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第2章传输线2.1传输线的基本概念

2.2均匀传输线的行波和特性阻抗2.3无损耗传输线的一般性质

2.4反射系数和行波系数

2.5阻抗计算圆图

2.6传输线的匹配

2.7有损耗传输线

2.8传输功率和效率

2.1传输线的基本概念

在无线电设备的高频部件之间以及高频部分与天线之间的连接线,在其长度与工作波长差不多或比工作波长更长时,电流和电压将以波动形式沿线传播。这时,沿线各处的电流电压大小和正负都不相同,而不像普通交流电路那样全部电路中的电流和电压在各处都是同时变化的。具有这种性质的用来传送电磁能量的导体系统通称为传输线。用来连接高频输出或输入部分与天线之间的传输线又常称为馈线。实际上,在有线通信中,使用的长途通信线上,也呈现出了电流电压的波动性质。

图2-1传输线的等效参数(a)集中参数;

(b)分布参数

是否考虑分布参数决定于线的长度。这个长度是相对于波长而言的。在低频,即使线很长,例如1km,但对频率为50Hz,波长为6000km的交流电来说,它却很短,可以不必计较线本身的分布电感和电容。因为,在这样长的波中,即使在10km的长度上也察觉不到电流和电压的差异。如果导线只有1m长,但对3000MHz的波来说,相当于10个波长,在此线上各处电流与电压的大小和正负都不相同,有10个周期性的变化。这时,必须计及分布参数的作用。因为,1m长的线对3GHz来说,已是很长的线了。所以,常常又把传输线称为长线。

现在,我们以直线电压的传播为例,来解释有限速度的波动过程。如图2-2所示,设想有一个直流电压接通于传输线,这个电压不可能立刻布于双线之间而需要经过一段时间。在电源刚接通时,先经过一段时间对第一个电容充电,达到电压U0。这时第二个电容尚未充电,于是第一个电容必然通过电感放电给第二个电容。由于电感有反抗电流变化的作用,故放电过程又需要经过一段时间。在第一个电容放电时,其电压降低,低于电源电压U0

,于是电源又对第一个电容充电。而当第二个电容充电到一定电压时又通过电感放电给第三个电容。这样一步一步下去,一方面,前一个电容不断地通过电感放电给下一个电容;另一方面,电源不断补充电荷维持一定的电压。这就形成了在电路上的直流电压波。并且,正是由于电感对电流变化的反抗作用和电容对电压变化的反抗作用,这种充电、放电过程在线上以有限的速度传播,

而不是瞬时传递的。

图2-2电压波的传播

2.2均匀传输线的行波和特性阻抗

实际工作中使用的传输线如图2-3所示,其中各部分的电感、电容等是不一样的。以带有绝缘支架的双导线和同轴线为例,可以看到,在有支架处和无支架处,至少漏电的电导和线间的电容是不一样的。因此,这些参数不是沿导线均匀分布的。为了使这类问题的数量分析简化,我们采用理想的情况,即认为不论在线路的哪一处,它在单位长度上的电感、电容、电阻和电导都是相等的。

这样的传输线叫做均匀传输线。

图2-3常用的传输线

电路的各种参数,在整个线路上不能把它们集中起来,但在Δz长度的小范围之内,可以把它们集中起来。在这样的一段线路上可以用已知电路规律来处理,这种理想化的情况及其等效的参数如图2-4所示。图2-4(b)是不考虑导线本身的电阻和线间的漏电导,只考虑电场和磁场时的情况,

图2-4(c)是最一般的情况。

图2-4均匀传输线的等效参数(a)双导线;

(b)

无损耗等效;(c)

有损耗等效

设想传输线无损耗并且是无限长,电压和电流波将沿导线向一个方向传播。这时电路上只有一个方向的行波。从电源来看,不断有能量送出去而没有返回,就相当于有一电阻性负载吸收了全部电磁能量而无返回。既然是电阻性负载就表明在此单一方向的行波中电压和电流是同相的。对于一段有限长的传输线,如果我们能够找到一个适当数值的电阻性负载阻抗,把它接在终端,其效果相当于把传输线转变成为无限长线,线上只有行波,则这个阻抗值称为传输线的特性阻抗(又称波阻抗)。它的具体数值是由导线的形状尺寸和分布状况来决定的,与传输线的长短无关。在无损耗的情况下,它与频率无关,而且是实数。下面我们来导出它的表示式。

令L和C分别表示传输线上单位长度的电感量和电容量,设Δt代表电压和电流波在线上经过Δz长度所需要的时间。如以v代表波速,则Δz=vΔt。在Δz这一段内的电感量是LΔz,电容量是CΔz。参考图2-5,令ΔI表示A点流入的与C点流入的电流之差;ΔU表示AB间电压和CD间电压之差。根据电磁感应定律,电压的增加值应与Δz段内电流变化引起的感应电动势数值相等,即电流的增加值与注入Δz段内的电荷增加值相等,

