《电磁波-传输.辐射.传播》课件第4章

第4章辐射电磁场4.1电磁波辐射原理

*4.2运动电荷辐射场的简化计算

*4.3基本振子的辐射场

4.4电流环的辐射场

4.5对称振子的辐射场

4.6天线参数

4.7二元振子系的方向性

4.8反射面的影响

4.9互易原理简述

4.10惠更斯原理

*4.11矩形口面的辐射场

4.1电磁波辐射原理

相对静止的电荷周围存在着电场。这个电场依附于电荷，它不会脱离电荷而在空间自行运动。当电荷作匀速运动时(例如直流电)，除了电场之外，还存在着磁场。这个磁场依附于电流(匀速运动的电荷)，它也不会脱离电流而在空间自动行进。当电荷加速运动时，就有电磁场脱离运动电荷而在空间中自动传播。电荷加速运动中最典型的就是正弦交流电。这种交流电必然会产生脱离波源的电磁波。此外，在电场建立的初期(例如电容器的充电)和消失过程(例如电容器的放电)中，以及在磁场建立的初期(例如接通电感电路)和消失过程(例如与电感电路断开)中，都由于电荷作加速运动而有辐射。不同的是，当正弦交流电达到稳定状态时，辐射的电磁波也是稳态的；电感和电容中的电流和电压发生瞬态变化时，

辐射的电磁波是瞬态脉冲波。

在没有电荷的空间，电场要能维持其存在和运动而不消失，必须有另外的产生电场的原因；在没有电流的空间，磁场要能维持其存在和运动而不消失，必须有另外的产生磁场的原因。这种产生电场和磁场的原因，既不是电荷也不是电流，而是运动中的电场和磁场本身。换句话说，运动中的磁场会产生电场以维护电场，不使之消失；运动中的电场也会产生磁场以维持磁场，不使之消失。这种运动中的电场和磁场互相产生的规律是人们在长期的生产和科学实践中逐步认识的。一旦认识了这种规律，人们就进一步掌握了无线电波的辐射和传播规律。

上述规律中的第一条是：运动磁场产生电场。这就是通常的发电机原理。我们在基本电磁学中已经知道，若将一段长为l的导线放在均匀磁场中并使它垂直于磁场，然后让磁场以速度v垂直于导体和磁场的方向运动，如图4－1所示，则在此导体内将会产生感应电动势e,它的大小由下式计算：图

4-1磁生电

这里，B是磁场的磁感应强度，它与磁场强度H的关系为:B=μH。μ是介质的导磁率。感应电动势e的单位是伏特。感应电动势存在的标志就是图4-1中导体的a端为负极，b端为正极。如把ab两端用导线接通，就有电流不断地从b端经外电路到a端。可见在导体内有一种作用力，它能把导体中的正电荷不断地从a端推到b端去。而能够推动电荷运动的必然是电场。所以，人们很自然地认为，正是由于磁场B在运动中同时产生了电场E，因此在电场E存在的区域中放置导体就会在导体两端引起确定的电位差。在没有和外电路接通时，这一开路电位差(即电压)的数值等于感应而生的电动势e。既然如此，我们可以断定，导体的存在只是感应电动势出现的条件，而运动磁场产生的电场才是感应电动势出现的根本原因。把上式中的两边用l去除，就得到感应电场的大小，即也就是

(4-1)这一电场E的产生只决定于式(4-1)的右端各量，并不依赖于是否有导体。

图

4-2电生磁

人们从与上述规律相反的角度来研究，认为：既然运动的磁场会产生电场，则运动的电场也会产生磁场，如图4-2所示。当均匀电场在与之垂直的方向以速度v运动时，会产生一个磁场。这一磁场强度H的大小为H=εEv

(4-2)这两条定律实际上是较普通的电磁场运动定律，在无界空间(电参数为ε和μ)横电磁波(TEM)情况下的简化结果。它们足以说明电磁辐射的最基本现象。下面我们进一步说明式(4-1)和式(4-2)所表示的辐射场特性，并用它们来解释电磁波的辐射原理。

首先，要看到图4-1和图4-2所表示的E、H和v三者在方向上的关系。把它们结合起来，就是图4-3所示的矢量关系。它表明电场运动的方向必须与电场垂直，磁场运动的方向必须与磁场垂直。于是，速度v的方向必然垂直于电场矢量E和磁场矢量H。换言之，电场要作横向运动才能产生磁场，磁场要作横向运动才能产生电场。运动的速度方向为从矢量E依右手螺旋转到矢量H时，螺旋前进的方向。图

4-3辐射场的方向关系

其次，

由式(4-1)和(4-2)可以计算出：

(4-3)该式表明，电磁场运动的速度只决定于介质的电磁参数，而与电荷本身以多大速度运动无关。即50Hz每秒的交流电产生的电磁波和10kHz每秒的交流电产生的电磁波，乃至于频率更高得多的光波，都只具有同样的由式(4-3)所决定的波速。也就是说，一旦由电荷加速而激起了横向运动的电场和磁场之后，它们将以自己的速度前进。这个速度在真空中(当ε和μ变为ε0和μ0时)可以计算出为3×108m/s。在式(4-1)和式(4-2)所描述的横电磁波中，沿速度v的方向每单位时间通过每单位垂直面积的能量为S,即

S=EH(4-4)式中，S称为功率密度，其单位为W/m2，它和电场、磁场在方向上的关系仍由图

4-3的右手螺旋定则来确定。

所谓电流元，是指一段长度比波长λ小得多的天线。在一段小电流元上加交变电压(为简单起见设为正弦交流电)后，它的电荷和电流将如图4－4所示那样变化。设电荷依正弦变化，

