【24八上】期末复习之填空压轴题十五大题型总结

明思教育整理提供第页期末复习之填空压轴题十五大题型总结【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由三角形的中线求面积】 1【题型2由三角形的内(外)角和求角度】 2【题型3由全等三角形的判定与性质求线段长度】 3【题型4由全等三角形的判定与性质求角度】 4【题型5与全等三角形有关的动点问题】 5【题型6几何图形最值问题】 7【题型7构造等腰三角形求值】 8【题型8等腰三角形的存在性问题】 9【题型9与整式乘除有关的化简求值】 10【题型10利用整式乘法解决图形面积问题】 10【题型11利用因式分解解决最值问题】 11【题型12利用因式分解解决整除问题】 11【题型13分式的化简求值】 12【题型14由分式方程的解求字母的值】 12【题型15分式方程的实际应用】 13【题型1由三角形的中线求面积】【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形ABC，点D在BC上且CD=2BD，点E在AB上且3AE=2BE，AD与CE交点F，点G为CF的中点，连接BG，BF，若△BFG和△AEF的面积的和为19，则四边形BEFD的面积=．【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若BDCD=ab，则S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD的边DA和CB延长相交于E，H和G分别是BD和AC的中点，已知四边形ABCD的面积为33，则△EHG的面积为【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为

【题型2由三角形的内(外)角和求角度】【例2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，AB∥CD，∠BEH=1n∠GEH，∠DFK=1n∠GFK，【变式2-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）已知（如图）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．CE与AD，BP分别相交于点F，Q．CG平分∠BCP，∠AFE=∠P+30°，∠D=3∠DCP【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，在ΔABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E，则∠E=度；分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，则∠AFC=度．【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知AB∥CD，∠BAC=120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC=2∠AMC，当∠PCN=14【题型3由全等三角形的判定与性质求线段长度】【例3】（23-24八年级·山东淄博·期中）在钝角△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为．【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=12∠BAD【变式3-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为射线CB上的动点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC所在的直线交于点P，若CD=3BD，则PC与AC的比值为【变式3-3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD、BE相交于P，AP=3PD，BD=3，则AE=．【题型4由全等三角形的判定与性质求角度】【例4】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度数为【变式4-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O为△ABC内一点，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，则∠OAC=.

【变式4-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，BD与CE交于点F，连接AF，则∠AFB的度数为．【变式4-3】（23-24八年级·河北邢台·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,AD与BC交于点P（不与点B,C重合），点B,E在AD异侧，∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I.

（1）PD的最大值为；（2）当∠APC=75∘时，∠CAE的度数为（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为.【题型5与全等三角形有关的动点问题】【例5】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P①当点P在AC上时，PC=（用含t秒代数式表示）；②当t=秒时，△PEC与△QFC【变式5-1】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8 cm,BC=12 cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1 cm/s和3 cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F【变式5-2】（23-24八年级·四川德阳·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P以每秒1个单位的速度按B−A−C的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C−A−B的路径运动，在运动过程中过点P作PF⊥l于点F，点Q作QG⊥l于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动t秒时△PFA≌△AGQ，则t的值是．【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．【题型6几何图形最值问题】【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为．【变式6-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°,AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为．【变式6-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∠BCD=15°，点P为射线CD上的动点，当PA−PB为最大值时，∠PAC的度数为°．【题型7构造等腰三角形求值】【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，∠APB=150°，∠CAP=22°，则∠APC的度数为°．【变式7-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，则∠ACD=°．【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，AD平分∠BAC，3∠ACB−∠ABC=360°，BE⊥AD交AD的延长线于点E，AB=16，BE=4.5，则AC=．【变式7-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，AE=2EF，AB=20，则AF=．【题型8等腰三角形的存在性问题】【例8】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则满足条件的∠B的度数为．【变式8-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A'B'C'，∠ABC=90°，∠A'=27°（0°<∠ABA'≤54°），A'C'与AC

【变式8-2】（23-24八年级·河南鹤壁·期中）如图，在长方形ABCD的对角线AC上有一动点E，连接DE，过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，∠ACB=30°，当△EFC为等腰三角形时，∠EDC的度数是．【变式8-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．△DFG为等腰三角形时，∠BAD=．【题型9与整式乘除有关的化简求值】【例9】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）如果整数x，y，z满足158x⋅169【变式9-1】（23-24八年级·四川成都·期中）若x2−5x+2=0，则2x【变式9-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则m+nmn=【变式9-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）已知a，b，x，y满足关系式ax+by=7，ay−bx=5，则a2+b【题型10利用整式乘法解决图形面积问题】【例10】（23-24八年级·江苏连云港·期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1−S3=2