图2-5求行波的电流电压关系

为简单起见,我们认为在Δt时间内,向右传播的波中其电压和电流的零点由A点移至C点,如图2-5下部电流电压曲线所示。这样一来,上两式中的ΔU和ΔI就分别等于U和I,再考虑到v=Δz/Δt,则上两式可写为

(2-1)从这两式出发,

经过简单的代数运算,

可以得到以下几个重要结果:

特性阻抗为

(2-2)单位是Ω(欧姆)。

波速(相速)为

(2-3)单位是m/s(米/秒)。在正弦波的情况下,由第1章1.3节式(1-9)可得相移常数为

(2-4)单位是rad/s(弧度/秒)。当传输线是理想导体且线间的介质是空气时,它的介电常数和导磁率与真空的很相近。这时,式(2-3)所表示的相速为一固定的值,即真空中的光速v=3×108m/s。有了这些参数之后,在波源是简谐振动的条件下,传输线上电流和电压的行波关系式分别为

(2-5)这种行波状态表示在图2-6中,图上同时也简单地表明了电场和磁场的分布。电流和电压行波沿导线从电源至终端以速度v运动。但用电压表沿导线在任一点测量,所得的结果都为一定值。

这是由于电压表所测得的是平均值(或有效值)的缘故。

图2-6电压和电流行波

对给定的传输线,计算电流所产生的磁场能求出单位长电感L;计算电荷所产生的电场能够求出单位长电容C,再利用式(2-2)就能算出其特性阻抗。常用的有关公式列于表2-1中。

表2-1常用的有关公式

2.3无损耗传输线的一般性质

实际的传输线不可能获得理想的完全行波状态。它总是存在着一个入射波和一个反射波。只是在不同条件下,两者所占的成分不相同。因此,特性阻抗不能反映这种一般情况下的传输线性质,而必须找出代表传输线一般特性的阻抗。我们称它为传输线阻抗。现在计算均匀无损耗线的阻抗。在计算中通常以负载端为坐标原点,向波源端为坐标正方向。这样一来,如果用z表示从终端向电源端的距离,则入射波应表示为ejαz;反射波应表示为e-jαz。在一般情况下,线上任一点处的电压和电流都是入射波和反射波之和,即两个相反方向的行波之和:

再根据上节所讲的知识,对无损耗传输线相应的电流可表示为

其中,A,B分别为两个电压波的振幅,在此还是一对未定常数。电流反射波前面的负号是依据一般的规定,即与正向电流相比,反向电流应为负值。对电压反射波不需反号,因为由图2-7可知,对所设的电流正值方向来说,正向电压与反向电压的正方向都是使a点为正,b点为负。A,B两个常数的值,可以由给定负载端的电压、电流来定,也可由给定电源端的电压、电流来定。现在我们以给定负载端的电压UL和电流IL来定它们,即要求图2-7阻抗计算

把这个条件代入上两式可得

由此解出

把此结果代入前式,并令

(2-6)则得

(2-7)或者,考虑到欧拉公式

以及式(2-6),

经过演算,能够把式(2-7)化为

(2-8)其中,UL和IL是终端负载的电压和电流。在一般情况下,它们是复数。把上两式相除,并且考虑α=2π/λ以及在终端ZL=UL/IL,就可算出无损耗传输线接入任意负载ZL后,在线上任一段的阻抗,即(2-9)可见,这个阻抗不仅与负载、频率(波长)、在线上所取的距离和线本身的特性阻抗有关,而且还是一个沿线的长度作周期变化的函数。它能够反映无损耗线终端接任意负载阻抗ZL的基本性能。

1.终端接入匹配负载

这时,ZL=Zc,由式(2-9)可知,Z=Zc。反射波为零,线上只有一个单方向传输的行波,即入射波。此外,阻抗与线的长度无关,也就是说,只要接入Zc,不论接到传输线的哪一段上,

传输线阻抗都等于线的特性阻抗。

2.终端短路这时,ZL=0,UL=0,由式(2-9)可知

Z=jZctanαz

(2-10)由式(2-8)可知

(2-11)依照我们以前的约定,将式(2-11)乘以ejωt再取实部即得瞬时变化的函数关系:(2-12)当终端短路,电磁能传输到终端时,能量不被吸收,将要送回电源,于是有反射波存在。同时,由于全部能量都不吸收,故反射波与入射波的振幅相同。这样,入射波与反射波叠加起来在全部线路上形成电流、电压的驻波。驻波的腹波与波节是固定的。但对于终端短路的线来说,在短路端是电流驻波的波腹和电压驻波的波节,这一点可由图2-8说明。当波传到终端时,正电荷和负电荷都分别通过短路线返回来,因此,在终端的两头总是同时带有异号电荷,与电荷相联系的电压(与电压成正比)相应地抵消到最小,于是终端形成电压波节。至于电流,则由于异号电荷的反向流动等于同号电荷的同方向流动,故终端电流总是相加成为最大,形成波腹。然后,从终端算起,电流、电压的波节与波腹依次交替出现,