则

q=Qsinωt

这里，Q是电荷变化中的最大值(振幅)。由电流和电荷的关系

i=dq/dt可得

i=ωQcosωt=Icosωt

其中，I=ωQ为电流振幅。

图4－4电流元上的交流电图

4-5辐射过程

电流元辐射场的具体计算结果(复数形式)是(见图4-6)：

(4-5)其中：Eθ的方向是圆弧APB上指向θ增加的切线方向；H￠的方向是圆弧CPD上指向￠增加的切线方向。根据图上的矢量关系，利用图4-3的右手螺旋定则，能够判定功率密度S的方向是沿半径增加的方向。这说明电磁能量是以球面波的形式自波源向外传播的。公式(4-5)成立的条件是电流元的直径d远小于其长度l，即dl;电流元的长度l远小于其波长λ，即l<<λ；波长λ远小于观察点的距离r，即λ<<r。这一重要结果是计算其他各种形式天线辐射场的基础。图

4-6辐射场的坐标系

*4.2运动电荷辐射场的简化计算

电荷是带电粒子的集合形成的。在远处观察时，可将它看成一个点。在以下的讨论中，设它为一个带电量Q的正点电荷。正点电荷周围的电场通常用自Q点开始向外辐射的电力线表示。近处密表示场强大，远处稀表示场强小。在距Q点r处选一根电力线，它和电荷移动的方向成θ角，如图4-7所示。图

4-7辐射场的计算

当电荷移动的速度u远小于自由空间的光速v0时，图4-7中的电力线在O处和O′处与Q的关系是一样的，如图4-7中的OA和O′B。但为了保持电力线的连通，从OA到O′B必须有一个曲折，如图4-8所示。图4-8是图4-7中电力线曲折处的放大表示。图

4-8辐射电场的计算

用E‖表示沿电力线方向的电场强度，称为纵场。用E⊥表示垂直于电力线方向的电场强度，称为横场。由图可知，O′B∥OA。再从B点引出垂直于OA的线段BC，于是横场E⊥与纵场E‖的大小之比应为(4-6)如不然，在A点的电力线不会与静止电荷的电力线连接，在B点的电力线不会与运动电荷的电力线连接。

两者的合成方向应为曲折的电力线方向。

在式(4-6)中,BC=ABsinθ，而AB又分为两段。一段是以加速度a在Δt内经过的距离，其表达式依据力学原理是a(Δt)2/2。另一段是电荷移动并加速到u以后经过的距离ut，t>>Δt。这样一来，式(4-6)中的BC、AC分别为其中，v0是自由空间(真空)中的光速。将上面两式代入式(4-6)，由于(Δt)2是二阶小量，可以在BC的表达式中略去，于是式(4-6)变为由于u=aΔt,代入上式，约去分子、分母中的Δt后得

已知，对于点电荷Q在相距r处的电场强度用国际单位制表示为E‖=Q/(4πε0r2)。其中,ε0是自由空间的介电常数。把这一结果代入上式，考虑到场自O到r处经历的时间是t=r/v0,

则横向电场E⊥的表达式为

这一结果表示横向电场的大小和电荷的加速度a成正比，与距离r的一次方成反比。E⊥在θ=0处最小，在θ=90°处最大，表明它的大小有方向性。这一结果与用严密的电磁场理论导出的结果一致。它是在Δt时间内由电荷加速运动而产生的辐射电场，即波动电场。依照球坐标中表示矢量的规定，E⊥就是图4-6中的Eθ,即

在推导中，我们认为Δt很小，a为常数。如果a是时间的连续函数，则Eθ式中a应认为是a(t)。

下面我们来看电荷作正弦振动的情形。设电荷Q在z轴的原点上下振动，振动的位移是z=lcosωt。这里l表示振幅，它是指在z轴原点上下振动的最大位移。由此可以算出加速度a=d2z/dt2=-lω2sinωt。于是(4-8)另一方面，如设q=Qcosωt，则由i=dq/dt而得

i=-Qωsinωt=-Isinωt

(4-9)比较式(4-8)和式(4-9)可知，如果电流振幅I=Qω,则可得这就是说，一个在2l范围作正弦振动的不变电荷Q可以等效于一个在l线段上作正弦振动的电流元，如图4-9所示。把式(4-8)中的t改为延迟时间t-(r/v0)之后，将它代入式(4-7)中，再将I=Qω代入即得图

4-9运动电荷与电流元的等效

将代入上式则为

根据式(4-1)、式(4-2)和图4-3的右手螺旋关系可以断定相应的磁场为

把它们写成复数形式即得

(4-10)它就是式(4-5)。这是电流元的辐射场表示式。由于I=Qω，因此Il=Qlω=Pω。这里，P是一对相距极近的等量正负电荷的电矩，即电偶极子的电矩。因此，上述电流元又叫电偶极子。此外，在进一步对天线的计算中它又是计算的基本出发点，所以，上式又称为基本振子的辐射场。振子就是有电流在其上振动以激发电磁波辐射的器件。在天线原理中常用这个名称，也常用电流元的表示式而不把它化为电偶极子。*4.3基本振子的辐射场