【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为．【变式10-2】（23-24八年级·贵州六盘水·期中）有6张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,b满足的数量关系是．【变式10-3】（23-24八年级·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1=6S【题型11利用因式分解解决最值问题】【例11】（23-24八年级·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足a+b+c=10，S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ab)≥2019，则S的最小值是．【变式11-1】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）已知等式x+ax+b+cx−7=x−3x+1对一切x都成立，a、b、c为整数．且【变式11-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）若2x2+7xy−15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、【变式11-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且a+b+c=342，a−bc=331．abc的最大值为M，最小值为N，则M+N=．【题型12利用因式分解解决整除问题】【例12】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个三位正整数n，如果n满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：n1=843，8+4+3=15，∴843是“月圆数”；n2=133，…1+3+3=7≠15，∴133不是“月圆数”．若m，p都是“月圆数”，m=300+10a+b，p=100a+60+c(a，b，c均为1−9的整数），规定F(m,p)=m+p3，若s是m去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是p去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s与【变式12-1】（23-24八年级·四川成都·期末）已知312−1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为【变式12-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”m的最大值为．【变式12-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成M×NM≥N，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成A=M×N的过程，称为“完美分解”．例如，因为525=21×25（1）最小的“如意数”是；（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即A=M×N，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若PQ能被11整除，则A的值为【题型13分式的化简求值】【例13】（23-24八年级·江苏淮安·期中）当正整数x=时，分式x2【变式13-1】（23-24八年级·浙江台州·开学考试）已知a+b=m，a−b=n，则na+m2b−nb+m2【变式13-2】（23-24八年级·浙江宁波·自主招生）记Axy=1−x21−【变式13-3】（23-24八年级·浙江宁波·自主招生）已知x，y，z是大于1的正整数，且x+1yy+1【题型14由分式方程的解求字母的值】【例14】（23-24·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组3x−2−2≤x,7x−a>3有且仅有4个整数解，关于y的分式方程y−ay−2−【变式14-1】（23-24八年级·福建福州·期末）若关于x的分式方程x−a2x−4=13【变式14-2】（23-24八年级·四川绵阳·自主招生）已知方程x+1x=c+1c（c是常数，c≠0）的解是c或1c，那么方程x+1【变式14-3】（23-24八年级·上海浦东新·阶段练习）若关于x的方程x−ba=2−x−ab有唯一解，则【题型15分式方程的实际应用】【例15】（23-24八年级·重庆江北·期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%【变式15-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒．【变式15-2】（23-24八年级·山东济宁·期末）某中学假期后勤中的一项工作是请30名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．【变式15-3】（23-24八年级·重庆大足·期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为2:4:4，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的20%分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为3:5．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中20%分给了语文，余下的80%分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为1:4．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为5:6

期末复习之填空压轴题十五大题型总结【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由三角形的中线求面积】 1【题型2由三角形的内(外)角和求角度】 6【题型3由全等三角形的判定与性质求线段长度】 13【题型4由全等三角形的判定与性质求角度】 20【题型5与全等三角形有关的动点问题】 26【题型6几何图形最值问题】 33【题型7构造等腰三角形求值】 38【题型8等腰三角形的存在性问题】 44【题型9与整式乘除有关的化简求值】 52【题型10利用整式乘法解决图形面积问题】 54【题型11利用因式分解解决最值问题】 58【题型12利用因式分解解决整除问题】 61【题型13分式的化简求值】 64【题型14由分式方程的解求字母的值】 68【题型15分式方程的实际应用】 71【题型1由三角形的中线求面积】【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形ABC，点D在BC上且CD=2BD，点E在AB上且3AE=2BE，AD与CE交点F，点G为CF的中点，连接BG，BF，若△BFG和△AEF的面积的和为19，则四边形BEFD的面积=．【答案】16【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设S△AEF=x，S△BFG=y．可可得出x+y=19，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出S△AFBS△AFC=1【详解】解：设S△AEF=x∴x+y=19，∵3AE=2BE，即AE∴S△AEF∴S△AFB∵点G为CF的中点，∴S△BFG∴S△BCF∵CD=2BD，∴S△BDF∴S四边形设点A，B到FC的高为：ℎA，ℎS△AFC∴S△AFC∵BDCD同理可得：S△AFB∴S△AFC∴4y=15x∴x+y=19解得：y=15x=4S四边形BEFD故答案为：16．【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若BDCD=ab，则S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如图2，BE是△ABC的中线，点F在边AB【答案】m2/【分析】本题主要考查三角形中线、三角形的面积，当两个三角形同底时，面积比等于高之比；当两个三角形同高时，面积比等于底之比．设SΔAOE=SΔCOE=x，则SΔAOC=2x，由AFBF=m可得SΔAOFSΔBOF【详解】解：如图，连接AO，∵BE是△ABC的中线，∴SΔABE设SΔ∴S∵AFBF∴SΔAOFS设SΔBOF=y∴SSΔ∵S∴2x+ny=my+∴S∴OEOB【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD的边DA和CB延长相交于E，H和G分别是BD和AC的中点，已知四边形ABCD的面积为33，则△EHG的面积为【答案】334/8.25/【分析】本题考查掌握三角形面积的求法、三角形中位线的性质．连接AH,CH,BG，设S△AHG=S△HGC=m,S△ABG=S【详解】解：连接AH,CH,BG，如图：设S∵∴∴∴m+n=33设S△ABE=x，则∴S故答案为：334【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为

【答案】33【分析】如图:连接AH，设S△CFH=a，S△ADH=b，根据“等底同高的三角形面积相等”可得S△ABF=23S△ABC=60、S△ACH=3a、S△AFH=S△ACH−S【详解】解：如图:连接AH，设S△CFH=a，

E、F分别是边AC上的三等分点，△ABC的面积为90，∴AE=EF=CF=13AC，S△ABF∵D是边AB的中点，∴S△ADC=∵S△ADC=S△ACH+S∴3a+b=452b+2a=60，解得：a=152如图:连接AG，设S△ADG=c，

