2025高考数学一轮复习-第6章-第3节 等比数列及其前n项和【课件】

第六章数列第3节等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE同一个qaba1qn－13.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_______.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为______.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为______.(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或

0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.am·anqmqn常用结论与微点提醒××××解析(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.

3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝_______________.3·2n－1或2·3n－1解析设数列{an}的公比为q，4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.4解析设公比为q，则an＝a1qn－1，则a1·a1q2·a1q10＝8，考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一等比数列基本量的求解例1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(

) A.14

B.12 C.6 D.3D解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，(2)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(

)A.3 B.18 C.54 D.152C解析因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54.(3)(多选)(2024·广东名校联考)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(

)A.该人第五天走的路程为12里

B.该人第三天走的路程为42里C.该人前三天共走的路程为330里

D.该人最后三天共走的路程为42里AD感悟提升训练1(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为________.解析由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，(2)(2024·唐山模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝1，2S3＝7a2，则S5＝________.解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.考点二等比数列的判定与证明例2(2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*). (1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.解由(1)可知an＋1＋3an＝5·2n－1(n∈N*)，则an＋1＝－3an＋5·2n－1，设an＋1＋x·2n＝－3(an＋x·2n－1)，则an＋1＝－3an－5x·2n－1，则x＝－1，故an＋1－2n＝－3(an－2n－1)，又a1－20＝1，∴{an－2n－1}是以1为首项，－3为公比的等比数列，∴an－2n－1＝1×(－3)n－1，an＝2n－1＋(－3)n－1，感悟提升训练2(2024·重庆九校联考)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.证明选①②作条件证明③.因为数列{an}，{Sn＋a1}是等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)，选①③作条件证明②.因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以数列{an}的公比q＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列.选②③作条件证明①.因为数列{Sn＋a1}是等比数列，且a2＝2a1，则数列{Sn＋a1}是以2a1为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，Sn＝a1·2n－a1，所以an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－a1－(a1·2n－1－a1)＝a1·2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1，也符合上式，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列.考点三等比数列的性质角度1项的性质例3(1)(2024·驻马店统考)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(

) A.8

B.9 C.16 D.18B解析由根与系数的关系可得a3a7＝4，(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.－2解析设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.角度2和的性质例4(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(

) A.120 B.85 C.－85 D.－120C解析易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，AB感悟提升1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.B291解析等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，又S4＝10S2，Sn>0，∴S6－10S2＝81S2，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANB解析设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0).所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝7，解得q＝2(q＝－3舍去)，所以a5＝a1q4＝1×24＝16.C解析设数列{an}的公比为q，由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.3.(2024·佛山质检)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为(

) A.30

B.10 C.9 D.6B解析设等比数列{an}的公比为q，因为{an}是各项均为正数的等比数列，则a1>0，q>0，C解析设等比数列{an}的公比为q(q>0)，首项为a1，因为4a5，a3，2a4成等差数列，所以2a3＝4a5＋2a4，即2a1q2＝4a1q4＋2a1q3，5.(2024·洛阳调研)龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(

) A.16 B.12 C.10 D.8B解析由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，解得a1＝8，∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.D解析法一设等比数列{an}的公比为q1，ACD解析由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，∵{an}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1.∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确；8.(2023·上海卷)已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S6＝________.1899.(2024·盐城调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________(答案不唯一). ①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|.(－2)n解析设等比数列{an}的公比为q，由anan＋1<0，可知q<0，又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，所以q<－1，所以q可取－2，设a1＝－2，则an＝－2·(－2)n－1＝(－2)n(答案不唯一).10.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________.20解析在正项等比数列{an}中，Sn>0，因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以an＋1＋1＝2an＋2，即an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*).12.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.