1.方向性电磁波的发射总有一个波源。在远区观察辐射场时，这个分布在有限区域的波源可视为一个点源。因此，在辐射问题中所研究的一般是球面波。在这种情形下采用球坐标来表示最合适。在球坐标中通常把Oxy平面称为赤道面，把Oyz平面称为子午面，如图4－10(a)所示。如果把基本振子放在原点且其导体长度与z轴相合，则由图4-6和式(4-5)中可以看出其电场(磁场也一样)在子午面内随θ而变化的规律为正弦函数sinθ。即θ=0时场为零，θ=90°时场最强。在整个子午面上给定距离r，绕行一周，场强振幅大小的变化为形如8字的两个圆，如图4-10(c)所示。在赤道面上如果在给定的距离r上绕行一周，则因式(4-5)所表示的场强与无关，所以场强处处相同，振幅的轨迹是一个圆，如图4-10(d)所示。将两个方面的振幅变化结合起来，可在空间的一定距离上画出如图4-10(b)所示的面圈形。图4-10(b)是空间的立体方向图，图(c)为子午面上的方向图，图(d)是赤道面上的方向图。通常在表示方向图时，都取相对于最大发射场强的数值之比。这样，在图4-10(c)中的圆直径为1，图(d)中的圆半径为1。振幅变化的这种方向性是一切天线所固有的基本特性。实际上不存在没有方向性的天线。图4-10(c)的赤道面又常称为水平平面，子午面又常称为垂直平面。这种称呼是相对于地面来说的。按这个称呼，图4-10(c)就是垂直平面上的方向图，(d)就是水平平面上的方向图。此外，还有以无线发射电波的极化面来区分的方式。

图

4-10基本振子的方向性

2.辐射场的极化情况

研究式(4-5)和图4-6可知，在θ=90°时，电场强度Eθ垂直于赤道面，磁场强度H￠在赤道面上。从原点引出的在赤道面上的任何直线上，电场都是垂直振动的线极化波；磁场都是水平振动的线极化波。因而，子午面就是E面，赤道面就是H面，如图4-11(a)所示。E面和H面的称呼决定于天线发射的电波极化情况。所以，如把振子水平放置，则E面和H面自然就换了位置，如采用E面H面的概念，则图4－10(c)是E面的方向图，图(d)是H面的方向图。由图4-11可知，沿x轴或y轴看，电场矢量和振子长度方向平行。通常判定电磁波的极化以电场矢量为准。因此，在振子垂直于地面放置时，它辐射垂直极化波；在振子平行于地面放置时，它辐射水平极化波。前者的E面垂直于地面，后者的E面平行于地面。

图

4-11辐射场的极化面

3.辐射功率

由式(4-4)可以计算基本振子的平均辐射功率。先计算式(4-4)在一个周期的平均值。它是电场和磁场振幅之积的1/2，

由式(4-5)可知为

这是通过垂直于发射方向的每单位面积的平均功率。要计算辐射总功率应该在一个球面上积分。

已知球面的面积元为

如图

4-12所示。通过此面元的能流量为

于是总功率应为

这里用K代替了不参与积分的各量。上式计算结果为

即

在自由空间Z0=120π,并用电流的有效值Ie来代替振幅，则

(4-11)式中：长度的基本单位为m;电流的基本单位为A；功率的基本单位为W。图

4-12辐射功率计算

从这一计算结果可知，在式(4-5)成立的条件下，频率越高，振子越长，电流越大，则辐射功率越大。此外，从式(4-11)还可看出，辐射功率与距离r无关。这一点表明它脱离了波源就不再返回。要得到这一结果，不仅需要辐射的电场和磁场同相，而且要求它的振辐随距离r变化的规律为与1/r成正比。在以上的讨论中，我们只说明了辐射场的计算及其特性。实际上离开波源而辐射的电磁场只是电磁场中的一部分。依附于电流和电荷的电磁场始终在波源附近振动而不辐射。在基本振子的情况下，这一部分电磁场也是能够确切地计算出来的。从计算的结果可知，依附于波源的电磁场是与1/r2或1/r3成正比的。由它们的横向分量计算出来的总功率将随距离的增加而急速减小。这就说明它们不代表辐射功率。这一部分电磁场常称为感应场，又叫近区场。近区意味着存在于波源附近。辐射的电磁场则称为远区场。4.4电流环的辐射场

图4-13是一个方形电流环，每边都是基本振子，放在坐标原点。和y轴对称的两边长为b，和x轴对称的两边长为a。电流的正方向如图所示。计算的条件仍然是导线的粗细远小于导线的长度，导线的长度远小于波长，波长远小于观察点P与原点的距离r。从图上可见，它的电磁场仍然是围绕着z轴对称的。所以可以预期电磁场将与￠角无关。为简便起见，我们可在xz平面计算辐射场，如图4-13(b)所示。在此面上和x轴对称的小环两边，由于其上电流相反，在P点的场强相对于xz平面完全对称，所以两者抵消。因而，只有和y轴对称的两边对P点的电磁场有贡献。它们的方向都垂直于xz平面。在xz平面上，两振子的电场相当于式(4-5)中θ=90°时的值，而它们的方向在P点是平行于y轴的。由此，可以写成后一式中的负号表示它的电流和第一式的相反。在计算振幅时可以认为当r很大时，r1≈r2=r。在计算相位关系时，不能这样笼统地近似。因为在这种情况下，r1和r2的差别会在相位上引起显著的不同。所以我们采用下面的近似：此两式中加减的一段距离如图4-13所示。合成场应该是两者的叠加，即Ey=Ey1+Ey2。于是把上述关系代入以后得

图4-13方形电流环辐射场计算在此式中

在a<<λ时它很小。所以sinα(a/2)sinθ≈α(a/2)sinθ=(π/λ)asinθ。于是上式成为其中，A=ab是小环的面积。所得的结果就是沿￠角增加的圆弧切线方向的电场E￠。同时，从能流S与电场E￠的关系可以断定，相应的磁场必然为Hθ。两者之间的振幅比为Z0。(4-12)在此式中，Hθ的负号表示它指向θ减小的圆弧切线方向。此外，在小环的情况下，方环和圆环是没有差别的。

