《电子银行学》课件第8章

第8章电子银行理财管理8.1理财业务发展概况

8.2小波变换在金融资金理财中的建模及应用

8.3在股市投资理财中的小波应用及算法研究

8.4外汇市场理财中的小波分形模型及算法

8.5电子银行理财管理模型研究

8.6债券理财模式分析及案例

8.1理财业务发展概况

8.1.1金融投资理财业务背景及发展从货币的产生来看，就蕴涵着理财的要求，纸币与金属货币流通的不同之处就在于纸币会贬值，贬值就意味着通货膨胀。如何使你的货币升值，财富越来越多呢？这就需要学会理财。投资理财成了人们的工作和生活需求。随着商品的流通，产生了货币，货币促进了商品的流通，流通的加速，促进了财富的增多，这就要求对其进行管理。商品的出现，产生了财产，而理财始终与财产相伴相生。可以这么下个定义，商品的出现和流通，促进财富不断积累，当人们具有了一定数量的财产时，财产的管理就成为必需的了。

初期的商品流通时，理财管理还处于简单的萌芽时期，随着货币的产生，尤其是纸币的出现和它具有贬值的特点，更促进了理财的研究与发展，而这个时期的理财增长，主要是以利息和贮存贵金属、珍宝等为主的理财。到了20世纪初，理财逐渐发展成以投资、资产组合、衍生品、财富管理等为主的金融理财工具，发展了期货、期权、股票、外汇、债市等各种投资理财市场。在金融业日趋市场化的今天，人们的金融意识也随之增强，人们普遍开始了对资金增值的追求，储蓄、债券、股票、外汇、房地产、收藏、保险等投资理财工具正在快速走进城乡家庭，成为人们经济生活中必不可少的组成部分。

随着我国20多年的改革开放，居民财富的迅速增加，货币价值观念和个人投资意识的增强，国内理财业务呈现出巨大的发展潜力，尤其是从2002年开始，优质客户的理财服务已经成为各大银行的竞争焦点。中国人民银行最新统计显示，2002年前11个月我国境内金融机构共新增储蓄存款12016亿元，也就是说每月要净增1000多亿元的储蓄。截至2002年11月30日，我国居民储蓄存款余额已达到85693亿元，比去年同期增长18.5％。我国国民储蓄率仅次于日本，居世界第二位。据初步测算，国内个人理财市场利润2005年底将达到31亿人民币，复合年增长率为16.5％，远远超过美国、日本和英国。

企业理财业务是指商业银行以法人为服务对象，利用其网点、技术、人才、信息、资金等方面的资源优势，运用各种理财工具，提供的综合性理财服务，以帮助企业客户达到提高资金使用效率，资金增值，创造效益与提升价值的目标或投资及融资目标。企业理财业务的发展过程充分体现了商业银行金融创新与研究的水平，通过不断挖掘市场需求，通过对资金流入、流出以及存量的统筹规划，现金流量的分析，尽量减少闲置资金的占用。在确保资金流动性的前提下，力争将资金的持有水平控制在尽可能低的程度，在资金流动性、安全性、效益性之间寻求最佳平衡点，使企业客户整体效益最优化、利润最大化、保值增强化、资金安全化，体现了商业银行“以客户为中心”的经营理念，达到银企双赢的目的。

据中国人民银行统计，截至2004年2月底，城乡居民人民币储蓄已经达到了110600亿元。个人理财业务是指商业银行以自然人为服务对象，利用其网点、技术、人才、信息、资金等综合的资源优势，应用各种理财工具，帮助个人客户达到生活目标或投资目标而提供的综合性理财服务。个人理财业务的发展过程充分体现了商业银行研究并不断挖掘市场需求，量身定制理财产品与方案，不断满足、引导、培育优质客户群体需求的功能，在此基础上建立起银行与客户之间的相互信赖、相互依存、相互合作的关系。个人理财还更多地体现在银行服务的差异性、价值性、优质性，具有为个人优质客户提供整体服务和附加服务的功能。发展个人理财业务，体现了商业银行以“理财管理为中心”的经营理念，促进个人金融理财业务发展。

长期以来，我国银行对个人的金融理财服务仅仅局限于储蓄、代理、代收代付等简单的业务。随着个人财富的增长、个人消费的需求和金融市场的发展，个人理财业务在20世纪90年代开始出现，而多功能、多产品、精设计的理财项目还未全面开展，需要进一步深化、推进、创新和加强。

1995年，招商银行推出集本外币、定活期存款集中管理及代理收付功能为一体的“一卡通”，国内首度出现以客户为中心的个人理财产品。

1996年，中信实业银行广州分行率先在国内银行界成立了私人银行部，客户只要在私人银行部保持最低10万元的存款，就能享受该行的多种财务咨询和理财服务。

1997年，中国工商银行上海市分行向社会推出了理财咨询设计、存单抵押贷款、外汇买卖、单证保管、存款证明等12项内容的理财系列服务。

1998年，中国工商银行的上海、浙江、天津等5家分行，进行“个人理财”业务的试点工作，建立个人理财服务中心。

1999年，中国建设银行在北京、上海等10个城市的分行建立了个人理财中心。

2000年，中国工商银行上海市分行举行了杨韶敏等6位优秀理财员的“个人理财工作室”挂牌活动，银行首次出现以银行员工姓名作为服务品牌的理财工作室。

2001年，中国农业银行推出“金钥匙”金融超市，为客户提供“一站式”理财服务。

2002年，招商银行在全国推出“金葵花”理财，为高端个人客户提供高品质、个性化的综合理财服务，内容包括“一对一”理财顾问服务、理财规划等专业理财服务，涵盖负债、资产、中间三大支柱业务等内容。

2004年，光大银行推出了第一个人民币理财产品——光大阳光理财B计划，投资这份组合理财产品将比存入定期储蓄多收益900元；招商银行推出了第一个可提前终止的人民币理财产品——招行“人民币债券理财”，这种理财产品特别设计了提前终止，即客户购买理财产品后，在约定期限内可以提前终止，并能获得高于同期银行存款的收益；华夏银行推出了起点最低的人民币理财产品——华夏理财人民币稳赢1号，单份产品的最低金额是5000元。

8.1.2金融投资理财国内外业务状况

1.美国理财业务的状况美国理财业务经历了初创期、扩张期、成熟稳定期三个阶段。最早提供该服务的是20世纪30年代的保险营销人员。由于1929年的经济危机，他们为了更好地开展业务，对客户进行了一些简单的个人生活规划和综合资产运用策略，成为今天个人理财规划师的前身。二战后，经济的复苏和社会财富的日益积累使美国个人理财业务进入了扩张时期。从业人员不断增加，但由于缺乏相关的专业职业认证，导致市场上鱼龙混杂，行业混乱。随着CFP（CertifiedFinancialPlanner）制度逐步的建立，市场混乱问题才得以解决，得以规范化、专业化发展理财业务，美国个人理财业逐步进入成熟、稳定发展期。

根据2002年5月24日美国商务部经济分析局发布的报告，美国2001年国内个人投资总额达16308亿美元，约占2001年美国93338亿国民生产总值的1/6，其中非居住性投资为13080亿美元，以商业银行为主的金融机构在个人投资中起到了重大的作用。在美国资本市场上，与个人投资者关系密切的投资产品主要有股票、债券、共同基金、退休和教育基金、保险、房地产和存款储蓄。个人投资中，尤以共同基金投资为主。美国的基金市场是全球最大的基金市场，美国已有4500多家共同基金，共同基金资产1997年增长27％，达到4.5亿美元，仅次于共同基金的是保险和房地产。但美国人对于国债，特别是不能流通的凭证式国债并不热衷，美国个人投资者不超过1%。美国理财观念比较超前。

