2024-2025学年河南省安阳市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河南省安阳市高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，2．已知集合，或，则（

）A． B．C． D．3．已知向量，，若，则（

）A．或 B．C．2 D．44．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（

）A． B． C． D．7．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（

）A． B． C． D．8．过抛物线：的焦点作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与相交于，，另外一条与相交于，，设，分别是线段，的中点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，其中i为虚数单位，若，，为纯虚数，为实数，则（

）A． B．的虚部为 C． D．10．函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（

）A． B．C．的图象关于轴对称 D．在上的最小值为11．已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（

）A．关于轴、轴均对称B．当点不在轴上时，C．当时，点的纵坐标的最大值大于1D．当，有公共点时，三、填空题（本大题共3小题）12．已知为等差数列的前项和，若，，则.13．在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是.14．从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，，为AC边的中点，求BD的长.16．已知函数，其中，.(1)当时，求的图象在处的切线方程；(2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.17．在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示.(1)求证：；(2)求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值.18．已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，直线的方程为.(1)若与的左、右两支分别相交，求的取值范围；(2)当，2时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等.19．在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为.(1)在数列中，若，，，，，，，，求；(2)若，满足，①证明：集合非空；②证明：当，时，.

答案1．【正确答案】B【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定．故.故选：B.2．【正确答案】A【详解】依题意，.故选：A3．【正确答案】D【详解】，故，解得.故选：D4．【正确答案】C【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，则有函数在区间上恒为正数且单调递增，因此，解得，实数的取值范围是.故选：C.5．【正确答案】D【详解】因为，即，，即，所以.故选：D.6．【正确答案】B【详解】因为，可知，又因为为奇函数，且连续不断，则，则，且，可知，由奇函数对称性可知：时，，且，，所以在定义域的值域为.故选：B.7．【正确答案】C【详解】由图知，，，，所以排除A，B；设的图象在处的点为，显然的斜率小于在处的切线斜率，则，且，可转化为，所以的值最小，排除D.故选：C.8．【正确答案】C【详解】设直线的斜率为，则的斜率为，则直线的方程为，由消去并整理，得.设，，则，所以，同理，所以，因为，所以的面积，当且仅当时，等号成立，故的面积的最小值为4.故选：C.9．【正确答案】ACD【详解】因为，且，可得，对于A：，故A正确；对于B：的虚部为，故B错误；对于C：因为为纯虚数，可得，即，故C正确；对于D：因为为实数，可得，即，故D正确；故选：ACD.10．【正确答案】ABD【详解】A：由题意得的周期为，又，所以，故A正确；B：因为，所以，又所以，又，观察图象可得，所以，故B正确；C：由B知，所以，所以的图象不关于轴对称，故C错误；D：由，得，因为在上单调递减，所以在上单调递减，所以的最小值为，故D正确.故选：ABD.11．【正确答案】ACD【详解】设，由，得，将代入得到，将将代入得到，所以关于轴、轴均对称，A正确；当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点，所以，B错误；当时，，当时，可得：，解得：，此时，即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确；由，得为椭圆，易得方程为，所以，代入，得，所以，因为，所以，解得：或舍去，D正确；故选：ACD12．【正确答案】16【详解】由，，可得：，解得：，所以，故1613．【正确答案】【详解】设，因为，所以，化简，得，即的轨迹是圆，因为点在圆的内部，所以，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】由圆的切线长定理得，，因为，，，则，，即，可知，所以为直角三角形，其外心为的中点，又因为，可知点在平面内的投影为的外心，即平面，所以必在的延长线上，且A为切点，则，由射影定理得，且，即，可得，则，所以球的表面积为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理得，由于，故，所以，因为，所以，故，，因为B∈0,π，所以；（2）为AC边的中点，故，两边平方得，又，，，所以，故.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，定义域为，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.（2）当时，，定义域为，所以，因为在区间上存在极值，所以在上必存在变号零点，令，则在上必存在变号零点，因为，所以，解得，当时，，且在上单调递增，又，故存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）四棱锥中，取的中点，连接，由，，得，则，，又，于是四边形为平行四边形，，，由，得，则，，而，平面，于是平面，又平面，则，又，平面，因此平面，而平面，所以.（2）在平面内过点作，由（1）知平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，则，所以平面ADP与平面CDP夹角的余弦值是.18．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线的斜率为，所以，所以，联立消去并整理，得，因为与的左、右两支分别相交，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.（2）设，当时，由（1）中及韦达定理，得，当时，由（1）中及韦达定理，得，所以与中点的横坐标都为.因为，，，在同一直线上，所以与的中点重合，设该中点为，所以，所以，所以，所以的面积与的面积相等.19．【正确答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析.【详解】（1）因为，，，，，，，，，因为，所以所以，（2）①证明：由已知得，若对中的任意正整数，满足，则，即，所以；若在中存在，