第10讲-5-2三维变换

2025/1/151第三节三维几何及建模变换三维图形的几何变换及其矩阵表示平移变换旋转变换缩放变换反射变换错切变换物体在不同坐标系之间的建模变换2025/1/152三维代数空间定义基底：任意矢量：定理:三维空间中任意矢量可唯一地表示为其基底的线性组合2025/1/153三维几何变换的代数表示2025/1/154三维几何变换的矩阵表达式引入齐次坐标后可表示为：2025/1/155平移变换（1）2025/1/156平移变换（2）记为：其中三维平移变换矩阵：2025/1/157平移变换（3）点的平移图形的平移2025/1/158缩放变换（1）相对于原点进行的缩放变换矩阵记为：2025/1/159缩放变换（2）相对于任意点的缩放设缩放参考点为：则分解为：平移、关于坐标原点的缩放以及逆平移变换2025/1/1510缩放变换（3）即：2025/1/1511缩放变换（4）2025/1/1512旋转变换（1）由旋转轴和旋转角度确定二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转记为：XYZ2025/1/1513以X为轴的旋转变换（1）可视作[x,y,z]坐标系变换为[y,z,x]坐标系,变换矩阵为：2025/1/1514以X为轴的旋转变换（2）记为：YZX2025/1/1515以Y为轴的旋转变换（1）可视作[x,y,z]坐标系变换为[z,x,y]坐标系，变换矩阵为：2025/1/1516以Y为轴的旋转变换（2）记为：注：相反角度的旋转实现其逆变换ZXY2025/1/1517绕任意轴的旋转变换（1）旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现：经复合变换使旋转轴与坐标轴重合绕指定轴进行旋转变换还原坐标系YZXP1P22025/1/1518绕任意轴的旋转变换（2）（1）平移使P1与坐标原点重合不妨设P1P2为方向矢量，P2点为(a,b,c)2025/1/1519XYZOP1P2X´Y´Z´2025/1/1520XYZX´Y´Z´O绕任意轴的旋转变换(3)（2）绕X轴旋转使指定旋转轴落在XZ面上2025/1/1521XYZX´Y´Z´O

2025/1/1522XYZX´Y´Z´O

2025/1/1523XYZX´Y´Z´O

2025/1/1524XYZX´Y´Z´O

2025/1/1525XYZX´Y´Z´O

2025/1/1526XYZX´Y´Z´O

2025/1/1527XYZX´Y´Z´O

此时P2点为(a,0,d)P22025/1/1528绕任意轴的旋转变换（4）（3）绕Y轴旋转使指定旋转轴与Z轴重合XYZX´Y´Z´O

2025/1/1529XYZX´Y´Z´O2025/1/1530绕任意轴的旋转变换（5）（4）绕Z轴即指定旋转轴旋转指定角度2025/1/1531绕任意轴的旋转变换（6）（5）坐标系还原上述变换的复合实现绕任意轴的旋转：2025/1/1532对称变换（1）是关于某个对称轴或对称平面进行的关于某个轴进行的反射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换例如：关于Z轴的对称变换矩阵为：考虑：关于任意轴的对称变换2025/1/1533对称变换（2）当反射平面是坐标平面时，等同于进行左、右手坐标系的互换，相应变换矩阵是把第三维坐标值取反例如：关于xy平面的反射变换矩阵为：2025/1/1534对称变换（3）关于任意平面的反射可以分解为平移、旋转（使得指定的反射平面与某坐标平面重合）关于坐标平面的反射逆变换2025/1/1535错切变换依赖轴：对应坐标保持不变方向轴：对应坐标关于依赖轴坐标呈线性变化变换表达式分别是：2025/1/1536建模变换（1）实现两个不同坐标系之间的转换新坐标系定义方式如右图所示：XYZX’Y’Z’2025/1/1537建模变换（2）可由线性代数方法得到建模变换公式：（即：新坐标系的坐标轴在旧坐标系下的表示矩阵的逆矩阵）当坐标系使用不同的缩放时，还需定义缩放补偿。2025/1/1538建模变换的合成方法（3）可由以下变换复合得到同样结果：平移：使两坐标系原点重合绕X轴旋转：使Z’轴落在XOZ面上；绕Y轴旋转：使Z’轴与Z轴重叠；绕Z