首先，不关注储蓄，但十分注重保险。美国居民储蓄率很少超过4％，有的年份甚至更低。但美国人非常重视购买各种保险，仅购买医疗保险的人数就接近总人口的90％，几乎所有的人参加工作就开始购买养老保险和失业保险。其次，崇尚长期投资理念，很少进行短期炒作。再次，“借钱消费，提前消费”成为普遍社会风气和时尚。由于完备的社会保险和保障体系已经从某种程度上解决了人们的后顾之忧，存钱就变得不那么重要了。因此，美国人的理财与消费观念有其社会的、法制的、经济的环境背景。

2.日本理财业务的状况日本因为地理和文化的因素，其理财业务的发展也很值得我国借鉴。日本的银行、证券、保险、信托等金融行业经过战后的发展，如今已十分完善和发达。这给日本人的投资理财创造了大量的机会和途径。日本人很喜欢储蓄，这一点和我国比较相似。随着日本金融自由化的进程不断推进，银行不但有储蓄的功能，也具有购买股票、保险等功能；而信托公司也可以接受储蓄。当然在不同金融机构储蓄结果是不同的。日本还有许多自己特有的储蓄方式，例如“财行储蓄”。日本的保险业也很发达，保险种类相当多，而且各保险公司为了在竞争中取得优势地位，不断推出新的保险品种，但是日本保险业的主要商品更多的集中在人寿保险、医疗保险、火灾（灾害）保险等方面，这主要是因为日本是自然灾害较多的国家。

日本的证券市场已经相当成熟，东京股市已经成为日本经济的晴雨表，同时在一定程度上也反映了亚洲经济发展的状况，已经成为继纽约和伦敦证券交易所之后最为广大投资者所关注的证券交易所之一。日本的贷款也渗透到了每个人的日常生活中，最主要的个人贷款就是住房贷款及消费贷款。近几年，日本的理财业务发展极快。FP（FinancialPlanning）这个概念迅速普及，即财务管理。它的发展背景主要有三个因素：金融资产增加；金融自由化的发展；老龄化的高速发展。日本进入90年代以后，经济增长缓慢，政府又采用低利率政策，在这种情况下，对FP的需求日益增加，各种专业理财咨询机构也迅速地发展，如其国内的FP协会等。

3.国内理财业务状况国内金融业的理财业务发展较晚，直到20世纪90年代中期，各金融机构才开始重视这一业务。20世纪90年代末期，由于中国经济持续20年的高速增长，公众的收入普遍增加，个人金融资产日益膨胀，人们开始关注自己资产的安全性、收益性和流动性，因而有了较强烈的理财需求。同时，中国加入了WTO，国外金融机构正在逐渐进入中国市场，其所经营的包括理财的各种业务对国内金融机构造成极大冲击。另一方面，国内银行传统零售业务的利润水平在逐渐下降，盈利能力受到了严峻的挑战。外资银行利用其丰富的零售经验和混业优势，以优质客户为目标和国内金融机构展开激烈竞争。

2004年2月5日，关系到个人外汇受托理财开禁问题的《金融机构衍生产品交易业务管理暂行办法》（以下简称《办法》）出台。《办法》对衍生产品进行了定义，并根据金融机构从事衍生产品交易业务的性质对金融机构衍生产品交易业务进行了分类。根据《办法》规定，在2004年3月1日暂行办法正式实施之日起，我国的金融衍生产品交易业务将正式向银行以外的信托投资公司、财务公司、金融租赁公司、汽车金融公司法人以及外国银行在华分行等金融机构开放。暂行办法的推出，不仅对于我国金融机构，而且对于广大的国内投资者，投资的渠道均将得到极大拓宽。

2005年2月20日，我国又颁布了《商业银行设立基金管理公司试点管理办法》。这一办法的出台有助于商业银行积极调整直接融资和间接融资的比重，发挥证券市场资源配置的作用。同时，借助银行客户信息资源、资金清算便利等优势拓展业务，可以降低成本，在资本市场上培育更多机构投资者。2005年1月28日，建设银行首家财富管理中心在上海正式营业，其服务对象为个人财富在百万元以上的VIP客户。这标志着国内金融机构在高知识含量、高附加值、高专业水准的个人理财服务方面又迈上一个新台阶，同时预示着国内金融机构的高端客户也将享受到更优质的理财服务。

8.1.3金融投资理财业务的创新趋势金融理财品牌的形成是以知识、创新、技术、积累，以及文化和服务为基础的。在创新和经验的积累上，金融企业通过不断更新观念，充实知识，采取先进技术，组合各种奇思妙想，开发形式多样新产品，推出各种各样新业务，不断形成自己独特的理财品牌。同时，理财品牌需要深厚的文化底蕴作为支撑，随着人们生活水平提高，客户对理财服务的要求不仅仅是一种使用价值，而是一种品牌、一种文化、一种格调、一种时尚、一种心理满足。同样是资源的投入，也是业务宣传和营销，一旦从品牌的角度出发，市场的格局就清晰了，整体的观念就显现出来了，成为市场竞争中的领跑者。

金融理财面对的是广大客户群体，因此，理财品牌将进一步体现出更专业的投资理财服务，更稳定的投资取向，更有效的融资借贷方式，更快捷的交易成交手段，更多样的盈利方式，形成个性化、情感化、品格化、专业化、多元化、人文化以及国际化的发展趋势，体现银行理财服务的准确定位、文化内涵和服务品质，体现出银行先进技术水平的应用，体现出银行的创新能力，使金融理财朝着智能化方向发展。理财智能化将解决智能操作和应用的问题，它将应用数据仓库、数据集市等将隐匿的数据，成长的数据等资料挖掘出来，经过多维分析、动态分析、联机分析等技术对数据进行理财数据的挖掘与分析应用；利用人工智能、神经网络、人—机工程等现代科学技术，进行理财软件的设计、编程和测试，达到对理财资金的财务分析、流量分析、效益分析，提供智能化的提醒服务、预测服务、预警服务、理财计划等一系列的理财服务。

8.1.4金融工程与金融数学

“金融工程”是1988年由J.D.Finnerty首次提出，它将工程思维引入金融领域，综合地采用各种工程技术方法，主要用数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等来设计、开发、应用和实施新型的金融产品，创新及创造性地解决各种金融问题，实现金融问题的数学解析。

