山东省昌乐重点中学2024届高三上学期数学1月模拟预测试卷

山东省昌乐重点中学2024届高三上学期数学1月模拟预测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数zi，zA．1 B．−i C．i D．−12．设a∈R，则“sinα=cosαA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若正数a，b满足ab=a+b+3，则A．[B．[C．（0，6]D．（0，9）4．具有线性相关关系的变量x，x0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为y=A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限5．已知点M(2，4)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，点A．4 B．3 C．2 D．16．在ΔABC中，AB+AC=2AD，A．y=2x B．y=−2x C．x=2y D．x=−2y7．已知奇函数f(x)是RA．g(log3C．g(2−8．双曲线C：x2a2A．y=±12x B．y=±22x二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分.9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x−1C．∃x0∈R10．将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)A．在(0，πB．最大值为1，图象关于直线x=−3πC．在(−3πD．周期为π，图象关于点(3π11．已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．若m//α，n//β且α//β，则m//nB．若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//βC．若m//n，n⊂α，α//β，m⊄β，则m//βD．若m//n，n⊥α，α⊥β，则m//β12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为TnA．S2019<SC．T2019是数列{Tn}中的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线x−y+a=0与圆x2+y2=2相交于A，B两点(O14．已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N=N0⋅2−T5730(N016．已知四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，AC=8，则四面体ABCD四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在ΔABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且8absinC=3(b2+（1）求cosA（2）求ΔABC的面积S.18．设数列{an}的前n项和为S（1）证明：{Sn+1}（2）若bn=nan，求{19．如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形，BE⊥平面ABCD，CC1⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，AF//EC1，且AB（1）求BF的长；（2）求直线CC1与平面20．2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元.（1）设日收费为y（单位：元），每天需要用药的猪的数量为n（单位：头），试写出两种方案中y与n的函数关系式；（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量（单位：头）进行了统计，得到了如下的列联表：

9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表判断是否有99.附：P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（3）当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图.依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由.21．已知函数f(x)=ln（1）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处与x轴相切，求（2）求函数f(x)在区间(1，22．给定椭圆C：x2a2+y2b（1）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：z1=1+i，所以z1z2的虚部为−1

【分析】由题意可得：z1=1+i，2．【答案】B【解析】【解答】解：若sinα=cosα，则tanα=1，可得α=π4+kπ，k∈Z，

即α不一定为π4故答案为：B.

【分析】根据任意角三角函数结合充分、必要条件分析判断.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为ab=a+b+3≤a+b24，当且仅当a=b=3时，等号成立，

整理得a+b2-4a+b-12≥0，解得a+b≥6或a+b≤-2，

又因为a，b故答案为：A.

【分析】根据题意利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.4．【答案】D【解析】【解答】由图表中的数据知：x，y呈正相关，所以b>0又x=则样本中心为(1.所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D【分析】本题考查线性回归方程的应用.根据x，y呈正相关，得到b>0，再求出x，y，可得到样本中心点为：(15．【答案】A【解析】【解答】由点M(2，4)在抛物线y2=2px上，可得即抛物线C：y2=8x，焦点坐标所以，点M到抛物线C焦点的距离为：2−(−2)=4．故选：A．【分析】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用．将点M(2，4)的坐标代入抛物线方程y2=2px(p>0)，求出6．【答案】D【解析】【解答】解：因为AB→+AC→=2AD→，可知D为BC的中点，

又因为AE→+2DE→=0故答案为：D.

【分析】根据题意可知：D为BC的中点，E为△ABC的重心，根据向量的线性运算求得x=27．【答案】B【解析】【解答】由奇函数f(x)是R上增函数可得，当x>0又g(x)即g(x)根据偶函数的对称性可知，当x<0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为g(log314)=g(log34)故选：B．【分析】本题考查了指数式、对数式比较大小，函数的奇偶性和单调性综合应用.先利用定义判断出g(x)为偶函数，x>0时单调递增，x<0时，函数单调递减.利用函数的奇偶性化简可得：g(log318．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：|PF1|→-|PF即4c2=16a2+4a2-8a2=12a2，可得

【分析】根据双曲线的定义可得|PF1|9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A：由指数函数性质可知∀x∈R，2x−1>0，故A正确；

对于B：例如x=1，可得(x−1)2=0，故B错误；

对于C：例如x0=1，可得lgx0=0，即∃x10．【答案】A,B,D【解析】【解答】g(x)=x∈(0，π4)则2x∈(0，π2)，最大值为1，当x=−3π2时2x=−3π，为对称轴，T=2π2=π，取2x=π2+kπ，∴x=π故答案为：ABD