如图2-9所示。

电压驻波,在终端是波节,以后从终端到电源,每隔半个波长的地点都是波节。至于电流驻波,它的第一个波节在距终端λ/4处。此外,从式(2-10)可知,这时传输线相当于一个电抗,并且从终端算起周期性地表现为串联谐振、感抗、并联谐振、容抗。以后再重复出现,如图2-9所示。图上也画出了相对于终端的沿线电流和电压的相位变化曲线。由此可见,每经历半个波长,电流和电压都有180°的相对相移。图2-8短路端的电荷运动

图2-9短路线的相位、

电流、

电压和阻抗的沿线分布

3.终端开路

这时,ZL=∞,IL=0,

由式(2-9)可知

Z=-jZccotαz

由式(2-8)可知

(2-14)经过同样的数学变换,得到电压、

电流的瞬时值分别为

(2-15)当终端开路,电磁能传输到终端时,能量不被吸收,将要送回电源,于是有反射波存在,同时,由于全部能量都不吸收,故反射波与入射波的振幅相同,这样,入射波与反射波叠加起来,形成电流、电压的驻波。对于终端开路的长线来说,在开路端是电压驻波的波腹和电流驻波的波节。这一点可由图2-10来说明。

当波传到终端时,由于开路,正电荷与负电荷都要沿原来的导线返回来,因此,在终端两头总是带有较多的同号电荷。与电荷相联系的电压相应地增加到最大,于是终端形成电压波腹。至于电流,则由于同号电荷的反向流动而抵消至最小,形成电流波节。电压驻波在终端是波腹,以后从终端起算,每隔λ/4,电压与电流的波腹和波节交替出现一次。此外,从式(2-13)可知,传输线的输入阻抗是一个电抗。从终端起依次为并联谐振、容抗、串联谐振和感抗。然后,再重复出现,如图2-11所示。图上也画出了相对于终端的沿线电压和电流的相位变化曲线。

由此可见,每经历半个波长,电流和电压都有180°的相对相移。

无损耗短路线和开路线的这些性能在实用上有很大的意义。由于长度小于λ/4的短路线相当于电感,小于λ/4的开路线相当于电容,因此能够把它们配合起来构成谐振电路。当无损耗短路线和开路线用作谐振线时,可以获得很高的Q值。Q值的计算公式可依一般的表示式导出。利用式(2-2)、

式(2-3)和式(2-4)即得

(2-16)其中,Zc是特性阻抗(Ω);R是单位长的电阻(Ω/m);λ是工作波长。例如,有一同轴线Zc=60Ω,R=0.1Ω/m,在工作于λ=60cm时可算出这样高的Q值在普通集中参数的谐振回路中是无法做到的。

图2-10开路端的电荷运动

图2-11开路线相位、电流、电压和阻抗的沿线分布

除用作谐振线外,无损耗短路线和开路线还可用作滤波器。图2-12是用λ/4短路线并联接入和λ/4开路线串联接入,以滤除偶次谐波的例子。当无损耗线的长度为λ/4,且终端短路时,阻抗相当于并联谐振为无限大。但对于二次谐波,却是λ/2长的传输线,它的阻抗相当于串联谐振为零。如果终端开路,则基波为λ/4长的传输线,对其二次谐波阻抗为无限大,相当于并联谐振。这样如把λ/4短路线并联接入,会使偶次谐波被短路;把λ/4开路线串联接入,会使偶次谐波断路,由此达到滤除偶次谐波的作用。并联接入的λ/4线还可用作金属绝缘支架,因为,对基频它的阻抗无限大。当然,用在这种场合,

必须要求工作频带很窄才行。

图2-12滤波器

4.终端接电抗或电阻

对无损耗传输线,终端接入纯电感或纯电容时,仍然没有功率消耗,在线上有完全的电流和电压驻波。不同的是波节点和波腹点不在终端。但是,电压或电流本身的波节(或波腹)之间相距λ/2以及电压与电流的波节之间相距λ/4的规律仍然是成立的。在这种情形下,可以用一段电抗与之相等的开路线或短路线来代替电感或电容。代替之后,可用开路线或短路线的方法判定波腹点和波节点。最后按实际的线长截去,则得实际的节点或腹点位置,

如图2-13所示。

图2-13电抗负载

当终端接入不等于特性阻抗的纯电阻时,由于电阻负载将吸收功率,反射波的振幅减小,它和入射波叠加之后,不再是完全的驻波,即驻波的最小点不为零。但最小点和最大点的位置仍与开路线和短路线的相同。当ZL=RL>Zc时,终端是电压的波腹,电流的波节。当ZL=RL<Zc时,终端是电流的波腹,电压的波节。