金融工程大量采用图解、数值计算和仿真技术等工程手段来研究和解决问题，比分析金融学的理论模型要灵活得多，相对容易建立，也容易推广应用。不像理论模型那样需要极为艰苦的逻辑思辩，因为许多逻辑推理是由计算机程序帮助实现的，而且，金融工程的研究直接而紧密地联系着金融市场的实际。大部分真正有实际意义的金融工程研究，必须有计算机技术的支持。图解法需要计算机制表和作图软件的辅助，数值计算和仿真则需要很强的运算能力，经常用到百万甚至上亿次的计算，没有计算机的高速运算和辅助设计，这些技术将失去意义。金融产业与信息产业的结盟，是金融工程的产业背景有机结合。因此，我们可以把金融工程看作现代金融学，是与信息技术和工程方法的结合。它本身是一门新兴的交叉学科，又是一门综合学科，是金融科学的产品化和工程化。任何一门学科，只有经过产品化和工程化，才能产生大规模的经济和社会效益。因此，在金融工程领域的一些领先学者，认为金融工程的产生把金融科学推进到了一个新阶段，推向了一个新领域。金融和数学联姻称为金融数学（FinancialMathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融内在规律并用以指导实践。金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前沿学科之一。金融数学大行其道，在国外早已不是新鲜事。现代金融理论的核心之一是定量分析，因为只有运用定量手段来分析和处理金融问题，才能做出精确的金融决策，而数学工具是最为合适的定量手段。在国家的宏观经济政策和金融财政领域中有大量数学问题。例如如何评估国家财政状况，摸清税收潜力；如何制定合理的税收政策，促进经济发展，增加国家财政收人；如何分析、控制与防范金融市场中的风险；如何在风险环境下进行投资政策；如何优化管理外汇储备、国债发行、利率期限；如何对我国的股票市场进行系统的基本统计分析等，这些研究课题涉及到数学的许多分支领域，包括计算数学、概率统计、优化控制理论、运筹学、博弃论等。特别是近年来因金融市场需要所形成的金融数学研究，更是涉及随机分析、非线性分析、偏微分方程等许多艰深的数学领域。金融数学的兴起是金融界的一场数学革命，它使得数学规划、随机分析、随机最优控制、非线性分析、多元统计、小波理论等数学工具在金融理论和实际解决问题中，特别是解决不确定性问题中起着关键的作用，标志着金融学与数学融会贯通，使得金融数学的研究达到高潮。8.1.5经济不确定性的起源和分类由于科学技术不断进步，经济不断发展，全球化信息网络和全球化市场的逐步形成及技术变革的加速，金融所面临的竞争环境出现了下列新特征：

(1）市场竞争的国际化和全球化；

(2）技术更新速度日益加快；

(3）客户对理财产品和服务的期望越来越高。尤其在当前我国整体经济环境的转型过程中，环境的动态性、不确定性、复杂性等特征表现得尤为显著。面对这样的环境，金融界需要转换经营思路以适应新环境的需求。经济不确定性的起源是在前人研究成果的基础上，吸收有限理性思想，提出将不确定性分为经济行为主体的（主观的）不确定性和客观的不确定性。经济行为主体的不确定性定义为，偏离“完全理性”假设的行为都是主观的不确定性，而客观的不确定性则是经济行为主体所处环境所带来的不确定性。从数学方法上对不确定性分析与解决问题有以下三种:随机(概率)不确定性分析与解决问题方法、模糊不确定性分析与解决问题方法、凸集(非概率)不确定性分析与解决问题方法。8.2小波变换在金融资金理财中的建模及应用8.2.1时间价值序列

1.时间价值序列概念时间序列数据是一组有序的、随时间变化的数值序列，其中相邻数值间的时间间隔一般是相等的。世界上的许多事物和现象的发展变化都离不开时间，所以时间序列数据库的分布相当广泛。数据挖掘的一个重要分支就是挖掘基于时间序列的数据。大部分时间序列数据有着很多的共性，像周期性、季节性、随机性等，因而时间序列数据挖掘领域的任何进展都可能带来广泛的社会效益。例如在证券行业，通过分析股票市场历史走势的变化特点，我们可以对未来走势进行预测;商品销售中，通过对销售数据的分析，可以预测未来的市场需求状况，从而指导生产计划的制定。在估计经济理论的数量关系和进行统计推断时，所用的大多数经济金融数据是按照时间顺序记录的时间序列数据。如GDP、物价、利率、股票价格、资金等，这些时间序列数据就代表变量的历史发展，以及资金随时间变化的运行轨迹，在计量经济学中它们还代表着随机环境下的一个具体实现。在很长一段时间里，人们都假定这些经济变量是平衡的，即它的一些统计性质（协方差或联合分布）不随着时间间隔的长短而改变，但在现实生活中更多的经济变量是不确定性和非平稳性的，不能均衡发展。真实经济周期理论的代表人物Kydland和Pressott就认为，虽然短期内货币量的变动确实会引起其他经济变量的变化，但长期内货币只对价格产生影响而对经济实际总量不产生实质作用。

2.时间价值序列中的数据挖掘时间价值序列中数据挖掘是从海量数据中提取隐含在其中的有用信息和知识的过程，它可以帮助一个单位或企业对数据进行微观、中观乃至宏观的统计、分析、综合和推理，从而利用已有数据预测未来，帮助赢得竞争优势。例如，利用数据挖掘可以对企业的海量数据进行客户分析，包括客户类型、各类客户的需求倾向、贷款偿还预测和客户信用政策分析、客户流失分析等；同时还可以使用数据挖掘来进行市场研究，包括商品市场占有率预测、市场拓展计划仿真；进行经营策略研究，包括经营成本与收入分析、风险控制、欺诈行为甄别等。数据挖掘是从大量的不完全的、有噪声的、模糊的、随机的数据集中识别有效的、新颖的、潜在有用的、以及最终可理解的模式的非平凡过程。它是一门涉及面很广的杂交学科，包括机器学习、数理统计、神经网络、数据库、模式识别、模糊数学等相关学科技术。为了保证我国的工业、农业、商业、固定资产投资等行业的快速、协调、同步的发展，就要有一个较好的宏观决策与调控机制，要实现真正的宏观决策关键就在于如何根据以前有用的历史资料对经济的发展进行评估和对将来的趋势进行预测，因此数据挖掘就显得很重要。8.2.2时间价值序列的小波分解模型

1.时间价值序列分解远期趋势因素反映金融资金现象在较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续上升或持续下跌趋势，还有一种近似平稳直线的走势，也可能表现为某种类似指数趋势以及其他曲线的走势。金融资金现象的长期趋势一旦形成，则总有一种惯性，可以延续一段相当长的时期。比如金融存款资金的经济现象，所形成的上升趋势或下跌趋势也总能延续数月以至整年。因此，分析金融存款资金的经济现象的长期趋势对于资金在时间价值序列的理财应用具有十分重要的意义。季节变动因素是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动，既包括受自然季节影响所形成的波动，也包括像每周5天工作制的工作时间规律所形成的波动。与周期波动的区别在于季节波动的长度固定。周期变动因素也称循环变动因素，是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动，如GDP、CPI、物价指数、利率、汇率、股市、资金等以及大多数经济指标都具有明显的周期变动特征。随机变动因素又称为不规则变动因素，它是受各种偶然因素影响形成的随机波动，如黄金市场受宏观经济调控的资金趋紧或资金宽松的影响，使得资金价格产生波动等。2.分解模型分析St=f(Yt,Jt,Zt,Xt)(8-1)常用的加法模型：St=Yt+Jt+Zt+Xt

(8-2)及乘法模型：St=Yt·Jt·Zt·Xt

(8-3)一般分解方法是先计算季节指数，再计算长期趋势和周期变动。具体算法步骤如下：

(1）第一步，季节指数J的计算。用移动平均法剔除长期趋势因素Y和周期变动因素Z，然后按月度或季度平均法求季度指数。以季度为例：四次平均：(8-4)居中平均：

(8-5)不含周期和随机变动部分。

(8-6)重新排列JX，按季度平均法求出各年的因素平均数。

(2）长期趋势Y的计算。作散点图，试用直线拟合作大体趋势，回归方程为：

Y=a+bt(8-7)由长期趋势方程，即可求得各个季度的长期趋势值，t为总的索引序号。

(3）计算周期变动I。

(8-8)(4）计算随机变动X。

(8-9)

