2025高考数学一轮复习-第10章-第5节 古典概型、概率的基本性质【课件】

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第5节古典概型、概率的基本性质1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有________；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______.有限个相等3.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(

)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为

⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).P(A)＋P(B)1－P(B)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝

，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(

)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(

)(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同.(

)××√√解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以(2)不正确.2.(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概

率是________.

3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________.4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________.0.9考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一古典概型例1

(1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(

)C解析按接球人分类：①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种，故共计27种.(2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为________.(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)解析要使得(2，3)的状态发生改变，则需要按(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)这五个开关中的一个，要使得(4，1)的状态发生改变，则需要按(3，1)，(4，1)，(4，2)这三个开关中的一个，所以要使得(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)中的两个或(3，1)，(4，1)，(4，2)中的两个，感悟提升求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.训练1(1)(2023·益阳调研)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为(

)AA解析法一设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：乙甲ABCDEFA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)(C，E)(C，F)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(D，E)(D，F)E(E，A)(E，B)(E，C)(E，D)(E，E)(E，F)F(F，A)(F，B)(F，C)(F，D)(F，E)(F，F)考点二概率的基本性质例2

从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：解由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03求：(1)表中字母a的值；(2)至少遇到4个红灯的概率；解设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)至多遇到5个红灯的概率.感悟提升复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.训练2(多选)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：ABC记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则(

)A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18C.P(C)＝0.27 D.P(B∪C)＝0.55投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518∵事件A∪B为事件C的对立事件，且事件A，B，C两两互斥，∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，∴P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.考点三古典概型的综合应用例3

(2024·南充诊断)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有2×2列联表如表所示.(1)根据已知条件完成如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；

有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食

不爱吃甜食

总计

解由题意可知，2×2列联表为

有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食9030120不爱吃甜食305080总计12080200零假设H0：“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”无关.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，∴认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.解若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查，则爱吃甜食的有3人，设为x，y，z，不爱吃甜食的有5人，设为a，b，c，d，e，从中随机抽取2人，所有情况为{x，y}，{x，z}，{y，z}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{x，e}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{y，e}，{z，a}，{z，b}，{z，c}，{z，d}，{z，e}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共28种，感悟提升有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.(1)求直方图中x的值；解由(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125＋x＋0.0050＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.训练3

某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.(2)求月平均用电量的众数和中位数；因为(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＝0.45<0.5，且(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.解月平均用电量为[240，260)的用户有0.0075×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280，300]的用户有0.0025×20×100＝5(户).所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件A，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(多选)下列试验是古典概型的是(

)A.在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率BD解析A中，在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0，该事件个数是无限的；B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率不符合有限性；D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.DC解析记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，CD解析从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，这三个数之积为偶数的样本点有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9个，它们之和大于8的样本点有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5个，6.(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(

) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率C解析对于A、B，两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误；A解析记事件D＝“抽到红花色”，因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生，9.(2024·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意

舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________.解析分为两类，舀取到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅，10.(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质.现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个

不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________.因为2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27，所以具有“准等比”性质的4个数有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13种.11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？解由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；解从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.解

由表格知，符合题意的样本空间为{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？解由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.13.(2024·北京通州