这两种情况如图2-14所示。

图2-14电阻负载

5.阻抗变换特性

从上面的一些特殊情况可以看出,传输线的阻抗,每经过λ/2又会重复。从式(2-9)可知这个性质在一般情况下对无损耗传输线来说也是对的。因为,以z±(λ/2)代入式(2-9)后,由于其结果不会改变传输线阻抗Z的性质。所以,长度为λ/2的一段无损耗传输线相当于一个1∶1

的阻抗变换器。

图2-15倒相器

利用这一点以及每经历λ/2电流和电压有180°相移的性质,在给天线阵的各个天线元馈电时有很重要的意义。图2-15是这种馈电方式的示意图。这种线路的连接称为倒相器。在图中由λ/2短路线的性质可知,A、B点都是地电位,至天线1和天线2的馈线,阻抗不变,但电流(或电压)有180°的相移。从式(2-9)还可以看出,

如果线长为l=λ/4,则传输线的阻抗为

因此,如果把Z认为是一种传输线的特性阻抗,令它为Z1,把ZL认为是另一种传输线的特性阻抗,令它为Z2,则可以把一段λ/4长的传输线的特性阻抗Zc调整到使(2-17)即

这就能够使特性阻抗不同的两段传输线匹配。例如,设Z2=75Ω,Z1=300Ω,那么可算出Zc=150Ω。可见,选特性阻抗为150Ω的一段长度为λ/4的传输线串入,它能把75Ω的特性阻抗变换为300Ω,以达到匹配,如图2-16所示。图2-16λ/4阻抗变换器

在无损耗均匀传输线的终端接上一般性负载时,沿线的电流、电压以及阻抗的变化是单接电阻和电抗的组合。这时,终端既不是波腹点也不是波节点;在电流和电压的波节处最小值也不是零。但是各自的波腹或波节之间相距λ/2,以及电压和电流的波节(波腹)每隔λ/4交替出现则是一样的。至于阻抗的变化仍然是在电压的波腹与电流的波节处出现并联谐振,在谐振点电流与电压同相,传输线阻抗为纯电阻。

2.4反射系数和行波系数

电压反射系数已知在传输线上任一处电流、

电压的复数式分别为

(2-18)(2-19)其中“+”号表示入射波,“-”号表示反射波。如果我们规定电压的反射波与入射波之比为电压反射系数,并用ρ表示,则

在这种情况下,

式(2-18)可写为

(2-20)在终端负载处z=0,电压反射系数即为

(2-21)在一般情况下它是复数。|ρ0|是终端反射系数的大小,它的值不可能超过1。利用这个结果,线上任一处的反射系数就可写成

(2-22)

2.电压的最大值和最小值

终端接入一般性负载的无损耗均匀传输线,其最大值(波腹)和最小值(波节)有确定的大小和位置,如图2-17所示。利用反射系数的关系能够简便地把它表示出来。由式(2-20)和式(2-22)可以写出

其中,第一个因子U+0ejαz的振幅是一定的,即|U+0|。在第二个因子中,如果¢0-2αz=0,则为最大值,即1+|ρ0|。这时电压的最大振幅为

(2-23)(2-22)在第二个因子中,如果¢0-2αz=±π,则为最小值,即1-|ρ0|。这时电压的最小振幅为从负载端起算的第一电压最大值的位置由¢0-2αz=0决定。若令zmax1表示,则(2-25)由于最小值与最大值的距离相差λ/4,因此,若令zmin1表示电压的第一最小值位置,则

(2-26)图2-17计算波腹点和波节点

3.行波系数

从式(2-23)和式(2-24)可以规定传输线的行波系数和驻波系数的计算公式,即行波系数

(2-27)驻波系数(也称驻波比)(2-28)这两个参量是互为倒数的,即KS=1。行波系数的大小表示进入负载而不反射的行波成分大小,它的范围是0≤K≤1。驻波系数表示不为负载吸收的反射成分大小,它的范围是1≤S≤∞。有的人倾向于使用行波系数,有的人倾向于使用驻波系数。由上两式可以算出(2-29)

4.反射系数与阻抗的关系

利用式(2-19),

经过与导出式(2-20)相类似的过程(详细计算从略),

可以导出

(2-30)将此式与式(2-20)相除,再考虑到式(2-6),就得到线上任一处的阻抗与反射系数的关系:

(2-31)或

(2-32)在终端,Z=ZL,ρ=ρ0,于是上两式可写为

(2-33)可见,如果能够求得终端反射系数ρ0,则在已知传输线特性阻抗的情况下能算出负载阻抗。或者,反过来已知负载阻抗ZL时可求ρ0。终端的ρ0和ZL求得之后,通过式(2-32),线上任一处的ρ就能算出。而由式(2-32)或式(2-31),又可算出任一处的传输线阻抗。下面举一例来说明上面所引入的一些关系式的应用。