∴S△ABG=2c∵S△ADC=S△ADG+S∴c+3d=452c+d=30，解得：c=9∴S△ADGE.SEFHG故答案为332【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键．【题型2由三角形的内(外)角和求角度】【例2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，AB∥CD，∠BEH=1n∠GEH，∠DFK=1n∠GFK，【答案】2.6【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．设EG和PQ交于点O，连接OF，延长EG交CD于T，设∠BEH=α，∠DFK=β，则∠GEH=nα，∠GFK=nβ，∠BEG=(n+1)α，∠DFG=(n+1)β，∠GFT=180°−(n+1)β，根据AB∥CD得∠GTF=∠BEG=(n+1)α，由三角形内角和定理得(n+1)(β−α)=90°①，n(β−α)=65°②，由①②即可求出n的值．【详解】解：设EG和PQ交于点O，连接OF，延长EG交CD于T，如图所示：设∠BEH=α，∠DFK=β，∵∠BEH=1n∠GEH∴∠GEH=nα，∠GFK=nβ，∴∠BEG=∠BEH+∠GEH=(n+1)α，∠DFG=∠DFK+∠GFK=(n+1)β，∴∠GFT=180°−∠DFG=180°−(n+1)β，∵AB∥CD，∴∠GTF=∠BEG=(n+1)α，∵∠EGF=90°，∴∠FGT=180°−∠EGF=90°，在△GFT中，∠GTF+∠GFT+∠FGT=180°，∴(n+1)α+180°−(n+1)β+90°=180°，∴(n+1)(β−α)=90°①，∵∠FPQ−∠EQP=25°，∴∠FPQ=25°+∠EQP，在△OEQ中，∠GEH+∠EQP+∠EOQ=180°，∴∠EOQ=180°−∠GEH−∠EQP=180°−nα−∠EQP，在△OPF中，∠POF+∠PFO+∠FPQ=180°，在△OGF中，∠GOF+∠GFO+∠EGF=180°，∴∠POF+∠PFO+∠FPQ+∠GOF+∠GFO+∠EGF=360°，即∠POG+∠GFK+∠EGF+∠FPQ=360°，∴∠POG+nβ+90°+25°+∠EQP=360°，即∠POG=245°−nβ−∠EQP，∵∠EOQ=∠POG，∴180°−nα−∠EQP=245°−nβ−∠EQP，∴n(β−α)=65°②，①÷②得：(n+1):n=90:65，∴18n=13(n+1)．解得：n=2.6．故答案为：2.6．【变式2-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）已知（如图）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．CE与AD，BP分别相交于点F，Q．CG平分∠BCP，∠AFE=∠P+30°，∠D=3∠DCP【答案】70°【分析】利用平行线的性质证明∠D=∠ABC，即有∠D=∠ABC=3∠DCP，设∠DCP=x，即∠D=∠ABC=3x，根据角平分线的定义可得∠ECP=∠DCP=x，∠PBC=12∠ABC=32x，根据∠ABC+∠BCD=180°，∠ABC+∠BCE+∠ECP+∠DCP=180°，可得∠BCE=180°−5x，进而有∠BCP=∠BCE+∠ECP=180°−4x，即可得【详解】∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∵AD∥∴∠D+∠BCD=180°，∴∠D=∠ABC，∵∠D=3∠DCP，∴∠D=∠ABC=3∠DCP，设∠DCP=x，即∠D=∠ABC=3x，∵CP平分∠ECD，BP平分∠ABC，∴∠ECP=∠DCP=x，∠PBC=1∵∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠BCE+∠ECP+∠DCP=180°，∴3x+∠BCE+x+x=180°，∴∠BCE=180°−5x，∴∠BCP=∠BCE+∠ECP=180°−4x，∴∠P=180∵AD∥∴∠AFE=∠BCE=180°−5x，∵∠AFE=∠P+30°，∴180°−5x=∠P+30°，即∠P=150°−5x，∴∠P=150°−5x=∵∠BQC=∠P+∠ECP=∠P+x，∴∠BQC=∠P+∠ECP=5故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，耐心仔细地理清图中各角度之间的关系是解答本题的关键．【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，在ΔABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E，则∠E=度；分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，则∠AFC=度．【答案】4567.5【分析】①由角平分线的性质可得∠DAP=∠PAC=12∠DAC，∠ACH=∠HCB=12∠ACB，由外角的性质可得出∠DAP与②由角平分线的性质可得：∠EAF=∠FAB=12∠EAB，∠ECF=∠FCB=12【详解】①由角平分线的性质可得：∠DAP=∠PAC=12∠DAC，由外角的性质可得：∠DAC=∠B+∠ACB，∴2∠DAP=90°+2∠ACH，∴∠DAP=45°+∠ACH，∴∠E=180°−(∠EAH+∠EHA)=180°−(∠DAP+∠HAC+∠ACH)=180°−(45°+∠ACH+∠HAC+∠ACH)=180°−(45°+90°)=45°；②由角平分线的性质可得：∠EAF=∠FAB=12∠EAB由三角形的外角的性质可得：∠E+∠EAF=∠F+∠ECF∴45°+∠EAF=∠F+∠ECF，∴∠F=45°+∠EAF−∠ECF，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+2∠ECF，∴∠EAF−∠ECF=22.5°，∴∠F=45°+22.5°=67.5°．故答案为：①45；②67.5【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、外角的性质以及角平分线的性质，根据定理列式并将式子变形求解是解题的关键．【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知AB∥CD，∠BAC=120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC=2∠AMC，当∠PCN=14【答案】22.5°或5°【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解决本题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．根据点N与点A，点P的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可．【详解】解：①当点N在点P的右侧时，设∠PCN=α，∵∠PCN=1∴∠PNC=4α，∴∠ANC=4α=2∠AMC，∴∠AMC=2α，∵AB∥∴∠AMC=∠MCD=2α，∵∠ANC=∠AMC+∠NCM，∴∠AMC=∠NCM=2α，∴∠PCM=∠PCN+∠NCM=3α，∵CP平分∠ACM，∴∠PCM=∠ACP=3α，∴∠ACD=2∠ACP+∠MCD=6α+2α=8α，∵AB∥∴∠ACD=180°−120°=60°，∴8α=60°，∴α=15∴∠PCM=3α=22.5°；②当点N在点A的左侧时，设∠PCN=α,∠ACP=β，∵CP平分∠ACM，∴∠PCM=∠ACP=β，∴∠ACN=∠PCN−∠ACP=α−β，∴∠PNC=4∠PCN=4α,∠NMC=2α，∵AB∥∴∠NMC=∠MCD=2α,∠ACD=180°−∠BAC=60°，∴∠MCD=∠ACD−∠ACP=60°−2β，∴2α=60°−2β，即：α=30°−β，∵∠CAB=∠PNC+∠ACN，∴120°=4α+α−β，∴5α−β=120°，将α=30°−β代入上式解得：β=5°，∴∠PCM=β=5°;③当点N在A,P之间时，设∠PCN=α,∠ACN=β，则∠ACP=α+β，∵CP平分∠ACM，∴∠ACP=∠PCM=α+β,∠ACM=2(α+β)，∴∠MCD=60°−∠ACM=60°−2(α+β)，由已知得：∠PNC=4∠PCN=4α，∴∠ANC=180°−∠PNC=180°−4α，∵∠ANC=2∠NMC，∴∠NMC=90°−2α，∵∠NMC=∠MCD，∴90°−2α=60°−2(α+β)，∴β=−15°，不合题意，此种情况不存在．