2024-2025学年人教版八年级(上)数学寒假作业（七）

第1页（共1页）2024-2025学年人教版八年级(上)数学寒假作业（七）一．选择题（共5小题）1．（2024春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，则BC的长度为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm2．（2023秋•谷城县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（）s后，可得到等边△AMN．A．1 B．0.5 C．4 D．23．（2024秋•昭通月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则CD的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2024秋•宁波期中）下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：15．（2024秋•长春月考）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E是AD上的点，CE∥AB，与BD交于点F．若∠CBD＝40°，则∠DCE的度数为（）A．40° B．20° C．2° D．25°二．填空题（共5小题）6．（2024•武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为．7．（2024秋•启东市期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为．8．（2024秋•綦江区期中）若一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则该等腰三角形的周长为．9．（2024秋•龙亭区校级期中）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为．10．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB、AC相交于点M、N，且MN∥BC，AB＝6，AC＝10，△AMN的周长为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•中山区校级期中）如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交BA延长线于D，交CA延长线于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系．12．（2024秋•佳木斯月考）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．（1）求证：△AOD≌△COE；（2）直接写出△ABC的面积与四边形CDOE的面积的数量关系．13．（2024秋•荷塘区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，点D为BC上一点，且CD＝BE，AD，CE交于点P．（1）试说明△ACD≌△CBE；（2）猜想∠APC的度数，并证明．14．（2024春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，DF=3，求15．（2024秋•周村区期中）已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．（1）利用图1证明：EF＝2BC；（2）如图2，在三角尺平移过程中，设AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H，猜想线段AH与BE存在怎样的数量关系？并证明你的结论．