设用已知传输线测天线的阻抗,如图2-18所示。已测得Umax=250V,Umin=50V,第一个电压最小值位置距负载端为0.15m。已知工作波长λ=1m,传输线的特性阻抗Zc=125Ω。由此算出行波系数为由¢0-2αz=π知,,由此算出¢0=288°,也就是¢0=72°,于是ρ0=0.66e-j72°,再由式(2-33)算出负载(天线)的阻抗为

图2-18测天线阻抗

5.电压波腹与波节处的阻抗

由式(2-31)得

由式(2-23)、

式(2-27)和式(2-28)可知,

在电压的波腹处

(2-34)它是实数,

表明在电压的波腹处电压和电流同相。

同理,从式(2-24)可算出在电压的波节处

(2-35)它也是实数,

即在电压的波节处电压与电流同相。

2.5阻抗计算圆图

在工程计算中,常常采用列线图,以求迅速地得到计算的结果。在传输线问题中,用得最多的是阻抗计算图。由于这个计算图中所有的列线都在一个圆内,因此又简称圆图。下面我们先介绍圆图的构成,然后通过实例说明它的使用方法。圆图所依据的基本原理是式(2-31),

它表明在传输线特性阻抗给定之后,传输线上任一点的阻抗和在该点的反射系数有一一对应的关系。在实际构成圆图时,

不是直接使用上式而是改写为

(2-36)称为相对阻抗,又叫归一化阻抗。它是把实际的阻抗值用传输线的特性阻抗Zc去除的结果。它是一个无量纲的量。用相对阻抗画出的圆图,对任何传输线都适用。

ρ本身是一个复数,它可以表示为极坐标的形式,也可以表示为直角坐标的形式。当ρ表示为极坐标形式时,利用式(2-22)可以写为

这里θ=¢0-2αz。从这个关系参照图2-19可知由终端向电源方向移动时,θ减小,相当于顺时针转动,由电源向负载移动时,θ增大,相当于逆时针转动。其次,沿传输线移动λ/2时,反射系数经历一周,这是因为当z=λ/2时,2αz=2×(2π/λ)(λ/2)=2π的缘故。最后,由于反射系数的大小不会超过1,因此它的极坐标表示只能限制在半径为1的圆周之内。把以上三点画出来就得到如图2-20所示的圆图,图上各个同心圆代表反射系数的大小。沿传输线移动的距离以波长为单位来表示。它的起点为实轴左边的端点(即¢0=π处)。在这个图内,任一点与圆心的连线之长度就是与该点相应的反射系数的大小,这根线与实轴的夹角就是相应的幅角。

图2-19反射系数的极坐标表示

图2-20反射系数圆图

在这里应该指出:在实际的圆图计算中前式的¢0决定于负载阻抗,而对每一个负载阻抗的值,都能在圆图上找到一个相应的点。这一点从极坐标关系来看也就代表了ρ0=|ρ0|ej¢0

。它是计算的起点。另一方面,当把ρ表示为直角坐标的形式时可令ρ=u+jv

而又能写成。由此利用式(2-36)能够算出以u、v为坐标变量,以、为参数的两组圆,它们的方程如下:相对电阻圆相对电抗圆

图2-21电阻和电抗圆图

图2-22阻抗圆图

【例2.1】如图2-23所示,已知负载阻抗为ZL=25+j25,传输线的特性阻抗为Zc=50Ω。求自终端算起z=0.2λ处的传输线阻抗值。为了计算,先求相对阻抗,即

在圆图上查出与此相当的一点为P1,然后以P1点和中心点的距离为半径,顺时针转0.2λ到达P2点。从图上查出P2点的相对阻抗为Z2=2-j1.04。再乘以50Ω,即得Z2=100-j52Ω。这个过程都表示在图2-23中。

图2-23例2.1图

在此计算中,实际上已经用了反射系数的概念,因为P1与中心点的距离画出之后就得到了与之相应的反射系数。顺时针转到P2点也就是求在P2点的反射系数。和P2点的反射系数相应的相对阻抗值可直接从图上读出。可见,反射系数在此起了媒介作用。