综上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°．故答案为：22.5°或5°．【题型3由全等三角形的判定与性质求线段长度】【例3】（23-24八年级·山东淄博·期中）在钝角△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为．【答案】a−b或b−a或b+a【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，可以证明△BOD≌△ACDAAS，得到AD=BD，然后再分别根据不同点为钝角顶点画出图形，结合图形求出AD=BD【详解】解：当B为钝角顶点时，图形如下：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADC=∠BDO=∠CEB=90°，∴∠O+∠DBO=∠CBE+∠C=90°，∵∠DBO=∠CBE，∴∠O=∠C，∵BO=AC，∴△BOD≌△ACDAAS∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=CD−CB=b−a；当C为钝角顶点时，同理可得△BOD≌△ACDAAS∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=CD+CB=b+a；当A为钝角顶点时，同理可得△BOD≌△ACDAAS∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=CB−CD=a−b；故答案为：a−b或b−a或b+a．【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=12∠BAD【答案】EF=BE+DF【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长FD至点H，使得DH=BE，连接AH，可证△ABE≌△ADHSAS得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，进而由∠EAF=12∠BAD可得∠HAF=∠EAF，即可证得△AEF≌△AHF(SAS)，得到【详解】解：如图，延长FD至点H，使得DH=BE，连接AH，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADH=180°，∴∠B=∠ADH，在△ABE和△ADH中，BE=DH∠B=∠ADH∴△ABE≌△ADHSAS∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∠EAF=1∴∠BAE+∠FAD=∠BAD−∠EAF=1即∠HAD+∠DAF=∠HAF=1∴∠HAF=∠EAF，在△AEF和△AHF中，AE=AH∠EAF=∠HAF∴△AEF≌△AHF(SAS∴HF=EF=HD+DF，∵HF=HD+DF，∴EF=HD+DF又∵DH=BE，∴EF=BE+DF．【变式3-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为射线CB上的动点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC所在的直线交于点P，若CD=3BD，则PC与AC的比值为【答案】14或【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题．作EH⊥AC，交AC(或AC的延长线)于H，利用AAS证明△ACD≌△EHA，得AC=EH，DC=AH，再证明△CBP≌△HEPAAS，得PC=HP，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段CB【详解】解：①当点D在线段CB的延长线上时，作EH⊥AC，交AC的延长线于点H，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90∴∠DAC+∠EAH=∠EAH+∠AEH=90°，∴∠DAC=∠AEH，∵∠ACB=∠H=90°，DA=AE∴△ACD≌△EHAAAS∴AC=EH，DC=AH，∵AC=BC，∴BC=EH，∵∠CPB=∠HPE，∠BCP=∠H，∴△CBP≌△HEPAAS∴PC=HP，∵CD=3BD，设BD=x，则CD=3x，∴AC=BC=2x，CD=AH=3x，∴CH=AH−AC=x，∴CP=∴PCAC当点D在CB上时，作EH⊥AC，交AC于点H，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90∴∠DAC+∠EAH=∠EAH+∠AEH=90°，∴∠DAC=∠AEH，∵∠ACB=∠EHP=90°，DA=AE∴△ACD≌△EHAAAS∴AC=EH，DC=AH，∵AC=BC，∴BC=EH，∵∠CPB=∠HPE，∠BCP=∠EHP，∴△CBP≌△HEPAAS∴PC=HP，设BD=x，则CD=3x，∴AC=BC=4x，CD=AH=3x，∴CH=AH−AC=x，∴CP=∴PCAC故答案为：14或1【变式3-3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD、BE相交于P，AP=3PD，BD=3，则AE=．【答案】9【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段AB上截取AM=AE，BN=BD=3，连接PM，PN，过M作MH⊥AP于H，MJ⊥PN于J，利用双角平分线证明△AEP≌△AMP(SAS)，△DBP≌△NBP(SAS)，∠APM=∠MPN=∠DPB=∠BPN=45°，利用角平分线的性质证明MH=MJ，进而求出S△APMS△PMN【详解】解：在线段AB上截取AM=AE，BN=BD=3，连接PM，PN，过M作MH⊥AP于H，MJ⊥PN于J，如图；∵AD平分∠BAC，∴∠PAE=∠PAM=1∵EA=MA，AP=AP，∴△AEP≌△AMP(SAS∴∠APE=∠APM，PE=PM，∵BE平分∠ABC，∴∠DBP=∠NBP=1∵BN=BD，BP=BP，∴△DBP≌△NBP(SAS∴∠DPB=∠BPN，PD=PN，∵∠C=90°，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=1∴∠APM=∠MPN=∠DPB=∠BPN=45°，∵MH⊥PA，MJ⊥PN，∴MH=MJ，又∵AP=3PD，∴S△APMS∴AM=3MN，S△APM=3∵△DBP≌△NBP，∴S∴3S∴S∴BN=2MN=3，∴MN=3∴AE=AM=3MN=9故答案为：92【题型4由全等三角形的判定与性质求角度】【例4】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度数为【答案】29°【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=54°，再根据∠ADC=180°−∠DAC−∠DCA即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用．【详解】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中，∠ABD=∠CBDBD=BD∴△BDE≌△BDF(ASA)∴DE=DF，又∵∠BAD+∠CAD=180°∠BAD+∠EAD=180°∴∠CAD=∠EAD，∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，在Rt△ADE与RtAD=ADDE=DG∴△ADE≌△ADG(HL)∴DE=DG，∴DG=DF．在Rt△CDG与RtCD=CDDG=DF∴∴CD为∠ACF的平分线∠ACB=72°∴∠DCA=54°，在△ABC中，∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，∴∠BAC=180°−72°−50°=58°，∴∠DAC=180°−58°∴∠ADC=180°−∠DAC−∠DCA=180°−61°−54°=65°，∴∠BDC=180°−25°−54°−72°=29°．故答案为：29°．【变式4-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O为△ABC内一点，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，则∠OAC=.