3.基于小波分析的时间序列分解模型影响金融资金非平稳时间价值序列的主要随机因素都会与政治事件、经济政策、社会环境、自然环境、消费导向、金融趋势、股市、汇率等随时间变化而变化，因此时间序列的趋势图及统计特征会随时间序列呈现出某种趋势变化。对于日变化，无任何规律,符合实际需求;从月度来看，存在着某种明显的周期性变化；从季度来看，可以看出某种上升或下降趋势变化;而从年度来看，均值呈现出某种平稳均衡的上升趋势。而我们的目的是消灭非平稳的状态，达到资金上升趋势，使得资金达到利用的有效价值。非平稳时间序列中各种因素交织在一起，使序列复杂得难以成为时间价值效果。而小波分析能将时间序列按不同尺度分解成不同层次，这就使得问题简化并易于分析，成为时效。在金融资金存款效益问题中，只用趋势项和周期项而忽略很小的随机因素得到时间价值趋势结果，产生的误差不会很大。因此，小波分析能将时间价值序列的各因素分离，这种功能给金融时间序列的分析带来很大的方便性，并能将最重要的信息分解得更细，精度提高得更好，而一般问题的分解不细，达不到精度，并可以节约计算复杂度和工作量。应用小波分析理论，对信号或时间序列可通过小波分解，每层分解到不同的频率通道上。由于分解后的信号在频率成份上比原始信号单一，且小波分解对原始信号作了平滑，比原始信号平稳性要好。实际中，一般经过若干小波变换后，包含趋势项、周期项和随机项的时间序列就能分解成不同尺度成份而使这些项较好地分离出来，从而将复杂实际问题简单化，然后进行处理。下面给出基于小波变换的时间序列分解具体步骤：

(1)设非平稳时间序列为y(n)={y1,y2,…,yn}进行j层小波分解，得d1,d2,…,dj,Cj，再重构各层得D1,D2,…,Dj,Cj且D1={d11+d12+…+d1n}D2={d21+d22+…+d2n}…Dj={dj1+dj2+…+djn}(8-10)于是有：

Y(n)=D1+D2+…+Dj+Cj(8-11)其中，Cj就是多分辨分析中第j层的低频部分，而D1、D2、…、Dj为各层分解出来的高频部分。

(2）绘图，通过Cj的图形，可以观察时间序列的长期趋势部分，而各个细节层D1、D2、…、Dj可以观察时间序列的随机波动和周期性。若趋势明显，则估计趋势模型；若趋势不明显，增大分解层数J。层数J的大小一般选取了3～7较为适宜。趋势项模型一般有：线性趋势、多项式趋势、指数趋势和对数趋势，也可用最小二乘法进行拟和回归计算。

(3）对周期项各层，用周期图法建模预测。设某层上的数据序列为y1,y2,…,yn，用一族正弦函数去逼近使均方差最小，即(8-12)其中，K,Ci,fi(i=1,2,…,k)是常数，φi∈(-π,π),εi是均值为0，方差为σ2ε的随机过程，则(8-13)其中，ai=cicosφi,bi=-cisinφi

用最小二乘法解得：

(8-14)从而可通过

来计算未来值。

(4）对于最小尺度的随机层，可视为白噪声。因为幅值较小，在计算中一般可忽略不计，不会导致太大的误差。剔除波动大的随机层后的各随机层，视为平稳过程，可用AR、MA或ARMA模型预测计算。除趋势项、周期项和部分随机项后的随机项为x1,x2,…,xe,其中，xi={di1,di2,…,dim}对其进行AR（n）模型预测计算，一般选取n为2～3较为合适，即xt=φ1xt-1+φ2xt-1+φ2xt-2+at，用已知的di,j进行模型参数估计和模型检验。最后用最佳预测公式对已知的m个值的序列进行l步以后的状态值xu+l的预测，最佳预测公式为：xm+l=dd1,m+l+dd2,m+l+…+dde,m+l

(8-15)(8-16)其中，ddi,m+l是第i随机项的预测值。若设趋势项预测值为cj,m+l周期项各层预测值d1,m+l,d2,m+l,…,df,m+l，随机项各层预测值为^^^^(8-17)其中，e+f≤j，则原始序列项时刻m向后l步的预测值为：

(8-18)8.2.3分解实例选取某银行全省机构业务资金增量存款360天共360个数据点，图8-1所示为某省机构存款实点余额增减变化。其中，虚线为总的发展趋势。图8-2所示为某省机构存款日均余额增减变化。选取Matlab工具箱提供的8族小波基之一——Daubechies（dbN）小波。利用db6小波对数据进行3层分解，如图8-3所示。

图8-1某省机构存款实点余额增减变化

图8-2某省机构存款日均余额增减变化

图8-3分解3层后高频和低频

再对第一层高频进行2层分解，如图8-4所示。由图8-4可得到，小波分解的各层具有某种趋势，由此就可以分别对资金在每个时期的实点数和日均数进行分析处理，以解决资金在时间价值序列中的收益问题。

图8-4高频分解2层

通过试验得到:

(1)若选取的小波具有一定的正则性，则若干层小波变换后(以3～7层为宜)，原始信号的随机项和周期项逐渐被分离，即序列中的异常点或随机波动逐渐被消除，棱角被削平，时间序列趋向平滑，直到最后的低频成为长期趋势部分。（2）小波分析中除了长期趋势后的其他层就为周期项和随机项，随机因素一般对应于小尺度成分。在第一层小波分解的高频分量Dl中包含着随机项成分最多，以下各层中周期项成分较多。对于变化不明显的某些层，可再进行小波分解直到周期项和随机项能较好地分离出来为止。（3）通过低频分量Cj的图形，可以观察时间序列的长期趋势部分，由D1,D2,…,Dj,Cj可观察到时间序列的随机波动和周期性。金融市场的时间序列变化呈现出长期趋势变动、周期变动以及日常随机变动，这可称为噪音。在分析金融市场时间序列时，经常需要滤掉日常波动而考虑所需资金波动的大体趋势与周期变动，因此研究分析滤波方法是一个很有现实指导意义和应用的工作。近几年来出现的小波分析针对滤波，不失为一种有效的方法。总结市场摆动滤波不足，利用小波滤波的方法在金融时间价值序列分析中得到实际应用。8.2.4基于小波变换的金融市场滤波处理

1.摆动滤波实现的一般方法

(1）确定滤波尺寸，滤波尺寸的确定不是根据主观标准，而是根据客观标准，即滤波尺寸的大小要根据事先确定的统计标准。比如在85%的情况下，使滤波过程能保留所需价格波动而去除波动噪音。

(2）确定价格波动的转折点。价格波动转折点的确定过程是一个不断使用固定尺度滤波的过程。

·确定上折点，局部顶点或全局顶点：设定滤波尺寸；计算价格返转信号=价格新高/（1+滤波尺寸）；市场价格小于价格返转信号时，即为价格上折点。

·确定下折点，局部低点或全局低点：设定滤波尺寸；计算价格返转信号=价格新低/（1+滤波尺寸）；市场价格高于价格返转信号时，即为价格下折点。

(3）确定合格的价格摆动。当中段的价格摆动距离小于左右两侧反向的价格波动距离时，便构成一个合格的价格摆动；若不合格，则不构成价格摆动。当增加滤波尺寸时，对价格摆动方向的判断点并不因此产生明显的时间滞后。根据滤波摆动的规则，对价格摆动方向的判断点并不因此产生明显的时间区域，设方向判断点必然滞后于价格折点。价格摆动滤波是一种分析技术，操作程序简单，符合投资分析与投资操作的简化原则，但作为交易技术，存在两种缺陷：

·一种是滤波尺寸是固定的。市场通常存在均衡状态与失衡状态周期性交替现象。此时，滤波尺寸理应随之缩小或放大。如果假设滤波器具有自动跟踪市场状态变化并自动随之缩放功能，则可为交易提供更为直接安全的保护。

·另一种是没有突现价格还原。设分析技术通过滤波操作从市场数据中提取到市场信息之后，没有通过价格还原技术使市场价格重新承载以获得加工的市场信息。

2.实例分析选取某省银行机构资金存款从2003年1月1日到2004年12月30日数据为例，共480个数据点见图8-5。采用摆动滤波实现的一般方法进行处理，结果表明可以很好地得到该曲线的大体发展趋势，如图8-6所示。