图2-24例2.2图

【例2.2】如图2-24所示,已知传输线的特性阻抗Zc=200Ω,线长l=0.6λ,电源端的输入阻抗Z=70-j147Ω,求负载阻抗。

首先求出相对阻抗Z=(70-j147)/200=0.35+j0.735。根据这个数值在圆图上找到P点。线上0.6λ相当于向负载端转0.6λ的长度。经过逆时针旋转之后转至0.294λ处。因为0.5λ相当于转一周,0.6λ相当于转一周之后再转0.1λ。这样,达到了Q点。从圆图上查出相对阻抗为1.8-j2。由此算出负载阻抗ZL=(1.8-j2)×200=360-j400Ω。阻抗圆图不仅可用于计算阻抗,也能用于计算导纳。因为导纳与阻抗的关系为Y=1/Z,所以从式(2-36)可知相对导纳就是其中,Yc=1/Zc是特性阻抗的倒数,称为特性导纳。然而,这个导纳与反射系数的关系和式(2-36)表明的阻抗与反射系数的关系是不同的,所以不能把阻抗图用于计算导纳。但若令ρ′=-ρ,则在此式中,G表示相对电导,B表示相对电纳。它在数学形式上和式(2-36)完全一致。因此,阻抗圆图也是计算导纳的圆图。只需注意从-ρ变为ρ′,相当于表示反射系数的点在阻抗圆图上转过±π(即±180°)的位置。所以,只要把原来表示阻抗的点与中心点连接再延长到与中心点对称的位置,则该位置的点就是相应的导纳值,计算导纳的圆图如图2-25所示。在此图中,上半圆面上各点表示电容性导纳(B>0),下半圆面上各点表示电感性导纳(B<0)。当然,在实际计算中,并不需要重新画圆图,而只要记住上述求倒数的方法即可。图2-25导纳圆图

【例2.3】如图2-26所示,已知传输线的特性阻抗为Zc=100Ω,线长0.12λ,终端负载阻抗为ZL=50+j150,求传输线电源输入端的输入导纳。

图2-26例2.3图

先算相对阻抗为ZL=0.5+j1.5,在圆图上查出a点。由a转180°至b点,b点的值就是和ZL相对应的相对导纳值YL。然后,向电源(顺时针)转0.12λ到0.532λ处,亦即0.032λ处,相应的点为c点。从c点读出的值就是所求的相对导纳,即Y=0.15+j0.21,此题中Yc=1/Zc=0.01Ω,所以,实际输入导纳为Y=(0.15+j0.21)×0.01=0.0015+j0.0021Ω。此题还可用另一方法计算,即先不求和ZL相应的导纳YL,而先依照例2.1的方法计算输入阻抗Z,然后把Z的点旋转180°得到导纳值Y。其结果与上述方法的结果完全相同。还必须着重指出的是,能够从相对(归一化)阻抗(或导纳)圆图上直接读出行波系数K和驻波系数S的数值。因为,圆图中横轴上的各点X=0,Z=R,传输线的阻抗如果落在横轴上就表明线上的电流和电压同相。因此,这些点也就是线上的谐振点,在电压极大点与电流极小点表示并联谐振,这时Z=Zmax=Rmax,在电压极小点与电流极大点表示串联谐振,这时Z=Zmin=Rmin。在实轴右边Z=R>1,它是Zmax=Rmax的点;在实轴左边Z=R<1,它是Zmin=Rmin的点,前者是电压波腹点,后者是电压波节点。而由式(2-34)和式(2-35)可知Zmax=ZcS,

Zmin=ZcK

所以

即横轴左方的各个R值与行波系数K一样,横轴右方的各个R值与驻波系数S一样,

如图2-27所示。

图2-27行波系数与驻波系数

【例2.4】用传输线测负载阻抗,如图2-28所示。已知特性阻抗为Zc=125Ω,离负载最近的电压波节点为0.3m,工作波长λ=1.6m,行波系数K=0.2,求负载阻抗ZL。

Umin1所在之点与负载的距离,按波长计算为0.3/1.6=0.187λ。行波系数K=0.2,也就是说Umin1处的相对阻抗为Rmin=0.2。它在实轴左方a点,由此,以oa为半径向负载转0.187λ,达到b点。b点所在的值就是负载阻抗的归一化值,即ZL=1.09-j1.85再乘以特性阻抗Zc=125Ω,就得实际的负载阻抗值ZL=136.25-j231.25Ω。图2-28例2.4图

【例2.5】如图2-29所示,已知传输线终端接入的负载阻抗为40+j25Ω,传输线的特性阻抗Zc=50Ω,求驻波系数。

相对负载阻抗Zc=(40+j25)/50=0.8+j0.5。它在圆图上为A点。以OA为半径作圆交实轴右方于B点处的Rmax=1.79=S,由此求得电压驻波系数。B点相当于电压波腹点,它与负载的距离为0.25λ-0.116λ=0.134λ。图2-29例2.5图2.6传输线的匹配

1.串联匹配串联匹配的基本方法是串入式(2-17)所表示的λ/4阻抗变换器进行匹配。但在这个公式中,Z1Z2和Zc都是实数。因此,如果负载不是纯电阻,就应在传输线上找到阻抗为纯电阻的地方(即电压波腹或波节处)再串入。下面用一例子来说明此种方法。设有一广播电台的短波发射天线阻抗为150+j150Ω,发射机与天线间传输线特性阻抗为Zc=600Ω,载波波长为λ=20m,试计算λ/4匹配线应接入的位置和它的特性阻抗。