【答案】65°/65度【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长BO交∠BAC的角平分线于点P，连结CP，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出∠ABC=∠ACB=55°，∠BAP=∠CAP=35°，进而得出∠OBC=30°，利用SAS证明△APB≌△ACP，根据全等三角形的性质求出∠ABP=∠ACP=25°，∠APB=∠APC，根据角的和差及三角形内角和定理求出∠BPC=120°，结合平角定义求出∠APC=120°=∠BPC，利用ASA证明△APC≌△OPC，根据全等三角形的性质得出AP=OP，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．【详解】如图，延长BO交∠BAC的角平分线于点P，连接CP．

∵AP平分∠BAC，∠BAC=70°，∴∠BAP=∠CAP=35°，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=55°，∵∠ABO=25°，∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=30°，在△APB和△ACP中，AB=AC∠BAP=∠CAP∴△APB≌△ACP(SAS∴∠ABP=∠ACP=25°，∠APB=∠APC，∴∠BCP=∠ACB−∠ACP=30°，∴∠BPC=180°−∠PBC−∠BCP=120°，∴∠APB+∠APC=360°−120°=240°，∴∠APB=∠APC=120°=∠BPC，∵∠OCB=5°，∴∠OCP=∠BCP−∠OCB=25°=∠ACP，在△APC和△OPC中，∠ACP=∠OCPCP=CP∴△APC≌△OPC(ASA∴AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=1∴∠OAC=∠OAP+∠CAP=65°，故答案为：65°．【变式4-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，BD与CE交于点F，连接AF，则∠AFB的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，根据手拉手模型证明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后证明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，进一步推得∠MAN=∠DAE=40°，再证明【详解】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌∴∠FAM=∠FAN=1∴∠AFB=180°−90°−∠FAM=70°．故答案为：70°．【变式4-3】（23-24八年级·河北邢台·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,AD与BC交于点P（不与点B,C重合），点B,E在AD异侧，∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I.

