2024-2025学年山东省临沭市高三上学期12月月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省临沭市高三上学期12月月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知直线，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．5．在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（

）A． B． C． D．7．已知某正四面体玩具可以在棱长为6的正方体玩具盒（不考虑玩具盒的厚度）内任意转动（绕正四面体外接球的球心转动，且为正方体的中心），则该正四面体玩具的表面积的最大值是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在一个等边三角形中，连接各边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，这样就剩下三个小的三角形，对剩下的小三角形不断重复上述步骤，得到如图所示的一系列三角形图案，我们称这一系列三角形图案是谢尔宾斯基三角形．记经过次操作后，剩余三角形的个数为，数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．10．已知函数，则（

）A．对任意的的最小正周期为B．存在，使得的图象关于某条直线对称C．对任意的是偶函数D．当时，的最小值为11．已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则．13．已知，且，则的最大值是．14．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求、的值；(2)求在上的值域．16．设数列的前项和为，且当时，．(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和．17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，．(1)证明：平面平面．(2)若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．18．已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，是△的内心，求的最大值．19．若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界，是的一个下界．(1)求函数的下界的取值范围；(2)判断是否是下界为的函数，并说明理由；(3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，）

答案1．【正确答案】C【详解】因为，因此，.故选：C.2．【正确答案】D【详解】因为，，因此，.故选：D.3．【正确答案】A【详解】若，则，解得，所以，“”是“”的充要条件.故选：A.4．【正确答案】B【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则，且该函数在上为增函数，，当时，；当时，；当时，；当时，.因为，当时，即时，，则或，此时，；当时，即时，，则或，此时，.综上所述，不等式的解集是.故选：B.5．【正确答案】A【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，即，所以，，又因为，则，，其中、均为正数，且有，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故则的最小值是.故选：A.6．【正确答案】C【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可得，，，，所以，，所以，，设，则，因为。易知为锐角，则，，所以，，因此，.故选：C.7．【正确答案】D【详解】如图，设四面体的棱长为，外接球圆心为，半径为，为底面三角形的外心，则，，由，得，解得，又该正四面体玩具可以在该正方体内任意转动，则正四面体外接球最大是正方体的内切球，此时，解得，所以正四面体的表面积为故选：D8．【正确答案】B【详解】由可得，其中，令，其中，则，令，其中，则，所以函数在上为增函数，因为，，所以存在，使得，即，且当时，，此时，函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因为，则，则，构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，由可得，所以，可得，故，因此实数的取值范围是.故选：B.9．【正确答案】BC【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个黑色三角形均可以得到下一个图形中的3个小黑色三角形，故，而，故为等比数列，故；所以故选：BC.10．【正确答案】BCD【详解】.A：当时，函数的最小正周期均为，故A错误；B：当时，，图象关于直线对称，故B正确；C：，则，，得，所以为偶函数，故C正确；D：当时，，当时，函数和同时取到最小值，分别为和0，所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.11．【正确答案】AC【详解】由，则①，又②，①②得③，则④，则④③可得，即，故是周期为的函数，则，由的图象关于直线对称，则⑤，由③，故可得，所以，故A正确；由⑤可得，即，由③可得，可得，故B错误；由②可得，又，则两式相减可得，，则可得，即，故C正确；由，则，又，则，由，则，又，则，由，则，又，则，则由，则，由，则，则，则，由，则是周期为的函数，故，故选：AC.12．【正确答案】【详解】在椭圆中，，因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，由椭圆的定义可得，故.故答案为.13．【正确答案】/【详解】由，得，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为.故14．【正确答案】【详解】设，，，由题意可得，且，因为，即，可得，由题意可知，，，所以，，由，解得，所以，，令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，则，由余弦定理可得，故，因此，的长的取值范围是.故答案为.15．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）因为，则，因为曲线在点处的切线方程为，则，所以，，解得.（2）由（1）可得，则，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极大值为，极小值为，又因为，，所以，当时，，，因此，在上的值域为.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，得①.当时，，得，得，符合①式，所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列，故，所以.当时，，又符合上式，所以.（2）由（1）得，当为奇数，，当为偶数，，所以.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)16【详解】（1）设，取的中点，连接，如图，则，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由，得，所以，解得，即，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，所以点到平面的距离为，解得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以点到平面的距离为，又平行四边形的面积为，所以四棱锥的体积为.18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为椭圆的离心率是，且点在椭圆上，则，解得，故椭圆的方程为.（2）设点、，则，又因为，由图可知，，所以，即点，由椭圆的范围可知，，又，则，所以，设圆分别切、、于点、、，则轴，由切线长定理可得，，，因为，又因为，所以，，可得，即点，因此，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.19．【正确答案】(1)(2)是，理由见解析(3)【详解】（1）因为函数的定义域为，对任意的，，则，因为，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数的减区间为，增区间为，则，所以，，因此，函数的下界的取值范围为.（2）令，其中，，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，且，当时