我们利用圆图(见图2-30)来计算,具体计算见图2-31。

图2-30圆图

图2-31串联匹配

先求相对负载阻抗,即ZL=(150+j150)/600=0.25+j0.25,它在圆上的位置是A点,与之相应的距离在0.043λ处。然后用A点与圆图中心的距离为半径作圆交横轴于PQ两点。P点距负载端0.25λ-0.043λ=0.207λ,传输线阻抗为纯电阻,相当于第一个电压的波腹点Zmax=Rmax=4.4。Q点距负载端0.5λ-0.043λ=0.457λ,传输线阻抗也是纯电阻,相当于第一个电压的波节点Zmin=Rmin=0.24。如在相当于P点的位置接入1/4波长线,则依式(2-17),该线的特性阻抗为由平行双线的特性阻抗公式(D>>d)(见2.2节表2-1)可知,要得到这样的特性阻抗,双线的中心距离和线径之比大约要为

这样的传输线在结构上不易实现。

为此,必须改在相当于Q点的位置接入。在这一点Rmin=600×0.24=144Ω,于是所需的匹配线特性阻抗为

这时,双线的中心距离和线径之比约为

这是容易实现的结构。因此,在第一个电压的波节处接入匹配线较好。这一点的位置在λ=20m时与天线距离为0.457×20=9.14m。

也就是说,在距天线9.14m处串入一个长度为5m特性阻抗为Zc=294Ω的一段传输线就可使匹配线和发射机之间是单一的行波。但在λ/4线上仍然存在着驻波。这个例子是双导线的。在同轴线的情况下,如果要串入1/4波长阻抗变换器,则可以改变其内导体的粗细或填充厚度为l的介质,以得到所需的特性阻抗数值,如图2-32所示。l的大小决定于波长和介质的相对介电常数εr。它的计算公式为 。这是因为在介质中比在空气中波长要缩短,缩短至原来的 ,所以,用介质填充的长度l比在空气中的λ/4短。图2-32同轴线的串联匹配

2.单枝节匹配

串联匹配在实用上不如并联匹配方便,所以在实际工作中大多使用并联匹配。其基本方法是把负载阻抗化为相对导纳,再利用圆图确定匹配线接入的位置和匹配线的长度。这种方法称为枝节匹配。用作匹配的枝节是与主线有相同特性阻抗的短路线,图2-33所示是单枝节匹配示意图。我们仍用上例来说明单枝节匹配的方法。

图2-33单枝节匹配

先把负载阻抗变为导纳,由于给定的负载阻抗为ZL=150+j150,在Zc=600Ω时相对阻抗为ZL=0.25+j0.25。这在圆图上是A点,将此点与圆图中心相连延长到对称位置得到B点。B点的值就是相对导纳值,即YL=2-j2。单枝节匹配方法的第一步就是自负载端起找相对电导G=1的位置。为此把OB向电源转到与G=1的圆相交的一点C,两点之间的距离为0.321λ-0.292λ=0.029λ。这就是说在λ=20m时,距负载端为d=0.029×20=0.58m处,传输线相对导纳为Y=1-j1.6,匹配枝节应在此处接入。第二步是决定匹配的短路枝节长短。它在接入处应有j1.6的相对电纳,才能使合成Y=1+j0,以达到匹配。为此,把应接入的短路枝点看成另一个传输线。由于其终端短路,因此它的终端导纳为∝+j0。这在导纳圆图上是P点。这个相对导纳值变到0+j1.6的位置在何处呢?它应为G=0的圆与B=+1.6的圆的交点,即在圆图上的Q点。P点顺时针转至Q点所经历的波长为(0.25+0.161)λ,即0.411λ=0.411×20=8.22m。这就是说用于匹配的单枝节短路线长度应为l=8.22m。单枝节接入的位置不止一个,而有两个,因为从B点继续转下去到D点也会和G=1的圆相交。由这一点的电纳B也能决定枝节的长度。既然传输线和负载匹配的本质是消除反射波,那么,上述频带匹配就是要求在一定的工作频段内消除反射波或者使行波系数达到设计要求。上述的串联匹配元件和并联匹配枝节的物理实质也是引入新的等幅反相的反射波去抵消原来的反射波,使主传输线上是行波。图2-34(a)表示不匹配时沿线电压(对时间)平均值的分布;图2-34(b)表示接入匹配枝节后的沿线电压平均值的分布。图2-34匹配元件的作用(a)行、

驻波传输线;

(b)