图8-5某省银行机构资金存款

图8-6某省银行机构资金存款发展趋势

3.金融市场小波滤波

小波域滤波是根据信号和噪声在不同尺度上小波变换的不同形态表现构造相应的规则，对信号和噪声的小波变换进行处理，其实质是减少以至于完全剔除由噪声控制的小波系数，再由处理后的小波系数重新构造原信号。小波滤波时间序列的分解与重构模型，通过若干次小波变换可将原信号逐层分解到不同频率的通道上，使得趋势项、周期项和随机项分离。因为实际数据中的偶然因素不造成广泛的影响，消去这些偶然因素必能减少计算工作量，而且在给出的精度下不会产生很大的误差。小波变换的多尺度和时频局部化分析特征，能够突出主要因素引起的数据变化和宏观突变点。因此小波滤波是优于其他滤波方法的。

在信号中，噪音往往对应高频成分，表现出一定的奇异性。噪声的小波变换的值将随尺度的增大而递减。在小尺度上，原信号的小波变换几乎被湮灭；随着尺度的增大，原信号的小波变换幅值相应增大，小波逼近逐渐显露出来；当尺度足够大时，噪声的影响几乎完全消灭，表现为信号的趋势部分，这就是小波滤波的原理。利用小波变换在资金时间价值序列滤波的目的是对资金在市场的走势趋势的分析，以便掌握资金波动有多大，平稳性如何，计算量怎样。虽然资金在时间序列的细微波动很难预测和精确计算，但是其计算和预测的只是序列的大体变动趋势。因此在金融资金市场预测分析时，可采用小波滤波的方法，去除变化中的细微波动，达到资金在时间价值序列的波动幅度预测，使得金融资金内在时间价值得到较好的资金运作效果。

小波去噪的方法在对噪声小波系数的处理时，一般有三种方法较为有效：

(1)由Mallat提出的基于小波变换极大值原理的去噪方法。即根据信号和噪声在小波变换各个尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点重构信号。

(2)基于小波变换域内系数相关性的滤波算法。即对含噪信号作小波变换后，计算相邻尺度间各点小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，重构信号。

(3)应用Donoho提出的阈值去噪方法。该方法认为有效信号对应的小波系数含有信号的重要信息，幅值较大但数目较小。而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多但幅值较小。因此，将低于阈值的小波系数置为0，高于该阈值的小波系数予以保留或进行收缩，而得到估计小波系数，再重构信号。现在结合以上三种方法，提出一种滤波方法，目的在于滤去波动部分而重构信号，分析资金在市场的走势，具体步骤如下：

(1)设待分析时间价值序列为f(x)，用Mallat分解算法，求f(x)在尺度j(j=1,2,…,j)的小波变换：(8-19)(8-20)

(2)设置阈值T0=CM/j，其中M为2j的小波变换的最大幅值，C是一常数，根据实际需要而定；(3)

在尺度j上，令

(8-21)

(4)由 在各尺度上的平均，求得x点的李普西兹指数a0,若a0<0或a0<-0.5，则令a0=0；

(5)令W2jf(x)=W2j+1f(x)·2a构造j-1,j-2,…,2,1的小波系数g，由尺度j变换系数，重新构造信号：时间价值序列的细微波动很难预测，可预测的只是序列的大体变动趋势。因此，在进行金融市场预测分析时，可采取这种滤波方法，去除变化中的细微波动。

8.2.5实例分析图8-7所示为某投资波动涨跌率图。利用本节滤波方法进行滤波，选取小波函数为db2，结果见图8-8所示。

图8-7某投资波动涨跌率图

图8-8滤波后投资波动涨跌率图

8.3在股市投资理财中的小波应用及算法研究

8.3.1股市投资中的不确定性及理财模型

1.股市投资中的不确定性问题证券市场价格每天都在变化，反映股价变动的波动率也是变化的，人们总是认为市场的不确定性只是价格涨跌的不确定性，只要知道价格涨跌方向就不会亏损，这是市场很容易吸引投资者参与的原因之一。但事实远非如此，市场的不确定性远比价格涨跌的不确定性要多得多。市场的不确定性包括：价格涨跌的不确定性、涨跌方式的不确定性、涨跌速度的不确定性、涨跌规模的不确定性、涨跌时间的不确定性、影响市场的关键因素的不确定性、突发政策的不确定性等。这些不确定性组合起来形成价格的运行，这些不确定性的集合导致盈亏不成比例，所以市场上永远都是少数人获利。

只有克服这些不确定性才能获利。涨跌的不确定性一般用基本面的分析来处理。但基本面本身也处于不确定性状态。用动态的、变化的、无法确定的基本面来寻找市场的方向是一件非常困难的事情，即使你有很强的资料来支持分析，你得到的也仅仅是市场的一个大概方向，而非绝对方向。即使你真的对方向判断正确了（50％～70％概率），接下来的问题又出现了：市场会以何种方式来运行？是先跌后涨还是先慢涨再加速或者先长期盘整再涨？或者涨多大幅度之后市场会出现回调？涨是直线上涨还是振荡上涨？回调是以缓慢的速度运行还是剧烈的方式出现？这些都难以确定。

另一个不确定性就是涨跌规模的不确定性。你可能估计对了方向，但可能只获利很少就走了，也有可能你本来已经获利不少，但因为对涨跌的规模难以确定，最终价格大幅回调，你再次回到获利很少的状态。这就是涨跌幅度的难以确定性造成的。投资者解决这个问题通常通过黄金比例来处理，但黄金比例的起点本身不好找，而第一波以哪里为准也不好确定，最终导致测算成功的概率依然不高。

至于涨跌的时间就更加复杂。虽然我们可以通过时间周期来处理，但时间周期是无法准确把握的，它可能给你好多的时间之窗，使你多次面临新的判断，处于无法确定的困境。你可能交易的方向对，但进场的时间太早，以至于你等不到价格的启动就被迫离场了。影响价格的重要因素也会随着市场情况的变化而变化，某些因素可能在今天对价格影响很大，但过了一段时间，这个因素对市场几乎就没有影响，而新的影响因素可能还处在朦胧状态。所以，即使你掌握了大量的信息，但对这些信息进行筛选甄别同样非常困难。还有政策的不确定性更是我们不能够预料和改变的，我们只能被动地接受。

2.股市投资中的理财问题

股票是股份有限公司在筹集资本时向出资人发行的股份凭证。股票代表着其持有者（即股东）对股份公司的所有权，这种所有权是一种综合权利，如参加股东大会、投票表决、参与公司的重大决策、收取股息或分享红利等。股票一般可以通过买卖方式有偿转让，股东能通过股票转让收回其投资，但不能要求公司返还其出资。股东与公司之间的关系不是债权债务关系。股东是公司的所有者，以其出资额为限对公司负有限责任，承担风险，分享收益。股票具有以下基本特征：

1）不可偿还性股票是一种无偿还期限的有价证券，投资者认购了股票后，就不能再要求遏股，只能到二级市场卖给第三者。股票的转让只意味着公司股东的改变，并不减少公司资本。从期限上看，只要公司存在，它所发行的股票就存在，股票的期限等于公司存续的期限。

2）参与性股东有权出席股东大会，选举公司董事会，参与公司重大决策。股票持有者的投资意志和享有的经济利益，通常是通过行使股东参与权来实现的。股东参与公司决策的权利大小，取决于其所持有的股份的多少。从实践中看，只要股东持有的股票数量达到左右决策结果所需的实际多数时，就能掌握公司的决策控制权。