2024-2025学年人教版八年级(上)数学寒假作业（七）参考答案与试题解析题号12345答案CCBDB一．选择题（共5小题）1．（2024春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，则BC的长度为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．【答案】C【分析】先求出∠A＝30°，再根据含有30°角的直角三角形性质可得BC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，∴∠A＝30°，∴BC=12AB＝4（故选：C．【点评】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．2．（2023秋•谷城县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（）s后，可得到等边△AMN．A．1 B．0.5 C．4 D．2【考点】等边三角形的判定；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】设点M、N运动xs后，可得到等边△AMN，求出AM＝xcm，AN＝（12﹣2x）cm，由等边三角形的性质得到∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，得到x＝12﹣2x，求出x＝4，即可得到答案．【解答】解：设点M、N运动xs后，可得到等边△AMN，∴AM＝xcm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴AM＝AN时，△AMN是等边三角形，∴x＝12﹣2x，∴x＝4，∴点M、N运动4s后，可得到等边△AMN．故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．（2024秋•昭通月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若∠B＝30°，BC＝8cm，则CD的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】求出∠CAD＝30°，利用含30°的直角三角形的性质求出AC＝4cm，则CD可求出．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，∵AD⊥BC于点D，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ABC中，AC=∴Rt△ACD中，CD=故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质求出CD的长是解题的关键．4．（2024秋•宁波期中）下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三个角的度数之比是2：2：1【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】根据选项中△ABC三个角的关系，利用三角形的内角和定理可分别求出△ABC三个角的度数，进而根据等腰三角形的判定可得出答案．【解答】解：对于选项A，∵∠B＝40°，∠C＝80°∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，故选项A不能判定△ABC为等腰三角形；对于选项B，∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴k+2k+3k＝180°，解得：k＝30°，∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°，故选项B不能判定△ABC为等腰三角形；对于选项C，∵2∠A＝∠B+∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠A＝180°，解得：∠A＝60°，此时不能确定∠B和∠C的度数，无法判定△ABC的形状，故选项C不能判定△ABC为等腰三角形；对于选项D，∵三个角的度数之比是2：2：1，不妨假设∠A：∠B：∠C＝2：2：1，可设∠A＝2k，∠B＝2k，∠C＝k，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2k+2k+2＝180°，解得：k＝36°，∴∠A＝2k＝72°，∠B＝2k＝72°，∠C＝k＝36°，∵∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形，故选项D可以判定△ABC为等腰三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的判定，灵活利用三角形的内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键．5．（2024秋•长春月考）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E是AD上的点，CE∥AB，与BD交于点F．若∠CBD＝40°，则∠DCE的度数为（）A．40° B．20° C．2° D．25°【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】由等边三角形的性质求出∠ABD＝60°，由CE∥AB得∠ABD＝∠EFD＝60°，根据等腰三角形的性质求出∠CDB＝∠CBD＝40°，再根据三角形外角性质求出∠DCE的度数即可．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠EFD＝60°，∵BC＝BD，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝∠CBD＝40°，∵∠DCE+∠CDB＝∠EFD，∴∠DCE＝20°，故选：B．【点评】此题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，熟记等边三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024•武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为10．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案为：10【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．7．（2024秋•启东市期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为2．【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BD＝2．【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，则∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，∠BCD∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴BD=∵AC＝10，BC＝6，∴BD=故答案是：2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．8．（2024秋•綦江区期中）若一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则该等腰三角形的周长为22．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】22．【分析】分腰长为4和腰长为9两种情况进行分析，三角形的三条边需满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【解答】解：①当腰长为4时，4、4、9，4+4＜9，不能够组成三角形；②当腰长为9时，4、9、9，能够组成三角形，此时周长＝4+9+9＝22．∴这个等腰三角形的周长是22．故答案为：22．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．9．（2024秋•龙亭区校级期中）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为18°≤θ＜22.5°．【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角定理推出∠A2A1A3＝2∠BAC＝2θ，∠A3A2A4＝3θ，∠A4A3C＝4θ，∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ，根据只能摆放4根小棒，列出不等式组求解即可．【解答】解：如图，∵AA1＝A1A2，∴∠AA2A1＝∠A，∴∠A2A1A3＝∠AA2A1+∠A＝2∠BAC＝2θ，∵A1A2＝A2A3，∴∠A2A1A3＝∠A2A3A1＝2θ，∴∠A3A2A4＝∠A+∠A2A3A1＝θ+2θ＝3θ，∵A2A3＝A3A4，∴∠A3A2A4＝∠A3A4A＝3θ，∴∠A4A3C＝∠A3A4A+∠BAC＝4θ，同理∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ，∵只能摆放4根小棒，∴4θ＜90°且5θ≥90°，解得：18°≤θ＜22.5°，故答案为：18°≤θ＜22.5°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形“等边对等角”，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．10．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB、AC相交于点M、N，且MN∥BC，AB＝6，AC＝10，△AMN的周长为16．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】16．【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BMO和△CNO是等腰三角形，从而得到MB＝MO，NC＝NO，然后利用等量代换可得到△AMN的周长为AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，∴MB＝MO，NC＝NO，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝16，故答案为：16．【点评】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，关键是平行线性质的熟练掌握．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•中山区校级期中）如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交BA延长线于D，交CA延长线于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】CE＝BD+DE，理由见解析．【分析】根据平行线的性质得出∠DFB＝∠CBF，∠FCM＝∠CFE，根据角平分线的定义得出∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，于是推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝CFE，再根据等腰三角形的判定即可得出BD＝DF，CE＝EF，从而问题得证．【解答】解：CE＝BD+DE，理由：∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠FCM＝∠CFE，∵∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝CFE，∴BD＝DF，CE＝EF，∵EF＝DF+DE，∴CE＝BD+DE．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这两个定理是解题的关键．12．（2024秋•佳木斯月考）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．（1）求证：△AOD≌△COE；（2）直接写出△ABC的面积与四边形CDOE的面积的数量关系．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．【分析】（1）根据题意可求得AO＝CO，∠AOD＝∠COE，∠OAD＝∠OCE，进而可求得结论；（2）根据S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝S△COD+S△AOD＝S△AOC，即可求得答案．【解答】（1）证明：由题意可得：∴∠ACO＝∠OCE＝45°，∠AOC＝90°．∴△AOC为等腰直角三角形．∴AO＝CO，∠OAD＝45°．∴∠OAD＝∠OCE．∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠COE＝90°，∴∠AOD＝∠COE．在△AOD和△COE中，∠AOD∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）解：S四边形即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定，正确记忆相关知识点是解题关键．13．（2024秋•荷塘区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，点D为BC上一点，且CD＝BE，AD，CE交于点P．（1）试说明△ACD≌△CBE；（2）猜想∠APC的度数，并证明．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）60°，证明见解析．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠CAB＝∠CBA＝30°，从而得到∠ACB＝∠CBE，由SAS即可证明△ACD≌△CBE；（2）由（1）得△ACD≌△CBE，从而可得∠CAP＝∠PCD，由∠ACP+∠PCD＝120°得到∠CAP+∠ACP＝120°，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵BE⊥AB，∴∠CBE＝30°+90°＝120°，∴∠ACB＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，AC=∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）解：∠APC＝60°，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴∠CAP＝∠PCD，∵∠ACP+∠PCD＝120°，∴∠CAP+∠ACP＝120°，∴∠APC＝180°﹣120°＝60°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，是解题的关键．14．（2024春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，DF=3，求【考点】等腰三角形的判定；角平分线的性质．【答案】（1）详见解答；（2）23．【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质先说明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得结论；（2）利用角平分线的性质先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的长．【解答】（1）证明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD＝DF=3在Rt△CDE中，CE=DE∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD=CD2【点评】本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定、勾股定理是解决本题的关键．15．（2024秋•周村区期中）已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．（1）利用图1证明：EF＝2BC；（2）如图2，在三角尺平移过程中，设AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H，猜想线段AH与BE存在怎样的数量关系？并证明你的结论．【考点】等边三角形的性质；平移的性质；三角形的外角性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）AH＝BE，证明见解析．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形外角的性质证明AC＝BC，∠CAF＝∠F，进而可证明CA＝CF，据此根据线段的和差关系即可证明结论；（2）同（1）可证明CF＝CH，再由（1）的结论和线段的和差关系即可得到结论．【解答】（1）证明：由题意得，∠F＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，∴∠CAF＝∠F＝30°，∴CA＝CF，∴BC＝CF，∴EF＝2BC；（2）解：AH＝BE，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠CHF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，∴∠CHF＝∠F，∴CF＝CH，∵EF＝2BC，∴BE+CF＝BC，又∵AC＝AH+CH，AC＝BC，∴AH＝BE．【点评】本题主要考查了等边三角形性质，三角形外角的性质，平移的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握．

考点卡片1．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．2．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．5．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．8．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．9．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便