2024-2025学年人教版八年级(上)数学寒假作业（九）

第1页（共1页）2024-2025学年人教版八年级(上)数学寒假作业（九）一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春月考）若多项式4a2﹣（k﹣1）ab+25b2是关于a、b的完全平方式，则k的值为（）A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或192．（2023秋•邹城市期末）下列计算正确的是（）A．a3•b4＝a12 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝a2b2 D．（a+b）2＝a2+b23．（2024春•益阳期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（）A．x2﹣a2＝（x﹣a）（x+a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） D．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）4．（2024秋•衡阳县期中）若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那m的值是（）A．±12 B．﹣12 C．±24 D．﹣245．（2023秋•清原县期末）已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab二．填空题（共5小题）6．（2023秋•东坡区期末）如果多项式14x2+(m-1)x7．（2023秋•邹城市期末）已知a+b＝6，ab＝﹣2，则a2+b2的值是．8．（2024•株洲模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝40，则图中阴影部分面积为．9．（2024•株洲模拟）已知x2﹣y2＝12，x﹣y＝4，则x+y＝．10．（2023秋•锦江区校级期末）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•衡阳县期中）已知（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝25，求a2+b2与ab的值．12．（2024秋•榆树市期中）如图①，有一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线剪开可平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．请观察分析后完成下列问题：（1）图②中，阴影部分的面积可表示为；A.4abB．（a+b）2C．（b﹣a）2D.4（b﹣a）（2）观察图②，请你归纳出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系；（3）运用（2）中归纳的结论：当x+y＝7，xy=134时，求x13．（2023秋•端州区期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，都是死记硬背计算公式．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a、宽为b的小长方形（如图1），拼成了一个边长为a+b的正方形（如图2）．观察图形，解答下列问题：（1）图2中，阴影部分的面积是；（2）观察图1、图2，请你写出三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系；（3）应用：已知x+y＝7，xy＝10，求值：①（x﹣y）2；②x﹣y．14．（2024秋•万州区校级月考）某植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为（a+2b）米，宽为（a+b）米；B园区为正方形，边长为（2a+2b）米．（1）求A、B两园区的面积之和（备注：要化简）；（2）根据实际需要2023年初对A园区进行改造，改造后长增加（3a﹣b）米，宽减少（a﹣b）米，改造后A区的长比宽多100米，且改造后B园区的周长比A园区的周长多40米．①求a、b的值；②改造后当年若A园区全部种植郁金香，B园区全部种植牡丹花，且郁金香、牡丹花两种花当年投入的费用与吸引游客的收益如下表：郁金香牡丹花投入（元/平方米）1815收益（元/平方米）2830求改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和．（净收益＝收益﹣投入）15．（2024秋•万州区校级月考）阅读解答：（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；（2）类推：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）的结论计算：①221+220+219+⋯+23+22+2+1；②716﹣715+714﹣713+712﹣711+⋯﹣73+72﹣7．

2024-2025学年人教版八年级(上)数学寒假作业（九）参考答案与试题解析题号12345答案CCCCA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春月考）若多项式4a2﹣（k﹣1）ab+25b2是关于a、b的完全平方式，则k的值为（）A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19【考点】完全平方式．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】先得出4a2﹣（k﹣1）ab+25b2完全平方式为（2a±5b）2，再将其展开，则有﹣（k﹣1）＝±20，计算出k的值即可．【解答】解：∵（2a±5b）2＝4a2±20ab+25b2且多项式4a2﹣（k﹣1）ab+25b2是关于a、b的完全平方式，∴4a2﹣（k﹣1）ab+25b2＝（2a±5b）2，∴﹣（k﹣1）＝±20，∴k﹣1＝±20，∴k＝21或k＝﹣19．故选：C．【点评】本题考查了完全平方式，牢记完全平方公式是解题的关键．2．（2023秋•邹城市期末）下列计算正确的是（）A．a3•b4＝a12 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】分别根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方及完全平方公式计算可得．【解答】解：A、a3⋅b4＝a7，此选项错误，不符合题意；B、（a2）3＝a6，此选项错误，不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，此选项正确，符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查整式的计算，解题的关键是掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方及完全平方公式．3．（2024春•益阳期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（）A．x2﹣a2＝（x﹣a）（x+a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） D．