匹配传输线

由图2-35可知,当两段传输线的特性阻抗Zc1和Zc2相差很大时,用多段1/4波长变换器会减弱Zc1和Zc2之间阻抗突变的程度。这样也就是减弱了反射波。另一方面,多段变换器连在一起时,每一连接处都有反射。在匹配时这些反射波都是完全抵消的。图2-35(a)表示单段变换器情况下匹配时在A端的反射波矢量和。显然在A处的反射波UA是从A到B,在B处反射又回到A处的反射波UB(经历了两个λ/4),两者要相位相反、振幅相等才能保证在A端左方没有反射波。图2-35(b)中两段的情况也是一样的。图2-35λ/4变换器(a)单段变换;

(b)两段变换

图2-36所示为渐变形匹配器的结构。对中心频率和上下两边频率的计算方法和前面讲的一样,然后在计算结果中权衡,选一个或几个适当地满足要求的枝节长短和接入的位置,构成要求阻抗和频率的匹配器。

图2-36渐变线(a)直线式;

(b)指数式

问题

1.设传输线特性阻抗Zc=50Ω,终端接入负载阻抗ZL=100+j50Ω,波长为50cm,求匹配短路单枝节接入的位置和长度。

2.设传输线特性阻抗Zc=75Ω,负载阻抗为纯电阻ZL=250Ω,计算匹配单枝节的位置的长度(以波长λ表示)。

3.图2-37是λ/4短路枝节和λ/4变换器同时应用以使匹配频带展宽的一种方法,试说明其作用原理。

4.图2-38是开路枝节和λ/4变换器同时应用以使匹配频带展宽的一种方法,试说明其作用原理。图2-37并联枝节的λ/4变换器

图2-38串联枝节的λ/4变换器

2.7有损耗传输线

在波的传输过程中,如它所携带的能量不断地转化为其它形态(例如热能),则它的振幅在传播中会连续减小。图2-39就是这种衰减波在某一瞬间的情况。随着时间的推移,波继续沿z轴方向行进,但振幅连续下降。在最简单的正弦波情况下振幅的衰减依e-βz而下降。这时要在表示行波的函数式中引入指数因子以反映有能量转移而引起的振幅衰减,即等幅波

A0cos(ωt-αz)衰减波

A0e-βzcos(ωt-αz)在衰减波中,β称为衰减常数。它等于传播一个单位距离(即z=1)振幅衰减值的自然对数值。它的单位是Np/m或dB/m(奈培/米或分贝/米)。(1Np=8.686dB。)图2-39衰减波

如果用复数表示正弦稳态波,则上两式可改为等幅波

A0e-jαz

衰减波

A0e-j(α-jβ)z

由此可见,要想描述衰减波,只要用α-jβ代替等幅波中的α即可。

在传输线中,如果考虑到线的电阻和线间的漏电电导,则沿线传播的电压波、电流波也是衰减波,

也应该表示为上述形式,

电压波

电流波

U0e-βze-jαz

I0e-βze-jαz

(2-37)在这种情形下,衰减常数β和相位常数α都与传输线的参数有一个确定的关系。这个关系比无损耗情况要复杂得多。我们现在从等效的观念来导出这些关系。参考图2-40对正弦变化有下列关系:

其中,

(2-38)图2-40计算等效关系

计入单位长电阻R和单位长电导G之后,传输线的分布参数可表示为图2-41所示的电路。将式(2-38)中的L、C、R和G都看作单位长度上的数值,则在以式(2-38)代替式(2-2)中的L和C之后,可以算出计入损耗的特性阻抗表示式:(2-39)从这个结果可知,

在有损耗时,

行波电流与电压不再同相。

图2-41有耗线的分布参数

如果一方面用α-jβ代替α,一方面用式(2-38)代替L和C,则可由式(2-4)得到将此式两边平方,

再令实部和虚部相等,

则得

由此能够解出

(2-40)

可见,在考虑到传输线的损耗时,表示传播的一些参量不仅和单位长的电阻R以及单位长的电导G有关,也和频率有关。在这种情况下,如果用v=ω/α计算相速,则相速也将与频率有关。这种现象常称为色散。这样一来,信号在沿线传播过程中由于其中含有各种不同频率,会因各频率的相速不同而引起失真。但因传输线当作馈线传播距离不会很长,由这种色散而引起的失真很小,可以忽略。

(1)频率较低使R>>ωL,且线间绝缘良好G=0,则

(2-41)(2-42)可见,在此情况下行波的电流和电压有45°的固定相移。

(2)频率较高使R>>ωL,G>>ωC,则(2-43)(2-44)(2-45)由此可见,在高频的情况下,行波的电流与电压仍旧是同相的,线上电流波、电压波的相位常数和特性阻抗也与无损耗时是一样的。传输损耗的问题由式(2-44)的衰减常数计算。通常由于线间绝缘较好,

还可认为G=0,

这时

(2

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