式(4-12)所示的电磁场表示于图4-14中。从图上可见，E面是水平面(赤道面)，H面是垂直面(子午面)。电场和磁场之间的相位振幅等关系仍然和基本振子的相同。方向性也没有变化。不同的是，小环的辐射场与基本振子的辐射场换了位置。在小环所在平面内，给定距离r绕行一周，场强不变。在垂直于小环面的平面内给定距离r绕行一周，场强振幅的变化为由两个圆所构成的八字形方向图。由此可见，如果要用小环作接收天线，应该将环面平行于发射方向才能使收到的信号最强。收音机中的磁性环形天线就具有这样的方向性。图

4-14小环的辐射场

用同样的方向，可以计算出平均辐射功率。即

计算结果为

如用电流的有效值Ie代替振幅I，并以Z0=120π代入，则得到最后的结果为(4-13)此式中：尺寸的基本单位为m；电流的基本单位为A；功率的单位即为W。可见，在保持前述的条件之下，频率越高，电流越大，环面积越大，则辐射越强。

现在，可以利用式(4-11)和式(4-13)来比较电流元和电流环的辐射。假定我们把长为l的基本振子，折转为小圆环，使l=2πa，a是小环半径；再利用圆面积的关系A=πa2就能把式(4-13)变为它与式(4-11)之比为

由于我们的计算条件就是l<<λ，可见，小圆环的辐射功率比小电流元的小得多。这就是为什么一般的发射天线不采用环形天线的原因。一个小电流环可等效为一个磁偶极子。所谓磁偶极子，就是由距离很短的正(北极)负(南极)磁荷Qm形成的偶极子，如图4-15所示。磁偶极子磁矩可以表示为M=IA。这里，A是电流环的面积。因此，本节所讲的电流环的辐射场，又称为磁偶极子的辐射场。图

4-15磁偶极子与电流环

4.5对称振子的辐射场

把直导线从中间断开并接入电源作为天线，就称为对称振子。可以把它看作是开路的双导线传输线张开的结果。当电源正弦变化时，开路线上的电源是正弦驻波，终端是波节，电流应该为零。张开以后仍然是波节，断开处传输线送入的电流是反向的，张开之后，电流方向变得相同，在断开处幅度应相等。由这两个要求，再把振子中点放在原点，振子长度与z轴相合，则可设定张开后振子上的驻波电流振幅的分布形式为I=I0sin(l-|z|)其中：|z|是z轴坐标的绝对值，这样写表示原点上下对称位置的电流幅度一样；l为振子一半(即一个臂)的长度；I0是驻波的最大振幅，亦即波腹点的电流。实践证明，这样设定的电流分布在导线细且不太长时是与实际情况相符的，见图4-16。在振子上取dz一段为电流元，把它当做基本振子，则它的辐射电场由式(4-5)可以表示为

在振幅上可以认为r1≈r，在相位因子上则有

r1=r-zcosθ

图4-16对称振子的计算代入上式得

各个电流元在远区P点处的电场dEθ可以近似地认为是同方向的。因而对上式直接积分就能计算出对称振子的电场。

所以

利用积分公式

则得

(4-14)相应地，对称振子的磁场和基本振子一样为H￠，且与电场相比少一个Z0因子，故为(4-15)这就是对称振子的辐射场。它和基本振子一样在垂直于振子的平面上(xOy平面)没有方向性，在包含振子的平面(通过z轴的平面)内有方向性。但是它比基本振子复杂得多。如命(4-16)则它在几种情形下的方向图如图4-17所示。图(a)中1表示基本振子的情况。可以看出，对称振子的方向图比基本振子的更尖锐，且随着长度相对于波长之比的增加而越来越尖锐。在l/λ＞0.5以后，开始出现副瓣。l/λ=1时，变为4个同等强度的发射方向，如图4-17(b)所示。和上述几种方向图对应的电流分布情况如图4-18所示。从图上可见，方向图出现副瓣发生于振子上有反向电流出现的情况下，这时在某些方向上各电流元的辐射可能完全抵消。这种情形在l/λ=1时最严重，以至于在水平平面和垂直平面内辐射都抵消为零。从对称振子的这种方向图的变化可知，如果波长λ不变，要想增加辐射功率必须注意不能无限制地增加天线的长度。反过来，如果天线长度不变，也不能使频率变得太高。通常在工作中使用的对称振子为l/λ=1/4的半波振子(即天线的总长为半个波长)。这种振子的方向函数F(θ)为(4-17)图

4-17对称振子方向图

图

4-18不同的电流分布

半波振子是对称振子天线中应用最广的一类。如果导线的馈电端不在中点断开，则为非对称馈电。它的理论分析方法比较复杂，这里不做介绍。对称振子辐射场的极化情况和基本振子一样。它发射线极化波，包含振子的极化平面为E面，与振子垂直的极化平面为H面。因此，对称振子平行于地面放置时发射水平极化波，垂直于地面放置时发射垂直极化波。4.6天

线

参

数

1.辐射功率与辐射电阻

天线的辐射功率是离开波源而不再返回的能量。从这一意义来说，可以把它比做电路上电阻的功率损耗。因为，电阻的功率损耗也是一种无法收回的能量。因此，天线的发射能力可用辐射电阻来表示。在电路中已知电阻损耗功率为P=I2R。这里，在交流电路情况下，I代表通过电阻之电流有效值。根据这一点，由式(4-11)和式(4-13)即可判定：小电流元(基本振子)的辐射电阻为(4-18)小电流圈(磁偶极子)的辐射电阻为