（1）PD的最大值为；（2）当∠APC=75∘时，∠CAE的度数为（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为.【答案】345°105°<∠AIC<150°【分析】（1）当AD⊥BC时，AP取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解；（2）证明△ABC≌△ADESAS（3）由三角形内角和定理求出∠BCA，根据角平分线的概念得到∠IAC=45°−12α，【详解】解：（1）∵AD=AP+PD=6，当AP取得最小值时，PD取得最大值，即AD⊥BC时，AP取得最小值，∵AD⊥BC，∴△ABP为直角三角形，∠APB=90°，∵∠B=30°，∴AP=1∴PD=AD−AP=3；（2）在△ABC和△ADE中，∵AB=AD∴△ABC≌△ADE∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAD=∠BAC−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE；∵∠APC=∠B+∠BAD，∴∠CAE=∠BAD=∠APC−∠B=75°−30°=45°；（3）∵AB⊥AC∴∠BAC=90°设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∵∠B=30°，∴∠BCA=180°−30°−90°=60°，∵AI，CI分别平分∴∠IAC=12∠PAC=∴∠AIC=180°−=180°−=105°+12∵0°<α<90°，∴105°<∠AIC<150°.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是熟记三角形的角平分线的性质．【题型5与全等三角形有关的动点问题】【例5】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P①当点P在AC上时，PC=（用含t秒代数式表示）；②当t=秒时，△PEC与△QFC【答案】6−tcm2或143【分析】①根据题意可得AP=tcm，再由PC=AC−AP②分三种情况：Q在BC上，点P在AC上；点P与点Q重合；点Q与A重合，分别画出图形解答即可；本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】解：①由题意得，AP=tcm当点P在AC上时，PC=AC−AP=6−t故答案为：6−tcm②由题意得，BQ=2tcm如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l，则PC=6−tcm，∵∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，∴∠CPE+∠PCE=∠PCE+∠FCQ=90°，∴∠CPE=∠FCQ，此时只能是△PEC≌△CFQ，则PC=CQ，∴6−t=8−2t，解得t=2；②如图2，当点P与点Q重合时，则PC=6−tcm，此时只能是△PEC≌△QFC，则PC=CQ，∴6−t=2t−8，解得t=14③如图3，当点Q与A重合时，则PC=t−6cm，CQ=6cm∴∠CQF=∠PCE，此时只能是△PEC≌CFQ，则PC=CQ，∴t−6=6，解得t=12；综上所述，当t=2秒或143秒或12秒时，△PEC与△QFC故答案为：2或143或12【变式5-1】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8 cm,BC=12 cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和点Q分别以1 cm/s和3 cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F【答案】2或5或16【分析】题主要考查了全等三角形的判定、分类讨论的思想等知识点，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直的定义及直角三角形的性质易证∠PEC=∠CFQ，∠PCE=∠CQF．只需PC=QC，就可得到△PEC与△CFQ全等，然后只需根据点P和点【详解】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠PEC=∠CFQ=90°，∴∠QCF+∠CQF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠PCE+∠QCF=90°，∴∠PCE=∠CQF，①当0≤t<4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图∶此时有AP=tcm当PC=QC即t−8=3t−12，解得t=2；②当4≤t<8时，点P在AC上，点Q在AC上，如图，当PC=QC，即8−t=3t−12，解得t=5；③当点Q停在点A处，点P在BC上，如图，当PC=QC=8，即t−8=8，解得t=16；综上所述：当t等于2或5或16时，△PEC与△QFC故答案为：2或5或16．【变式5-2】（23-24八年级·四川德阳·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P以每秒1个单位的速度按B−A−C的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C−A−B的路径运动，在运动过程中过点P作PF⊥l于点F，点Q作QG⊥l于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动t秒时△PFA≌△AGQ，则t的值是．【答案】6或50【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在BA上，点Q在AC上，②当点P在AC上，点Q在BA上，③点P与Q重合在BA上，根据题意结合全等三角形的性质得出PA=AQ，再分别用t表示出PA和AQ的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．【详解】（1）当P点在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB=t，CQ=2t，AP=22−t，AQ=28−2t，∵△PFA≌△AGQ，∴PA=AQ