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为（x+a）2﹣a2，由右图可表示阴影部分的面积为x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），故选：C．【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．4．（2024秋•衡阳县期中）若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那m的值是（）A．±12 B．﹣12 C．±24 D．﹣24【考点】完全平方式．【专题】计算题；整式．【答案】C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：∵9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，∴m＝±24，故选：C．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（2023秋•清原县期末）已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab【考点】平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．【专题】整式；推理能力．【答案】A【分析】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式．【解答】解：由图1得：正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2，∴阴影部分的面积是a2﹣b2，由图2得：AH＝AB+FH＝a+b，AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是（a+b）（a−b），∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【点评】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积．二．填空题（共5小题）6．（2023秋•东坡区期末）如果多项式14x2+(m-1)x+1是完全平方式，则【考点】完全平方式．【专题】整式；运算能力．【答案】0或2．【分析】由题意得14x2【解答】解：由条件可知(1∴m﹣1＝±1，解得m＝2或0，故答案为：0或2．【点评】本题主要考查求完全平方式的字母系数．熟练掌握完全平方公式是关键．7．（2023秋•邹城市期末）已知a+b＝6，ab＝﹣2，则a2+b2的值是40．【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】40．【分析】将式子变形为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入求值即可．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝﹣2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×（﹣2）＝40．故答案为：40．【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．8．（2024•株洲模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝40，则图中阴影部分面积为6．【考点】完全平方公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据AB＝8得到AC+CB＝8，根据S1+S2＝40得到AC2+CB2＝40，结合（a+b）2＝a2+b2+2ab求解即可得到答案．【解答】解：∵AB＝8，∴AC+CB＝8，∴AC2+CB2+2AC•CB＝64，∵S1+S2＝40，∴AC2+CB2＝40，∴2AC•CB＝64﹣40＝24，∴S阴影故答案为：6．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键．9．（2024•株洲模拟）已知x2﹣y2＝12，x﹣y＝4，则x+y＝3．【考点】平方差公式．【答案】见试题解答内容【分析】运用平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），代入所给式子的值可得出x+y的值．【解答】解：由题意得：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝4，∴x+y＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式，这是需要我们熟练记忆的内容．10．（2023秋•锦江区校级期末）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是13．【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】13．【分析】设t＝x﹣2023，换元后进行计算即可求解．【解答】解：设t＝x﹣2023，∵（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，∴（t+2）2+（t﹣2）2＝34，即2t2+8＝34，解得t2＝13，即（x﹣2023）2的值为13．故答案为：13．【点评】本题考查了完全平方公式应用，换元法是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•衡阳县期中）已知（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝25，求a2+b2与ab的值．【考点】完全平方公式．【专题】计算题；整式．【答案】见试题解答内容【分析】原式利用完全平方公式化简，即可求出值．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25②，∴①+②得：2（a2+b2）＝34，即a2+b2＝17；①﹣②得：4ab＝﹣16，即ab＝﹣4．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．（2024秋•榆树市期中）如图①，有一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线剪开可平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．请观察分析后完成下列问题：（1）图②中，阴影部分的面积可表示为C；A.4abB．（a+b）2C．（b﹣a）2D.4（b﹣a）（2）观察图②，请你归纳出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）运用（2）中归纳的结论：当x+y＝7，xy=134时，求x【考点】完全平方公式的几何背景．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）C；（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）±6．