(4-19)如果不用电流的有效值而用电流的振幅来计算，则辐射电阻应由P=I2Rr/2来确定。在此式中，P是辐射功率，I是电流振幅。但是实际的天线上各点的电流振幅又不相同。所以，辐射电阻的数值会随所选定的电流大小而变。在一般的驻波天线中，常以波腹电流为准。即辐射电阻由下式来确定：(4-20)其中，I0是波腹电流。由此我们可以计算对称振子的辐射电阻。

由TEM波的平均能流S与电场强度振幅E0的关系 可知，辐射功率为

其中，E0θ是式(4-14)中除去复数因子的振幅部分。考虑到Z0=120π，故(4-21)把式(4-21)代入辐射功率公式，则得

于是相对于波腹电流的辐射电阻Rr为

积分结果是一个相当冗长的计算式，在此不再介绍。通常由图4-19的曲线来说明这样算出的辐射电阻随天线相对长度l/λ的变化情况。图

4-19对称振子的辐射电阻

如果天线本身的热损耗可以忽略，则辐射功率就是馈电端的输入功率。已知对称振子馈电端的电流振幅为并令Rin表示输入电阻，则由

可知

(4-23)由此可见，如为半波振子，则l/λ=1/4，于是Rin=Rr。这是因为半波振子馈电端的电流振幅就是波腹电流。从式(4-23)可知，当l为λ/2的整数倍时，Rin→∞。这一结果显然是不对的。这情形也告诉我们，认为对称振子上的电流是正弦驻波分布只是一种近似，它在l为λ/2的整数倍时毫无意义，但在实际情况中，人们总是采用半波振子，因此这种假定是有实际意义的。

2.天线的输入阻抗一个天线在工作时，除脱离波源而辐射的电磁场外还有依附于天线而振荡的电磁波。前者可以等效为电阻，后者可以等效为电抗。因此，从电路观点看，天线是一个阻抗。从天线与传输线匹配的观点来看，需要具体地确定天线的阻抗，以便于采取措施使天线和传输线匹配良好。所以，对于每一种天线，确定它的阻抗计算关系是很重要的工作。但是，当我们这样做时将遇到很大的困难。因此，常采用近似的方法来计算它。下面我们介绍一种最简单的等效传输线法。

等效传输线法就是把天线看作终端开路的平行双导线，如图4-20(a)所示。由于在传输线中依附于导体的电磁场能够用确定的电路参数来描述，因此，把天线与之等效以后也能求得相应的阻抗。在第2章讲到有损耗传输线时曾经求得开路线的输入阻抗表示式为式(2-47)，即

其中，Zc0是无损耗线的特性阻抗，即 ；l是传输线的长度。把上式中实部和虚部分开之后可写为(4-24)式中：Zc0由下式计算：

其中：D是线间距，r为线的半径。β是衰减常数，在高频时β=R/(2Zc0);其中，R为单位长的电阻。α是相移常数，即α=2π/λ。把对称天线等效为开路传输线，认为天线导体的半径和传输线一样，工作波长和相移常数也一样。不同的是无损耗特性阻抗Zc0和衰减常数β。

先算Zc0。在传输线上，Zc0在各处都是一样的。但在天线上由于线间距离处处不一样，故它的特性阻抗也随之而变。由图4-20(b)可见，此时相应的线间距D=2Z。为了获得一个确定的数值，我们来计算平均单位长度的特性阻抗。即

计算出的结果为

(4-25)其次计算衰减常数。为此，必须先算单位长度电阻。在计算时，我们略去导线本身的电阻，而把单位长度电阻视为天线的辐射电阻，这样传输线的损耗变成了天线的辐射损耗。参考图4-20，设等效传输线上任一处的电流为I(z)，则整个传输线上的损耗功率为

令它等于式(4-22)中的辐射功率，

则

图4-20计算平均特性阻抗在对称振子中曾设I(z)=I0sinα(l-z)，把这一式子代入上式积分后，即可算出等效的单位长度电阻为(4-26)由此可以把衰减常数写成

(4-27)图

4-21对称振子输入阻抗

3.天线的效率

设P是天线的发射功率，P0是输入到天线的功率，天线的损耗功率为PL。显然，PL=P0-P。由此，天线的效率可规定为(4-28)天线的损耗功率包括：天线中的电阻损耗、介质损耗和感应损耗。后者是指天线的架设设备中和地中感应电流引起的损耗。天线的效率常用百分数表示。一般实际的数值大约为：长波天线η=10%～40%；中波天线η=70%～80%；短波天线η=90%；超短波及微波天线η=100%。

4.方向图和主瓣宽度

表示天线场强大小与方向关系的图称为方向图。一般来说，场强的方向性可用球坐标的两个角变量θ和￠来表征，这种情形下，表示天线方向性的函数F(θ,￠)规定为

即

(4-29)在此式中，|E(θ,￠)|是某个方向上的场强振幅；|EM|是最大发射方向的场强振幅。

除依场强的方向性函数画方向图外，还常依平均能流S(θ,￠)来画天线的方向图。显然，S(θ,￠)与F2(θ,￠)成正比。图4-22是以极坐标和直角坐标表示的天线方向图。图上虚线是功率流[AKS-]的方向图。天线的方向性一般不采用空间的立体方向图表示，而采用两个特定的互相垂直的平面上的方向图表示。这种方向图是空间方向图与这两个平面的交线。这两个平面可取赤道面(水平平面)和子午面(垂直平面)；也可依天线本身发射的电波极化平面取E面和H面。

