2.常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(

)(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(

)√×√√解析对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.2.(选修三P63例1改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为(

) A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1C解析某运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0，1，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.

3.(选修三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X表示一次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.解析设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p，解析设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一分布列的性质例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q＝________.解析由离散型随机变量分布列的性质得解析由已知得随机变量X的分布列为感悟提升离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.C解析由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].考点二离散型随机变量的数字特征(1)求乙总得分为10分的概率；解由题意知，乙得10分的样本点有乙抢到2题且1道回答正确、1道回答错误或没有回答，甲、乙各抢到1题且都回答正确，甲抢到2题都回答错误或没有回答，所以乙总得分为10分的概率(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望.解由题意得，甲的总得分X的可能取值为0，5，10，15，20，感悟提升求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).训练2(2024·石家庄调研)在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目.(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差.解随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.考点三均值与方差中的决策问题解设“操作成功”为事件S，“选择M型AED”为事件A，“选择N型AED”为事件B，(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：方案甲：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作.方案乙：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备.假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？解

设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y，则X，Y可能取值均为0，1，2，决策一：因为E(X)>E(Y)，故方案甲更好.决策二：因为E(X)与E(Y)差距非常小，所以两种方案均可.感悟提升随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知下列随机变量：①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；②一位射击选手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击选手在一次射击中的得分X；③一天内的温度X；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是(

)A.①②③ B.①②④C.②③④ D.③④B解析①中，X的可能取值为0，1，2，符合要求；②中，X的可能取值为0，1，符合要求；③中，一天的温度变化是连续的，所以X不是离散型随机变量；④中，在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数是离散且随机的，符合要求.CAC解析设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，DABAC解析记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是1A2B，2A1B，3A，A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确；8.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，

则P(ξ＝2)＝________.解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，2解析设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则2a＋b＝1.于是E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.11.设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个.(1)若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率；(2)若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为X，求随机变量X的概率分布列及数学期望值.解随机变量X的可能取值为0，1，2，3，12.某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点.游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束. (1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；解设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X(单位：分钟)，则X的所有可能取值为3，6，9，(2)甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案.方案一：2人共同行动；方案二：2人分头行动.分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的均值.AC∴E(ξ)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.14.(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；解由题意得X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.解当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y