3）收益性股东凭其持有的股票，有权从公司领取股息或红利，获取投资的收益。股息或红利的大小，主要取决于公司的盈利水平和公司的盈利分配政策。股票的收益性，还表现在股票投资者可以获得价差收入或实现资产保值增值。通过低价买入和高价卖出股票，投资者可以赚取价差利润，以美国可口可乐公司股票为例。如果在1983年底投资1000美元买入该公司股票，到1994年7月便能以11554美元的市场价格卖出，赚取10倍多的利润。在通货膨胀时，股票价格会随着公司原有资产重置价格上升而上涨，从而避免了资产贬值。股票通常被视为在高通货膨胀期间可优先选择的投资对象。

4）流通性股票的流通性是指股票在不同投资者之间的可交易性。流通性通常以可流通的股票数量、股票成交量以及股价对交易量的敏感程度来衡量。可流通股数越多，成交量越大，价格对成交量越不敏感，股票的流通性就越好，反之就越差，股票的流通，使投资者可以在市场上卖出所持有的股票，取得现金。通过股票的流通和股价的变动，可以看出人们对于相关行业和上市公司的发展前景和盈利潜力的判断。那些在流通中吸引大量投资者、股价不断上涨的行业和公司，可以通过增发股票，不断吸收大量资本进入生产经营活动，收到了优化资源配置的效果。

5）价格波动性和风险性股票在交易市场上作为交易对象，同商品一样，有自己的市场行情和市场价格。由于股票价格要受到诸如公司经营状况、供求关系、银行利率，大众心理等多种因素的影响，波动具有很大的不确定性。正是这种不确定性、有可能使股票投资者遭受损失。价格波动的不确定性越大，投资风险也越大。因此，股票是一种高风险的金融产品。例如，称雄于世界计算机产业的国际商用机器公司（IBM），当其业绩突出时，每股价格曾高达170美元，但在其地位遭到挑战，出现经营失策而招致亏损时，股价又下跌到40美元。如果不合时机地在高价位买进该股就会导致严重损失。

当今资本市场许多主要的投资学采用的数量模型（包括APT模型、CAPM模型、OPM模型及资产组合的β值理论等）都是基于这样的一个经济学框架之上，赋予观测或受益率以独立性的随机游动假设、理性投资者的概念及有效市场假说EMH(市场被认为是公平的“博弈”型)，在数理上均遵循Gauss正态分布或线性回归假定。它要让投资者更加趋于理性以避免出现恐惧和赌博心理，并引导投资环境整理的更加整齐有序，良性循环发展。这些简化的线性理论范式将风险定义为收益率的标准差以此来表达现实的市场行为。

然而在真正的现实经验面前，特别是近几年来Nasdaq市场指数及科技股的表现，人们更多看到的是不支持股价随机游动和Gauss正态分布假定的事实证据，投资者确认信息的时间和信息的消化过程及投资情绪因素的差异可能会导致一个有偏随机游动。数学家Mandelbrot很早通过对股票收益的研究就提出了分形布朗运动模型，其中分形参数Hurst指数用来度量信息对序列的影响。这种分型结构的资本市场具有统计学意义上的循环概念，而非“价格循环”，这和基于有效市场假说导出的数量模型相抵触，但其结果则更接近于市场参与者的经验。

但是，在应用Brown运动模型时，人们大多数的工作都是在假定指数是一个常数，且这种分析需要过于长时间的数据支持而产生滞后性，这对在复杂多变的股票市场中投资人进行投资决策带来极大的操作不便，使得Hurst指数亦未能很好发挥其应有的投资指导作用。要解决以上问题，有必要在Brown运动中引入时变的Hurst指数，同时适宜用小波分析工具来处理这种具有局部自相似分形特征的非平稳随机过程。给出了Hurst指数计算公式，实际的分析结果显示时变指数对投资理财决策具有较好的提示和预警功能，如果股票的市值上涨，那收益会非常可观。

3.数学模型及问题描述

下面的积分随机过程Y(t)可以看成是分形布朗运动(FBM)的一个拓展分形布朗运动(GFBM)，其含有时变的分形参数H(t)。(8-23)其中，q(t)≥0,则称Y(t)是一个具有局部自相似性的随机过程。对于给定|s1-s2|，当H(t)从1减少到0时，过程Y(t)的局部自相关性也相应逐渐减弱，从而出现一个逐渐增大偏差的粗糙样本轨道。8.3.2基于小波变换的Hurst指数估算方法

1.Hurst估算设ψ(t)为母小波，WY(a,t)代表局部自相似过程Y(t)相对于尺度a和t位置的小波变换，则有由(8-24)式及上式可得到下式：

(8-26)其中，

取Y1(a)=log|WY(a,t)|2,令则

其中，

在a值很小时，由(8-23)和(8-24)两式可近似地得到一回归模型：

Y1(a)≈(logC1+C2)+［2H(t)+1］loga+ε1(a)(8-28)构造一个小尺度序列

a1>a2>…>al,aj=2-j，j=1,2,…，n

令Xj=logaj，yj=y1(a1),j=1,2,…,n。对{(xj,yj),j=1,2,…,n}，利用最小二乘法得到(8-28)式中H(t)的一个估计：(8-29)^其中，

。可以证明：H(t)是H的一个相容性结果。

^

2.应用实例及分析为了便于实际分析，对于（8-23）式中两个随机积分用下边的和式逼近：

当

均为Gauss白噪音过程，N≥0为整数，k≥0为常数。在(8-23)式中，取

(8-30)此时Bn(ti)可以看成一个布朗运动。下面选取从1993年1月1日至2000年11月31日上海股票市场周收盘指数的所有数据为样本，按照本文小波处理算法计算其时变Hurst指数，并和前人所用ARFIMA模型计算出的Hurst指数H（常数值）相比较，从中可以看出时变Hurst指数的演变在投资策略方面具有非常重要的指导意义。

采用上证周收盘指数共有398个数据，数据变化范围为［333.92，2093.2］，全距为1759.3。数据波动较大，呈现一个尖峰分布（非高斯分布）。当H被看成常数时，由TSP软件分析，得到H=0.47，这表明自1993年以来周指数之间波动没有明显的长期依赖性，以这个指标决策只能导致错失良机。利用我们的算法及三次样本曲线拟合，从而得到时变Hurst指数的光滑曲线，可以明显地看到，在股市不同波段中周指数依赖性都有不同的变化。图8-9为上证周指数折线图，图8-10为时变Hurst指数变化曲线及传统方法计算的指数值图线。

图8-9上证周指数折线图

图8-10时变Hurst指数曲线及传统的指数值H曲线

从图8-10可以看出，时变指数H(t)的变化和股价走势的关系。当0.5<H(t)<1时，股价运动时就表现一个持久性的或趋势增强的序列，趋势增强行为的持久性随着H(t)值接近于1而增强，系统噪声越来越少，相同符号的相邻观测也越来越多，投资人适合采取“持股待涨”或“看空止损”的策略，同时注意此时的高度易变性；相反，随着H(t)值越接近于0.5，系统噪声就越大，发展趋势也就越不确定；当0<H(t)<0.5时，股价运动则呈现一种反持久性的或遍历性的时间序列，即出现一种均值回复现象，H(t)距离零越近，序列就越具更强的突变性或易变性，以频繁逆转作为其特征，投资人应采取“高抛低吸”策略；当H(t)=0.5时，系统呈现一种随机序列运动，事件之间是独立和不相关的，正态分布是其特征，这才是现今许多资产定价模型生存的合理空间。