依据方向图可以确定主瓣宽度。所谓主瓣宽度，即是辐射功率密度降至最大辐射方向一半时的两个发射方向之间的夹角，如图4-22中的2θ0。对场强来说，是指场强降至最大方向值的1/＝0.707时的主瓣宽度。例如，米波的引向天线2θ0约为几十度到十几度；米波的同相水平天线约为十几度到几度；

厘米波的抛物面天线为几度或1°以下。

图4-22天线的方向图

5.方向系数和增益系数实际的天线都是有方向性的，它们发射的功率密度S并非在各个方向都是相同的，但为了确定一个反映方向性的参数，我们可以设想存在着一种各向同性的发射。换句话说，如果我们把天线辐射的总功率P平均地分配到各个方向上，那么在各个方向的功率密度将是一样的。

这就是各向同性辐射。如用Sa表示这种辐射功率密度，则

(4-30)其中，分母表示半径为r的球面积。由此可以定义方向系数D，它是实际的能流密度S与这个Sa之比，即(4-31)可见，方向系数是在相同的发射功率条件下，在某一方向上，有方向性天线与无方向性天线相比的功率密度增加的倍数。

在自由空间发射的球面波是TEM波。如用EA表示有方向性天线某点辐射电场的振幅，则

(4-32)于是从式(4-30)、

式(4-31)和式(4-32)可计算出

(4-33)由此可见，方向系数D的意义又可以理解为：在辐射场中同一点要获得相同的场强时，无方向性天线的发射功率要比有方向性天线的发射功率增加的倍数。即原来的发射功率若为P，则现在要增加到PD。或者说是在同一点保持相同场强时，把无向天线改为有向天线时，总发射功率减少的倍数。例如，对于基本振子，由式(4-10)可知：把它代入式(4-32)可计算出S。然后从式(4-10)求得其辐射功率再代入式(4-30)，就能算出Sa。这样由式(4-31)算出的方向系数为D=1.5sin2θ

在最大发射方向上，，于是,D=1.5。这是基本振子的方向系数。对于对称振子天线系统，

由式(4-14)可知，

在一般情况下有

代入式(4-32)得

另一方面由式(4-20)可知：

然后利用式(4-31)就能算出这类天线的方向系数为

(4-34)实际上通常所说的天线方向系数就是指天线在最大发射方向的方向系数，

即

(4-35)例如，对半波振子l/λ=1/4，从式(4-17)可知，Fmax(θ)=1，从图4-19查出,Rr=73.1Ω。由此算出D=1.64。方向系数在米波引向天线为几十；在米波同相水平天线阵为几百；在微波抛物面天线可达几千以上。方向系数又常用分贝(dB)数表示，即D(dB)=10lgD

(4-36)如果不用发射功率P，而以天线输入端的功率P0来定平均能流密度，并用S0表示，则可以得到和式(4-31)相似的关系，用G表示，称为天线的增益系数，即(4-37)式中：

即认为用无方向性天线以η=100%的效率发射，于是全部天线输入功率成为理想的无方向性天线的发射功率。将式(4-33)代入式(4-32)中，并考虑到上式就能算出增益系数G与方向系数D的关系为式中，η为天线的效率。在超高频天线中由于η≈1，故增益系数G和方向系数D没有差别。增益系数也常用分贝表示，

即

G(dB)=10lgG

(4-39)(4-38)

6.天线的通频带把上述天线参数符合所规定的技术要求时的工作频率范围，称为天线的通频带。在涉及天线的带宽时，要特别注意的是方向函数、增益特性、副瓣电平、极化和阻抗等随频率的变化情况。一般天线通频带的相对宽度Δf/f0×100%可以是百分之几至百分之几十，这主要决定于天线的种类和结构。

7.天线的有效面积

有效面积是接收天线的一个重要参数。它的定义是：接收的最大功率Pmax和在接收点的功率密度S之比。前者的单位为W，后者的单位为W/m2。所以，两者之比的单位是面积，即

(4-40)其中，A表示有效面积。根据这一定义可以导出有效面积A与方向系数D之间的关系：

(4-41)4.7二元振子系的方向性

1.二元振子的一般情况

在式(4-14)中，如果把表示方向性的函数F(θ)去掉，则电场强度为此式表明，在r一定的球面上，Eθ的大小处处相同。

因此，这是各向同性辐射场。但是电场强度是一个矢量，各波源发射的电场应该是矢量相加。不过由于我们只在一定的平面上研究系统的方向性，而这个平面或者与电场垂直或者与电场矢量相合，如图4－23所示。不论是哪一种情况，都可以用两个电场的代数和来代替矢量和。因为，在电场垂直于所研究的平面时，各矢量是平行的，它们的矢量和就是代数和；在电场矢量处于所研究的平面上时，只要足够远，各电场矢量在方向上的差异也很小，可以忽略，所以仍然能用代数和来代替矢量和。图4-23两电场的叠加(a)两电场垂直于纸面；

(b)两电场在纸面上

为简单起见，我们用常数K代表上式中不随空间变化的部分。于是对图4-23所示的两个波源，可设由A发出的电场为

由B发射的电场为

即相距为d的两振子，电流振幅相同，相位不同，EB超前于EA一个￠角。观察点P与坐标原点的距离为r，与横坐标的夹角为θ。由图4-24可知：图4-24计算合成场在计算振幅时可认为r1≈r2≈r。把这些结果代入就能算出E：或者写为