【分析】（1）用a和b表示出阴影部分正方形的边长，进而表示出其面积；（2）分别用两种方法表示阴影部分正方形的面积：一种是（1）中的表示方法，另一种是大正方形的面积减去4个小长方形的面积，二者相等，从而得到（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）分别令a＝x，b＝y，代入（2）中的结论，求出x﹣y的值即可．【解答】解：（1）阴影部分正方形的边长为b﹣a，∴阴影部分的面积可表示为（b﹣a）2．故答案为：C．（2）图②中阴影部分的面积既可表示为（b﹣a）2，即（a﹣b）2，又可表示为（a+b）2﹣4ab，∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．（3）根据（2）中归纳的结论，得（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，当x+y＝7，xy=134时，（x﹣y）2＝72﹣4∴x﹣y＝±6．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．13．（2023秋•端州区期末）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，都是死记硬背计算公式．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a、宽为b的小长方形（如图1），拼成了一个边长为a+b的正方形（如图2）．观察图形，解答下列问题：（1）图2中，阴影部分的面积是（a﹣b）2；（2）观察图1、图2，请你写出三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）应用：已知x+y＝7，xy＝10，求值：①（x﹣y）2；②x﹣y．【考点】完全平方式；完全平方公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①9；②±3．【分析】（1）表示出阴影部分的边长即可得答案；（2）用两种方法表示四个长方形面积可得答案；（3）应用（2）的结论，可得答案．【解答】解：（1）阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，∴阴影部分的面积是（a﹣b）2，故答案为：（a﹣b）2；（2）由图可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①∵x+y＝7，xy＝10，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9；②x﹣y＝±3．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方式，掌握相应的运算法则是解题的关键．14．（2024秋•万州区校级月考）某植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为（a+2b）米，宽为（a+b）米；B园区为正方形，边长为（2a+2b）米．（1）求A、B两园区的面积之和（备注：要化简）；（2）根据实际需要2023年初对A园区进行改造，改造后长增加（3a﹣b）米，宽减少（a﹣b）米，改造后A区的长比宽多100米，且改造后B园区的周长比A园区的周长多40米．①求a、b的值；②改造后当年若A园区全部种植郁金香，B园区全部种植牡丹花，且郁金香、牡丹花两种花当年投入的费用与吸引游客的收益如下表：郁金香牡丹花投入（元/平方米）1815收益（元/平方米）2830求改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和．（净收益＝收益﹣投入）【考点】完全平方公式的几何背景；一元一次方程的应用；多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力；应用意识．【答案】（1）5a2+11ab+6b2；（2）①a=30b=20；【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解；（2）①根据等量关系列出方程组求出a，b的值；②代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益＝收益﹣投入，列式计算即可求解．【解答】解：（1）根据题意得，（a+2b）（a+b）+（2a+2b）2＝a2+ab+2ab+2b2+4a2+8ab+4b2＝5a2+11ab+6b2；（2）①A园区改造后长为a+2b+3a﹣b＝4a+b，宽为a+b﹣（a﹣b）＝a+b﹣a+b＝2b，∵改造后A区的长比宽多100米，改造后B园区的周长比A园区的周长多40米，∴4a∴整理得，4a∴解得a=30②∵a=30∴A园区改造面积为2b（4a+b）＝2×20×（4×30+20）＝40×140＝5600平方米，B园区面积为（2a+2b）2＝（2×30+2×20）2＝1002＝10000平方米，∴根据题意得，（28﹣18）×5600+（30﹣15）×10000＝10×5600+15×10000＝56000+150000＝206000（元），∴改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和为206000元．【点评】此题考查了多项式乘多项式，一元一次方程的应用，完全平方公式的几何背景，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键．15．（2024秋•万州区校级月考）阅读解答：（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；（2）类推：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）的结论计算：①221+220+219+⋯+23+22+2+1；②716﹣715+714﹣713+712﹣711+⋯﹣73+72﹣7．【考点】平方差公式；多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）an﹣bn；（3）①＝222﹣1；②717【分析】（1）按照多项式乘多项式即可完成；（2）根据（1）中的结果，可以猜想得到结论；（3）①根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果；②根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果．【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，故答案为：an﹣bn；（3）①原式＝（2﹣1）（221+220+219+⋯+23+22+2+1）＝222﹣1；②716﹣715+714﹣713+712﹣711+⋯﹣73+72﹣7=[7-(-1)][=7=7=7【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键．

考点卡片1．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．2．单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．3．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．4．完全平方公式（1）完全平方公式：（a