2025高考数学一轮复习-第8章-第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ___0Δ___0Δ___0几何观点d___rd___rd___r<＝>>＝<位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系_________________________________________________d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示公切线条数402131.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程.(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程.常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(

)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(

)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(

)(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)×××√解析(1)“k=1”是“直线x－y＋k=0与圆x2＋y2=1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(多选)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为(

)A.x＝2

B.y＝1C.4x－3y－5＝0 D.4x－3y＋5＝0BC解析设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，

3.(选修一P96例5改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.4.(2024·武汉质检)若圆x2＋y2＋6x＝0与圆x2＋y2－2my＋m2－16＝0外离，则实数m的取值范围是______________________________.解析设圆C1：x2＋y2＋6x＝0，即(x＋3)2＋y2＝9，所以圆心C1(－3，0)，半径r1＝3；圆C2：x2＋y2－2my＋m2－16＝0，即x2＋(y－m)2＝16，所以圆心C2(0，m)，半径r2＝4.因为圆C1和圆C2外离，所以|C1C2|>r1＋r2，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一直线与圆的位置关系例1(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(

)A.相交

B.相切 C.相离

D.不确定A消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交.法三(定点法)直线l：mx－y＋1－m＝0，整理得m(x－1)－y＋1＝0过(1，1)，而12＋(1－1)2<5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交.(2)(2024·深圳质检)已知直线l：xcosα＋ysinα＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相离，则r的取值范围是(

)A.0＜r≤1 B.0＜r＜1 C.r≥1 D.r＞1B感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.训练1(1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则以下几个说法正确的有(

)A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离AC解析将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，因为点(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒相交，故AC正确.(2)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(

)A.相切 B.相交

C.相离 D.不确定A解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上，所以a2＋b2＝1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离考点二圆的弦长、切线问题5解析设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心为C(1，0)，半径r＝2，B解析如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，(2)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________.4解析已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，又圆心C(3，1)，半径r＝3，所以直线l过圆心C(3，1)，故3＋a－1＝0，即a＝－2，所以点A(－1，－2)，角度3最值(范围)问题例4(1)(2024·杭州质检)若直线y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的取值范围为(

) A.[2，6] B.[4，6] C.[3，7] D.[4，8]B解析易知直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆C：(x－2)2＋y2＝9内，A解析由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知，圆心M(2，3)，半径为1，所以|MA|＝|MB|＝1，感悟提升1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.2.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.C(2)(2024·河南名校联考)已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为__________________.x＋2y＋1＝0解析⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(1，1)，半径r＝2.如图，连接MC，要使四边形MACB的面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2(x－1)，考点三圆与圆的位置关系例5

已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；证明∵C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0.感悟提升1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3(1)(2024·长沙联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.解析圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，A解析设圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，由题意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1，连接C1C2，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为|C1C2|≥r1－r2＝2－1＝1，微点突破直线系与圆系方程1.直线系方程(1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零)；(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋By2＋C2)＝0.(这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意)2.圆系方程(1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；(2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0；(3)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(4)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在直线方程；两圆相切时，表示公切线所在直线方程.一、直线系方程例1

(1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________.2x＋3y＋10＝0解析设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知2×1＋3×(－4)＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.x－2y＝0解析因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.(3)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________.4x＋3y－6＝0解析设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.二、圆系方程例2

已知点M(2，－2)，圆O：x2＋y2＝3(O为坐标原点).(1)求经过M，以及圆O与圆x2＋y2＋3x＝0交点的圆的方程；解设圆的方程为x2＋y2＋3x＋λ(x2＋y2－3)＝0，所求圆的方程是3x2＋3y2－5x－14＝0.(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.解以MO为直径的圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB的方程为2x－2y＝3，或由切点弦的公式可直接得到2x－2y＝3.训练(1)过点P(－1，4)，与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1相切的切线方程为_______________________.y＝4或3x＋4y－13＝0解析因为切线过点P(－1，4)，故可设所求直线的方程为A(x＋1)＋B(y－4)＝0(其中A，B不全为零)，∵直线l与圆相切，∴圆心(2，3)到直线l的距离等于半径1，(2)经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是___________________.(3)直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.求：①过点P且与直线l平行的直线方程；②过点P且与直线l垂直的直线方程.所以l1与l2的交点为P(1，3).①设所求直线方程为2x－y＋c＝0(c≠－1)，则2－3＋c＝0，所以c＝1，所以所求直线方程为2x－y＋1＝0.②设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c′＝0，则1＋2×3＋c′＝0，所以c′＝－7，所以所求直线方程为x＋2y－7＝0.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝2，点A(1，1)，则下列说法正确的是(

) A.点A在圆C上，直线l与圆C相切

B.点A在圆C内，直线l与圆C相离 C.点A在圆C外，直线l与圆C相切

D.点A在圆C上，直线l与圆C相交A所以直线l与圆C相切.因为点A(1，1)满足圆C的方程，所以点A在圆C上.2.已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为(

) A.外离

B.外切 C.相交

D.内含CD解析圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(

)A.1个

B.2个 C.3个

D.4个CA解析由题可得，圆心C(－1，－2)，|AC|＝2，且PA⊥AC，所以|PA|2＝|PC|2－4.要使|PA|最小，需|PC|最小.|PC|的最小值为点C到直线l的距离，BCD解析因为圆M：(x－k2)2＋(y－2k)2＝3与圆N：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，所以两圆方程相减，可得直线AB的方程为2(1－k2)x－4ky＋k4＋4k2－3＝0.令k4＋2k2＝t，则t2＝3t，解得t＝0或t＝3，故k＝0或k＝±1.经检验k＝0，1，－1满足上式.7.(多选)(2024·南京调研)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，则下列说法正确的是(

) A.若圆C与两坐标轴均相切，则a＝b B.若a＝b，则圆C不可能过点(0，2) C.若点(3，4)在圆C上，则圆心C到原点O的距离的最小值为4 D.若圆C上有两点到原点的距离为1，则0<a2＋b2<4BCD解析对于A，若圆C与两坐标轴均相切，则|a|＝|b|＝1，A错误；对于B，若a＝b，将(0，2)代入圆方程得a2＋(2－a)2＝1，得2a2－4a＋3＝0，Δ＝(－4)2－24＝－8<0，方程无解，B正确；8.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.－2解析如图所示，10.若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为___________.解析点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，11.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，直线l过点A(1，0).(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；解圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝22，圆C的圆心坐标是(3，4)，半径长是2.