(4-42)这是二元各向同性振子合成场的一般性结果。这一结果告诉我们在给定方向(例如θ一定)上，电场振幅的大小基本上决定于两个因素。一个是因振子位置不同，到达观察点的波程不同而引起的相位差。波程差导致的相位差由α(d/2)sinθ反映出来。另一个是振子上激励电流的相位差。这个相位差由￠反映出来。注意到这两者，就容易从概念上判定方向性。2.二元振子系的特殊情况

第一种情形：两电流同相，￠=0。这时式(4-42)变为(4-42)此式表明，由无方向性的振子排列起来能够得到有方向性的场强。在θ=0，即在垂直于振子连线的中心轴上，场强最大为2E0。这个方向是最大发射方向。因为，一方面波源同相；一方面两振子到此轴线上任一点所经过的距离相同，即由路程而引起的相位差一样；所以在此轴线上任一点两个电场同相相加，构成了最大发射方向。在θ≠0的其他点，如果(πd/λ)sinθ是2π的整倍数，则场强振幅最大；如果(πd/λ)sinθ是π的奇数倍，则场强为零。这些场强的最大值和零值在最大发射方向两边对称地分布。这种情况下有一种很有用的例子，是当振子相距λ/2的情形。这时在式(4－43)中以d=λ/2代入则得(4-44)这时，场强的方向图上有两处极大值，即θ=0和θ=180°；有两处零值，即θ=90°和θ=270°；如图4-25所示。最大发射方向在连接振子的直线两边，并在中点处垂直于此连接直线。图

4-25相距半波同相激励

第二种情形：两电流反相，￠=π。这时式(4-42)变为

即

(4-45)此式表明，θ=0的方向是电场为零的方向。在此方向的两边对称地分布着场强的极大值和零点。当(πd/λ)sinθ是π/2的奇数倍时，场强为极大值2E0；当(πd/λ)sinθ是π的整数倍时，场强为零。

在此情况中一个有用的特例为d=λ/2的情形。这时式(4-43)变为

(4-46)它表明最大发射方向在θ=90°和θ=270°的位置；零方向在θ=0°和θ=180°的位置。整个方向图如图4-26所示，与图4-25相比恰好转了90°。两个最大发射方向和连接振子的直线一致。这一点可以由波源和波程的相位来解释。由于波源是反相激励的，而沿θ=0的直线上任一点与波源的距离相等，没有路程引起的相位差，因此在此直线上任一点的电场处处反相抵消为零。在θ=90°的方向上，振子B的电流反相，被经过λ/2的路程引起的180°相移所补偿，故在此直线上任一点的电场处处同相加，形成最大发射方向。

图

4-26相距半波反相激励

第三种情形：两振子电流相位差￠=π/2。这时式(4-42)成为

此式可化为

然后计算其幅度，最后得到

(4-47)在此情况下有一个特殊的例子是当d=λ/4的情形。这时式(4-47)变为

(4-48)由此可见，θ=0时， ；θ=90°时，E=2E0为最大；θ=180°时，E=2E0；θ=270°时，E=0。它所表示的方向图如图4-27所示，常称为心形方向图。这一结果说明当振子相距λ/4时，激励电流超前90°的振子好像变成了一个反射器，把电场向另一振子方向反射过去，以致最大发射方向是从相位超前90°的振子指向落后于它90°的振子方向。

这是因为在θ=90°的线上，也就是振子的连线上靠振子A的一边，其上任一点由B发出的波经过λ/4波长的距离后，有90°的滞后，把原来超前90°激励的相位抵消了，故它在该点的波和振子A发出的波同相，因此使该方向发射最强。反过来，如果在图4-27中的振子上，A的激励电流超前于B，则A将成为反射器使最大发射方向转变到θ=-90°的位置。图

4-27心形方向图

3.方向图相乘原理在上述关于二元振子的讨论中，我们暂时略去了振子本身的方向性，而仅由振子的排列和电流的大小相位来获得一定的方向性。这样做至少需要两个振子。两个以上的天线依一定的规则排列，依一定的规则馈电，就称为天线阵。由此而得到的方向图函数叫做阵因子。方向图相乘的原理告诉我们，如果每一振子有同样的方向函数f(θ,￠)，用这种振子排列天线阵所得的阵因子为F(θ,￠)，那么整个天线阵的方向图就由两者之积f(θ,￠)F(θ,￠)决定。有两个半波天线，平行放置，相距λ/4，第一振子的激励电流超前于第二振子90°，求在垂直于振子的平面(H面)和在包含振子的平面(E面)上的方向图。已知在垂直于振子的平面上，振子本身无方向性，它的方向图是原点为中心的圆。但由图4-27可知它的阵因子为 ，两者相乘，方向图的函数式仍与式(4-48)所表示的一样，如图4-28(a)所示。在包含振子的平面内，已知单个半波振子的方向图如图4-17所示。它乘上式(4-48)所示的方向函数之后，应为图4-28二元半波振子方向图(a)H面方向图；

(b)E面方向图

4.8反射面的影响

反射面就是金属导体面或地面。它们与天线的辐射有密切关系。在处理地面对天线辐射的影响时，常常首先把它看作理想的金属导体平面，然后再依实际地面的情况对计算结果作修正。

所以，本节主要说明理想的导体面对天线的影响。

导体面对天线的影响，可根据镜像原理来处理。这个原理指出导体面的影响可以看成是在导体面下对称位置有一相同的天线辐射的结果。换言之，就是把导体面对电磁波的反射用一个在反射面后对称位置的假想天线来代替。这一假想天线的位置和电流方向应依照交界面对称点的电荷反号这一原则来判定。由此可得出图4-29所示的各种位置天线的镜像。由图可见，垂直天线的镜像电流与原天线的同向；水平天线的镜像电流与原天线的反向。