8.3.3基于小波变换的股票自相似信号理财算法

1.股指数列的相似性相似性度量依据某些原则区分不同序列之间的相似程度。在某些领域，人们对于相似性的判定是基于宏观概念的，注重序列变化的趋势和模式等主要特征，而不是试图用精确的计算结果来表示序列之间的相似性。通常来说，相似性对于人们来说是一种模糊的概念，所以在设计相似性算法的时候，应当考虑序列匹配的模糊性，这样才能使相似性计算的结果更有意义。

深圳股票市场某种股票价格的波动模式在一周内出现两个峰值(见图8-11)。根据一些判断规则，说明这个模式是具有图示的双峰模式的。对于图8-12中所示的序列，所有的曲线都有两个峰值，当使用欧几里得距离来判定相似时，由于幅值的不同或者峰值间距离的差异，会将一些具有相同特征的序列遗漏。所以直接使用基于数列元素间欧几里得距离来判定它们之间的相似性就不能得出正确的结论。

图8-11深圳股票市场某种股票价格波动图

图8-12具有双峰股票价格波动图

为了解决这一问题，我们对数列进行小波变换，根据小波变换系数提取“两个峰值”这一波动特征，然后对图8-12中的数列提取变化模式，由于所有的数列都具有“两个峰值”这一特征，这些数列将被归为相似的类别，从而得出正确的结论。对基于模式的数列相似性而言，其基本思想是用一系列的变化模式来代表原始数列，然后比较这些变化模式之间的相似性，这种相似性应当与基于数值的相似性度量兼容。在用适当的方法来表示原始数据时，一方面对于领域知识来说要能够保留足够的信息，另一方面，新的表示方法能够对原始数据进行高效的压缩，减少数据处理的时间和空间复杂性，提高相似性检索的效率和准确性。

当用某种方法来表示原始数据后，我们尽可以抛开原始数列的具体数值和噪声扰动，而将注意力集中在数列的变化模式特征上。图8-13为深股指300个交易日的数据序列，对其进行连续小波变换，小波函数为coif3，分解尺度为1∶50。从图8-14可以看出，此数据序列具有相似性。因此,利用连续小波变换系数可以研究股票市场中的数据序列的相似性。

图8-13深股指300个交易日的数据序列

图8-14小波变换系数灰度图

2.股票市场的自相似性

设f(t)具有自相似随机过程，即f(t)d=a-Hf(at)，a为尺度，H

为Holder指数。设f(t)的方差为σ2f，则f(t)具有尺度上的自相似，即

(1)均值自相似性：E［f(t)］=a-HE［f(at)］；

(2)自相关函数的自相似：Rf(t1,t2)=a-2HRf(at1,at2);若是平稳的，则Rf(t1,t2)=a-2HRf(at1,at2)；

(3)功率谱的自相似：sf(w)=a2H+1sf(aw)，即功率谱具有形式sf(w)=|w|-2H-1σ2f。若自相似过程的功率具有特点：sf(w)∞|w|-γ，γ=2H+1,称为1/F谱。一般来说，1<γ<3时，为分数布朗运动，且γ=2H+1，f(t)表现出正相关；0<γ<1时，为分数高斯噪音，且γ=2H-1，f(t)表现出负相关；γ=1时，为脉动噪声；γ=-1时，为微分脉噪。此时，把满足幂率性质sf(w)∞|w|-γ,-1<γ<3的随机分形成微分形噪声。Rf(τ)随τ按幂率衰减，其衰减率比一般多项式模型的指数衰减慢得多。对于谱特性sf(w)=|w|-2H-1σ2f来说，当γ≥1时，则w

越小sf(w)越大，说明信号的低频成分丰富，但w→0时，sf(w)→∞会造成所谓的“红外灾害”;而当γ≤1时，则w越大sf(w)越大，说明信号高频成分丰富，但w→∞，sf(w)，也会造成所谓的“紫外灾害”。因此，下面从频率上定义1/f过程。

一个广义平稳的、零均值、统计自相似的随机过程f(t)，成为1/f过程。当f(t)经过理想带通滤波器

其他，滤波后所得输出y(t)是广义平稳、方差有限的随机过程。，设φ(t)的正规性为R（或前R阶原点距为0）的小波母函数，

则f(t)的二进制小波变换定义表示为

(8-31)定理8.1

如果0<γ<2R，则任意两个小波系统d(m)k，d(m′)k′间的相关值为

(8-32)由定理8.1可得以下结论：

(1)d(m)k的均值为0，方差为σ2·2my,而

(2)归一相关系统，

(8-33)而Var(dk(m))表示方差。在同一尺度下是k-k′的函数，即在固定尺度下，dk(m)是广义平稳的随机序列；

(3)同尺度下，对应于同一时刻的小波变换，归一相关系统是m-m′的函数；

(4)为了保证Var(d(m)k)有限，基本小波的正规性R应满足γ=2R，此时同一尺度下P值随k-k′的增大而衰减，衰减级为(k-k′)-2R+y；当小波函数正交时，可以认为d(m)k为白噪序列。3.自相似的小波算法描述记

是只依赖Ψ(t)和γ的常数，

则

于是，f(t)在不同尺度m上小波系数的方差满足特性Ψ：（8-34）

或回归方程式:（8-35）

因为尺度m上小波系数的方差有无偏估计式：

（8-36）

所以可简单回归出γ的值。若经过上述计算出γ值近似满足（8-35）式，也即满足（8-34）式，就可称原始数据近似为分形噪音；而且，当1<γ<3时，即为自相似信号且H=(γ-1)/2，这就是自相似信号的检测原理。为了降低原数据的相关性而进一步考虑波动率时，就可认为信号是平稳或近似平稳的时间序列。对服从正态分布的n个随机数，经过上述方法计算的γ值近似为分形噪音，并且γ<0。若原始数据中检测得到的γ值满足回归式（8-36），且γ<0，此时原始数据就近似服从正态分布。图8-15是一标准正态分布数据正交小波变换后的小系数方差的散点拟和图。由图8-15可以看出拟合效果很好。图8-15标准正态分布数据正交小波变换后的小系数方差的散点拟和图

8.3.4数值实验及分析对深股指230个交易日和综合指数190个交易日的数据作分析，为了剔除股指数据中很大的波动性，准确地描述股市的规律，考虑股指数波动率：Ri=log(Ii)-log(Ii-1),i=2,3,…,N

(8-37)其中，Ri,Ii分别表示第i时的波动率和股指，N=230和190。图8-16为股票波动率图，图8-17为股票指数相图。图8-16股票波动率

图8-17股票指数相图

从股票指数相图和股票波动率图可以看出股价起落和涨跌情况。为了更详细地分析股市行情，用正交小波对Ri,Ii进行6层小波分解，作出6个尺度上小波系数方差的散点拟和图（图8-18、图8-19、图8-20、图8-21）。离散点近似在所拟和的直线上，表明股指数据序列和对数收益率近似为分形噪音；拟和直线有负的斜率，表明显示相关，对数收益率近似服从正态分布。在图8-18～图8-21中，离散点和拟和点的数据在表8-1给出。各图中的离散点用Data11、Data21、Data31、Data41表示，拟和点用Data12、Data22、Data32、Data42表示，最后一列是四个图中拟和直线的斜率。图8-18深指方差散点拟和