，即22−t=28−2t，解得：t=6，即P点运动6秒；（2）当点P在AC上，点Q在BA上，如图2，

则AP=t−22，AQ=2t−28，∵△PFA≌△AGQ，∴PA=AQ，即t−22=2t−28，解得t=6，此时不符合题意；（3）点P与Q重合在BA上，如图3，

则AP=22−t，AQ=2t−28，∴AP=AQ，即22−t=2t−28，解得：t=50∴综上可知：t=6或t=50故答案为：6或503【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．【答案】1或72【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤83CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．∴CD=CE，∴8-3t=6-t，∴t=1s，当E在AC上，D在AC上，即83＜t＜14CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，∴3t-8=6-t，∴t=72s当E到达A，D在BC上，即143≤tCE=6cm，CD=（t-6）cm，∴6=t-6，∴t=12s，故答案为：1或72【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．【题型6几何图形最值问题】【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为．【答案】6【分析】作出点C关于AB的对称点F，连接FD，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，证明Rt△ACD≌Rt△FBD，得到【详解】如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，∴BD=CD,∠CAB=∠CBA=45°；作点C关于AB的对称点F，连接FD，交AB于点E，当点P与点E重合时，PC+PD取得最小值，且最小值为DF，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，∴FB=AC,∠FBD=90°；∴AC=FB∠ACD=∠FBD=90°∴Rt∴AD=FD，∵AD=6，∴FD=6，∴PC+PD的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°,AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值为．【答案】2【分析】取AB的中点为点Q，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值．【详解】解：取AB的中点为点Q，连接DQ，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=8，O为AC中点，∴AQ=AO=4，在△AQD和△AOE中，AQ=AO∠QAD=∠OAE∴△AQD≌△AOE(SAS)，∴QD=OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°∴∠B=30°，∵QD⊥BC，∴QD=1∴线段OE的最小值是为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、30°所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题．【变式6-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是【答案】6【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质2，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键．作A关于BC的对称点A'，连接A'B，A'P，A'D，由∠ACB=90°，∠ABC=30°可得∠CAB=60°，AB=2AC，根据轴对称的性质可得A'C=AC，BC是AA'的垂直平分线，进而可得AB=AA'，于是证得△A【详解】解：如图，作A关于BC的对称点A'，连接A'B，A∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=90°−∠ABC=90°−30°=60°，AB=2AC，∵A'是A关于∴根据轴对称的性质可知，A'C=AC，BC是∴AA∴AB=AA∴△AA∴AA∵D为AB的中点，∴A∵S△AA∴A∵BC是AA∴AP=A∴AP+DP=A∵垂线段最短，∴A即：AP+DP≥6，∴AP+DP的最小值是6，故答案为：6．【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∠BCD=15°，点P为射线CD上的动点，当PA−PB为最大值时，∠PAC的度数为°．【答案】60【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于P，则此时点P就是使PA−PB的值最大的点，连接A'C【详解】如图，作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD∴PA=PA∴PA−PB=根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使PA−PB的值最大的点，连接A'∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，∵∠BCD=15°，∴∠ACD=75°，∴∠CAA∵AC=A∴A'C=BC，∴∠ACA∵∠ACB=90°，∴∠A∴△A∴∠PA∴∠PA∵PA=PA∴∠PAA∴∠PAC=∠PAA故答案为：60．【题型7构造等腰三角形求值】【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，∠APB=150°，∠CAP=22°，则∠APC的度数为°．【答案】142【分析】延长AC到Q，使AQ=AB，连接PQ、BQ，PQ交BC于点E，先求出∠CAP=∠BAP=22°，进而可依据“SAS”判定△QAP≌△BAP，得到∠APQ=∠APB=150°，∠PQA=∠PBA=8°，PB=PQ，进而得∠BPQ=60°，可得△PBQ是等边三角形，从而得∠QBC=∠PBC=30°，再根据等边三角形的性质得AC是线段PQ的垂直平分线，得到PC=QC，进而得∠CPQ=∠PQA=8°，即得∠BPC=68°，据此可得∠APC的度数．【详解】解：延长AC到Q，使AQ=AB，连接PQ、BQ，PQ交BC于点E，如图所示，∵∠PBA=8°，∠APB=150°，∴∠BAP=180°−∠PBA+∠APB∵∠CAP=22°，∴∠CAP=∠BAP=22°，在△QAP和△BAP中，AQ=AB∠CAP=∠BAP∴△QAP≌△BAPSAS∴∠APQ=∠APB=150°，∠PQA=∠PBA=8°，PB=PQ，∴∠BPQ=360°−∠APQ+∠APB∴△PBQ是等边三角形，∴∠PBQ=60°，∵∠PBC=30°，∴∠QBC=∠PBQ−∠PBC=30°，∴∠QBC=∠PBC=30°，∴BC是∠PBQ的平分线，∴BC⊥PQ，PE=QE，∴AC是线段PQ的垂直平分线，∴PC=QC，∴∠CPQ=∠PQA=8°，∴∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=68°，∴∠APC=360°−∠APB+∠BPC故答案为：142．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．【变式7-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，则∠ACD=°．【答案】30【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质；在四边形ABCD外取一点P，使∠PAD=12°且AP=AC，连接PB、PD，证明△ADP≌△ADC，△PDA≌△PDB，△PAB是等边三角形，进而即可求解．【详解】解：在四边形ABCD外取一点P，使∠PAD=12°且AP=AC，连接PB、PD，在△ADP和△ADC中，∠PAD=∠CAD=12°，AP=AC，∴△ADP≌△ADC，∴∠APD=∠ACD，在△ABC中，∠CAB=36°，∴∠ACB=72°，∴AC=AB，∴AP=AB，∴∠PAB=∠PAD+∠DAC+CAB=12°+12°+36°=60°，∴△PAB是等边三角形，∠APB=60°，PA=PB，在△DAB中，∠DAB=∠DAC+∠CAB=12°+36°=48°=∠DBA，∴DA=DB，∵PA=PB，∴△PDA≌△PDB，∴∠APD=∠BPD=12∠APB=30°故答案为：30．【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，AD平分∠BAC，3∠ACB−∠ABC=360°，BE⊥AD交AD的延长线于点E，AB=16，BE=4.5，则AC=．【答案】7【分析】延长AC，BE相交于点M，由角平分线的定义可得∠MAE=∠BAE，设∠MAE=∠BAE=x，∠ABC=y，则由三角形的内角和定理及已知条件3∠ACB−∠ABC=360°可推出y=45°−1.5x，然后可证得∠MCB=∠MBC，于是可得MC=MB，进而可证得△MAE≌△BAEASA，则AM=AB=16，ME=BE=4.5，于是可求得MC【详解】解：如图，延长AC，BE相交于点M，∵BE⊥AD，∴BE⊥AE，∴∠AEM=∠AEB=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠MAE=∠BAE，设∠MAE=∠BAE=x，∠ABC=y，则∠ACB=180°−∠MAE−∠BAE−∠ABC=180°−2x−y，∵3∠ACB−∠ABC=360°，∴3180°−2x−y整理，得：y=45°−1.5x，∵∠MCB=∠MAB+∠ABC=∠MAE+∠BAE+∠ABC=x+x+y=2x+45°−1.5x=45°+0.5x，∠MBC=∠ABE−∠ABC=90°−∠BAE−∠ABC=90°−x−y，=90°−x−=45°+0.5x，∴∠MCB=∠MBC，∴MC=MB，在△MAE和△BAE中，∠MAE=∠BAEAE=AE∴△MAE≌∴AM=AB=16，ME=BE=4.5，∵MC=MB=ME+BE=4.5+4.5=9，∴AC=AM−MC=16−9=7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定（等角对等边），全等三角形的判定与性质（ASA）等知识点，合理添加辅助线，并证明∠MCB=∠MBC是解题的关键．【变式7-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，AE=2EF，AB=20，则AF=．【答案】12【分析】延长AF、BC，交于点H，先证明△ABH为等腰直角三角形，再判定△ABG≌△HACASA，然后在等腰直角△ABH中得AB=AH=20，设EF=x，则AE=2x，判定△AGE≌△HCFAAS，从而FH=AE=2x，解得x的值，最后根据【详解】解：延长AF、BC，交于点H，如图：∵AF⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BAH=90°，∠AHB=90°−45°=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH=AB=20，∵∠BAH=90°，∠BAG=45°，∠AHB=45°，∴∠GAE=∠BAG=∠AHB=45°，∵AC⊥BD，∴∠ABG+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠HAC=∠BAH=90°，∴∠ABG=∠HAC，在△ABG和△HAC中，∠ABG=∠HACAB=AH∴△ABG≌△HACASA∴AG=HC，∵AE=2EF，∴设EF=x，则AE=2x，∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠AEG=∠DEF,∠DFE=∠HFC，∴∠AEG=∠HFC，∵∠AHB=∠GAE=45°，∴∠AGE=135°−∠HFC=∠FCH，在△AGE和△HCF中，∠AEG=∠HFC∠AGE=∠FCH∴△AGE≌△HCFAAS∴FH=AE=2x，∴AH=AE+EF+FH=5x=20，解得：x=4，∴AF=AE+EF=3x=12，故答案为12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型8等腰三角形的存在性问题】【例8】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则满足条件的∠B的度数为．【答案】70°或40°或100°或10°【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当AD=CD，BD=CD时，当AD=CD，BD=BC时，当AD=CD，CD=BC时，当AC=AD，BD=CD时，当AC=CD，BD=CD时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：当AD=CD，BD=CD时，如图所示：

∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠BAC=20°，∴∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°，∵BD=CD，∴∠DCB=∠B=1即此时∠B=70°．当AD=CD，BD=BC时，如图所示：∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠BAC=20°，∴∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=40°，∴∠B=180°−40°−40°=100°，即此时∠B=100°．当AD=CD，CD=BC时，如图所示：∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠BAC=20°，∴∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°，∵CD=BC，∴∠B=∠BDC=40°，即此时∠B=40°．当AC=AD，BD=CD时，如图所示：∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠ADC=1∵BD=CD，∴∠B=∠BCD，∵∠ADC=∠B+∠BCD=80°，∴∠B=∠BCD=1即此时∠B=40°．当AC=CD，BD=CD时，如图所示：∵∠BAC=20°，∴∠CDA=∠BAC=20°，∵BD=CD，∴∠B=∠BCD，∵∠CDA=∠B+∠BCD=20°，∴∠B=∠BCD=1即此时∠B=10°．综上分析可知：∠B的度数为：70°或40°或100°或10°．故答案为：70°或40°或100°或10°．【变式8-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A'B'C'，∠ABC=90°，∠A'=27°（0°<∠ABA'≤54°），A'C'与AC

【答案】24°或42°【分析】根据0°<∠ABA'≤54°，分两种情况讨论：当EF=FB时，当BE=BF时，设∠FEB=∠FBE=α，过点B作BP⊥AC,BQ⊥A'C'【详解】解：如图所示，当EF=FB时，△BEF是等腰三角形，

设∠FEB=∠FBE=α，过点B作BP⊥AC,BQ⊥A'C∵△ABC≌△A∴对应边上的高相等，即BP=BQ，∴B在∠PFQ的角平分线线上，∵∠PFB是△ABF的外角，∴∠PFB=∠A+∠FBE=27°+α∴∠QFB=27°+α∵∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°∴27°+α+2α=180°解得：α=51°∴∠AB如图所示，当BE=BF时，△BEF是等腰三角形，

设∠FEB=∠BFE=α同理可得∠PFB=∠QFB=α,∴∠FBE=∠PFB−∠A=α−27°∵∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°∴α+α+α−27°=180°解得：α=69°∴∠ABA由于0°<∠ABA'≤54°综上所述，∠ABA'的度数为，24°或故答案为：24°或42°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式8-2】（23-24八年级·河南鹤壁·期中）如图，在长方形ABCD的对角线AC上有一动点E，