图

4-29镜像原理

应当指出，镜像天线的作用只是为了计算面上空间的辐射场。把它用于面下是没有意义的。根据这一点我们可以采用二元振子系的计算方法来研究天线置于导体面上的辐射场。当天线平行于导体面放置时，镜像天线的电流和它相反，相当于两天线反相激励。设此水平天线与导体面的距离为H，则由图4-26可知，只要把式(4-45)中的d用2H代替就能得出导电面对水平振子的影响。即表示方向的因子为(4-49)如图4-30(a)所示。对于垂直导体面的振子，则可参看式(4-43)及图4-25而得出，即

(4-50)如图4-30(b)所示。如上述导体面是地面，则式(4-49)适用于水平振子，式(4-50)适用于垂直振子。这时，Δ称为仰角，H是天线距地面的高度。

图

4-30反射方向因子的导出

式(4-49)和式(4-50)告诉我们，完全反射面的影响可使一个无方向性天线也具有瓣形结构的方向图。产生这种方向性的原因主要是电流相位和波程相位的不同。图4-31表示了一个水平振子和一个垂直振子放在地面上而把地面视为理想导体时的方向图。同时也指明了当地面具有有限电导率时的结果(虚线)。

图4-31地面对天线的影响(a)水平天线；

(b)垂直天线

4.9互易原理简述

电路中的互易原理，最简单的形式如图4-32所示。该原理指出：理想的电压源U(无内阻抗)在支路1中，它在支路3中产生电流I；如把此电压源自支路1中取出(取出后电路接通)安放到支路3中，则它在支路1中产生的电流仍然为I。对于图4-32所示的简单电路，

可以通过直接计算来证明。

图

4-32电路互易原理

将此原理更形象地应用于天线则是在图4-33所示的网络中，具有零值内阻抗的电源位置和电流计(图上A)的位置可以互换而不影响电流计的读数。根据这一原理可知一个天线可用作发射，也可用于接收。不论用于发射或接收，天线的性能和参数都不变。互易原理存在的条件是电路阻抗值与电流或电压无关，即电路必须是线性的。同时，在搬动电压源时应把实际电源的内阻抗留下，在搬动电流表时也应把实际的电表内阻抗留下。此外，该原理用在天线中时还要求传播介质的电参数(ε,μ)与电场强度和磁场强度无关，即要求介质是线性的，例如不存在气体放电、磁饱和现象及电离区域等。图

4-33天线的互易原理

4.10惠

更

斯

原

理

波是由波源的振动产生的。波是这种振动的传播。波在传播过程中又依次在介质中激起振动。因此，我们可以设想，在一定的介质中传播的波，其波阵面的每一点都可视为向下一步传播的新波源。从这一概念出发提出了惠更斯原理。惠更斯原理认为，在前进中的波阵面上每一点的作用都相当于一个小球面波源,见图4-34(a)。从这些波源产生了二次发射的球面子波。相继的波阵面就是这些二次子波波阵面的叠加。或者从几何观点来说，新的波阵面是和这些子波波面相切的曲面。这一曲面又称为包络面。在图4-34(b)中，A是原波阵面，A′是传播中的下一个波阵面。可以看到A′和A上各个球面子波波面的包络面。

这些小球面波源。

常称为惠更斯源。

图4-34惠更斯原理(a)平面波；

(b)球面波；

(c)任意曲面波

应用惠更斯原理时要注意的是，某一波阵面上的惠更斯源只对构成下一波阵面有作用，它在原波阵面后方不起作用。这一点在原则上是可以证明的(证明过程从略)。惠更斯原理是波动中的一个普遍原理。在机械波和电磁波中都同样适用。但是，电磁波是本身以波动形式存在的电磁场。因此，就电磁波而言，惠更斯源就是在传播过程中，在一定的波阵面上振动着的电磁场。下面我们进一步说明在电磁场中这种惠更斯源的性质。

图

4-35波阵面上的面元

设想在空间传播着横电磁(TEM)波，我们在它的波阵面上取很小的一个小方块。在此方块上电场强度E和磁场强度H都是均匀分布的。如把此面元放在坐标原点与xy平面相合，则将如图4-35所示。电场E在x轴正方向，磁场H在y轴正方向，传播方向为z轴正方向。此外，根据TEM波的特点，在传播中，储存于电场和储存于磁场的能量是相同的。因此，如果要把此面元上的E和H看作惠更斯源，则电场E的振动将激起一个电磁场；磁场H的振动也将激起一个电磁场。这两个电磁场之和才是此面元上电磁场激起的子波辐射场。那么什么样的辐射源所产生的电磁场，才分别与图4-35所示的电场和磁场相当呢?为此，需要回忆电偶极子(电流元)和磁偶极子(电流环)的电磁场。由图4-7和图4－14可知，如果像图4-36那样放置电偶极子和磁偶极子，则相应的磁场和电场将如图4－35那样。因此，横电磁(TEM)波波阵面上任一点的惠更斯源可用电偶极子和磁偶极子来等效。从这种等效可以导出惠更斯源所产生的辐射场的一般表示式。

图4-36等效惠更斯源(a)电偶极子；

(b)磁偶极子

在图4-37中于坐标原点处，沿x轴的负方向放置电偶极子，用↓表示；沿y轴的正方向放置磁偶极子(与电流环中的电流成右手关系的方向),用←表示。它们在z轴上一点S处的电场和磁场如图4-37所示，上标e表示电偶极子的场，上标m表示磁偶极子的场。场的方向分别依据式(4-5)和式(4-12)来决定。由此可见，在此图中，x