图8-19深指对数收益散点拟和

图8-20综指方差散点拟和

图8-21纵指对数收益散点拟和

表8-1散点和拟和点数据及斜率

对股票市场指数序列的周、月收益率的研究，可得出同样的结果。对不存在异常事件干扰的或相对波动不大的股指数据，收益率为正态分布。而存在突发事件（政治或经济）的股指数据分布偏离正态分布。因此，当去除异常值干扰时，股指收益率就近似服从正态分布。这一结论有利于股票收益率实证研究的发展和股价波动模型的探讨。在此前提下，投资者基于期望收益和方差进行选择，并根据该投资者的效用函数确定投资组合。与柯莫哥罗夫—斯米诺夫拟和优度检验和方差的t检验法相比，本节提出的方法模型简单，直观明了，不需要太多的统计概率方面的知识，只需了解正态分布的基本理论即可。

8.4外汇市场理财中的小波分形模型及算法

8.4.1外汇市场理财问题的提出当今外汇市场的表现是，一方面经济不确定性依然突出，主要货币汇率走势由于去年全年的不断调整，不仅与市场价格超出预期具有直接的关联，并且搀杂资源性商品的急剧跳跃性价格变化，使得货币汇率出现超出历史常规的变化趋势。尤其是美元兑欧元和英镑价格一天跳动400点高水平，不仅市场要不平静地接受，而且各国政府也似乎要容忍接纳。但是相对于货币经济基本面而言，美元双赤字困惑逐渐扩大，形成不支持或挫伤美元上涨信心；欧元经济增长水平和经济数据难以支撑欧元超值，乃至急剧上涨态势；日元政策和结构因素约束难以摆脱，经济复苏处于翻转迂回之中，复苏趋势有再衰退可能，使日元投资面临迷茫、无方向状态，加之美欧货币博弈中，日元处于“尴尬”夹缝地位，使日元上升与下跌两难。而从技术层面看，美国跨国企业资金有海外回流的可能，是提升美元投资的关键，已经有企业表示短期将汇回美元收入，其中医疗保健突出。市场投资目前处于谨慎戒备与防范之中，美元汇率一定程度上因技术风险规避而实施必要调整，美国政府强势与美元弱势策略依然是2005年基本路径。

另一方面，美元的国际主导地位终将面临挑战与修正，外汇市场的不确定性正在加大，防范国际投机所导致新的金融风险或危机，将是不可忽视的重要课题，最值得警惕的是在这种不稳定中，国际投机推波助澜的干扰性风险。特别是国际经济的不确定，政治的动荡局面、金融市场的大幅波动，都给予投机炒作以空间；加之国际恐慌心理的加重，恐怖突发事件难以预料，投资趋势难以把握；在经济弱化的情形下经济政策也矛盾重重，国际金融市场应对投机的对策与政策愈加难以制定。因此，防范国际投机所导致新的金融风险或危机，将是不容忽视的重要课题。

外汇交易买卖是由国际间的贸易或资本流动带来的外汇结算所产生的，而贸易的结算需要进行外汇买卖，在国际间投资需要进行外汇买卖，外汇保值需要进行外汇买卖，金融投机需要进行外汇买卖，外币存款需要进行外汇买卖，全球经济一体化也需要进行外汇买卖，外汇的交易是结算、投资、投机等一系列活动。外汇市场的交易是现代经济活动中常见的一种风险投资，与相对安全但收入稳定的其他金融投资活动相比，这是为了获得高收益而主动承受高风险的投资活动。其价格的变化极其复杂，很不规则并且其不确定性和非平稳性依然存在。外汇价格曲线数据量大，采用传统方法和技术很难找到其规律所在，对它们的处理或绘制便成为一项很繁重的工作。需要利用数值插值的方法来逼近，压缩数据量，使其具有一定的规律，便于进一步研究。然而，用一般的插值方法逼近汇价这类无规则的曲线将带来很大误差。利用分形小波变换对外汇价格的变动规律进行研究，从外汇价格变动的分布及其分布的相似性方面进一步论证了外汇价格的变化是分形的。分形是以自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何体为研究对象的，所以建立在此基础上的小波分形插值方法必能很好地逼近外汇汇率曲线，比传统插值方法有更好的优越性。

8.4.2外汇市场时间序列特征

1.连续小波变换与外汇汇率信号的自相似性设φ(t)∈L2(R)为小波母函数，，函数f(x)的连续小波变换为

(8-38)不同的尺度参数和平移参数的连续小波变换之间是自相似的，这表现为小波变换的冗余性。小波变换具有伸缩共变性和平移不变性，因此，连续小波变换是分析自相似信号的有利工具。通过各尺度小波系数的灰度值图可以表征信号的结构信息。

如果信号具有自相似性，则在分解后会发现小波系数的图形在许多尺度上看上去很相似。从直观上，小波分解可通过计算小波和信号之间的“自相似指数”即小波变换系数来得到。如果自相似指数很大，则信号的自相似性程度越大；反之亦然。研究得出，实际中许多信号具有自身相似性，如人的逐拍心率曲线、自发脑电信号及海岸线在不同尺度上都与自己相似，则小波系数也在不同尺度上相似。因此，如果某个信号的连续小波变换系数在很多尺度上相似，那么该信号就具有自相似性，从而可用自相似或分形的知识来分析研究它。根据艾罗特波浪理论，在一个完整的大周期内，每一个小周期的变换都与大周期相同，遵循“顺五浪、逆三浪”的变化规律，也即在不同尺度上，外汇汇率的变化具有尺度不变性。图8-22是一个有128浪的完整循环，从直观上，外汇汇率信号具有自相似性。

图8-22完整的股市升跌(有128浪)图8-23为图8-22的连续小波变换灰度图，图中不同的灰度颜色表示小波系数的大小，每一垂直轴线上的线条是由信号的自相似性产生的，因此，可以看出外汇汇率行为的变化具有自相似性。

图8-23连续小波变换灰度图

2.离散小波变换与外汇汇率信号的涨跌率为了使小波变换具有“变焦距”的功能，需要改变a,b的大小。实际中，常用二进制的动态采样网络，则小波函数为j,k∈Z

（8-39）

从（8-39）式我们可以看出减小放大倍数2-j，即增大j值，可分析信号的大体框架；增加放大倍数2-j，即减少j值，可观查研究信号更小的细节。信号f(x)二进制小波变换为

（8-40）

3.汇率时间序列长期趋势分析

多分辨分析思想体现了人们逐步识别形体的过程。从远到近观察，首先注意到大尺度成分，再逐渐注意到其结构，最后观察纹理或细节，这体现了一种从低分辨到高分辨的原理，也体现了对目标进行分割的思想。用二进制小波变换分析汇率波动率，汇市汇率时间序列经多层分解后的低频部分就对应为时间序列的趋势部分，即缓慢变化部分。随着尺度的增加，时间分辨率降低，时间序列的发展趋势会表现得更明显。尺度分解中的低频部分随着层次的增加，它含有的高频成分随之减少。进一步分解，则去除更高频率的成分，保留时间序列的发展趋势。但是若时间序列本身有很陡的变化，则低频显示的结果可能与原时间序列差异很大。对于汇市时间序列中发展趋势的识别来说，由于突发的政治、社会、恐怖等事件不可预测，故这一点影响不大，即在尺度很大时，小波分解可以消除不产生广泛影响的涨跌，而有利于汇市汇率波动的趋势预测。

图8-24

5层小波分解的极大值图

图8-24是对图8-7外汇汇率涨跌率图通过Mallat快速分解得到5层小波分解的极大值图，从图8-24中可明显得出各尺度下时间序列的奇异点、小尺度下的尖锐部分和大尺度下的趋势部分。小波变换多层分解可以消除汇市数据中偶然因素引起的涨跌，具有突出主要因素和宏观突变的特点。汇率涨跌率波动有明显的周期，大幅波动的时间间隔大致相同，表现为较强的规律性。

8.4.3外汇市场理财中的插值小波分形模型及算法

1.线性分形插值逼近设迭代函数系统{R2;ωi