【分析】根据函数图象变换求出函数g(x)的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可.11．【答案】B,C【解析】【解答】A.若m//α，n//β，α//β，则m与n平行、相交或异面，因此A不正确；B.若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，因此B正确；C.若m//n，n⊂α，α//β，⇒n//β，m//n，m⊄β⇒m//β，因此C正确；D.若m//n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，可得m//β或m⊂β，因此D不正确．故答案为：BC【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理、线面平行的判定定理，姐呢人找出说法正确的选项。12．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为a2019a2020设等比数列{an}因为a2019a2020且a1>1>0，可知又因为a2019−1a若a2020>10<a2019<1，则若0<a2020<1对于A：因为S2020−S对于C：因为等比数列{an}中，0<q<1所以数列{an}所以T2019是数列{对于B：因为a2019a2021对于D：由B的结论知T2019是数列{故答案为：ABC.【分析】根据题意分析可知0<q<1，进而根据等比数列的性质以及前n项积为Tn13．【答案】±【解析】【解答】解：因为圆x2+y2=2的圆心O0，0，半径为2，

若△AOB为等腰直角三角形，

可知圆心O0，0故答案为：±2

【分析】根据题意可知圆心O0，0到直线x−y+a=0的距离d=114．【答案】3【解析】【解答】解：因为y=ln(x+a)，可得y'=1x+a，

设切点坐标为x0，ln(x0+a)，则切线斜率为k=故答案为：3.

【分析】求导，切点坐标为x0，ln15．【答案】12【解析】【解答】解：因为N=N0⋅2−T即经过5730年后，碳14的质量变为原来的12由题意可知：2−T5730>则−T5730>lg所以推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876．

【分析】空1：根据题意代入t=5730运算求解即可；空2：由题意可得216．【答案】10【解析】【解答】取BD中点O，AC中点E，连结AO，∵四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO=25−∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又OE⊥AC，∴SΔAOCVA−BCD故答案为：1011【分析】本题考查三棱锥的体积计算公式．取BD中点O，AC中点E，连结AO，CO，OE，计算出17．【答案】（1）解：由题意得8ab由余弦定理得：4a由正弦定理得4所以tanA=∴△ABC中，cos（2）解：由余弦定理a2=解得b=3或b=5∵tanA=34由S=12bc⋅sinA【解析】【分析】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用．(1)根据条件形式利用余弦定理边化角可得：4asinCc=3cos(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，a2=b2+18．【答案】（1）证明：∵Sn+1−2S∴Sn+1∴{S∵a1=1，故{S∴Sn+1=2当n≥2时，Sn−1=2n−1−1∴an（2）解：由（1）可得bn=n故12两式相减得：12故Tn【解析】【分析】本题考查等比数列的定义，等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.（1）根据Sn+1−2Sn=1可推出Sn+1+1=2(Sn（2）由（1）的结果可得bn19．【答案】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z).∴AF∥EC1，由AF∥EC∴F(0，0，2).∴BF=(−2，（2）解：设n1为平面AEC1F的法向量，设式n由n1⋅AE即4y+z=0−2x+2z=0，取z=1，得x=1又CC1=(0，0cosα=所以，直线CC1与平面AEC1F的夹角的正弦值为【解析】【分析】(1)建系，设F(0，0，z)，根据平行关系解得z=2，进而可得结果；

(2)求平面AEC1F的法向量，利用空间向量求线面夹角.20．【答案】（1）解：由题意得，方案一中的日收费y（单位：元）与需要用药的猪的数量n(单位：头）的函数关系式为y=40+2n，n∈N方案二中的日收费y(单位：元）与需要用药的猪的数量n（单位：头）的函数关系式为y=120（2）解：由列联表计算可得K2（3）解：设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X124128132136140P0.20.40.20.10.1所以E(X)=124×0.2+128×0.4+132×0.2+136×0.1+140×0.1=130设方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列Y120128144160P0.60.20.10.1所以E(Y)=120×0.6+128×0.2+144×0.1+160×0.1=128，因为E(X)>E(Y)所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.【解析】【分析】(1)根据题意分析求相应的函数关系式；

(2)根据题意求K2，并与临界值对比分析；

21．【答案】（1）解：由题意得f(x)=lnx−a+af'因为y=f(x)在点(1，f(1))处与x轴相切，且所以f'(1)=1−a=0，解得a=1．经检验（2）解：由（1）知f'(x)=x−ax2当x<a时，f'(x)<0，当x>a时，（i）当0<a≤1时，x∈(1，e)，f'(x)>0，函数所以f(x)>f(1)=0，所以函数f(x)在区间(1，（ii）当1<a<e时，若1<x<a，则f'(x)<0，若a<x<e，则函数f(x)在区间(1，a)上单调递减，在区间且f(1)=0，则f(a)<f(1)当f(e)=1−a+ae>0，即1<a<ee−1当f(e)=1−a+ae≤0时，即当ee−1≤a<e（iii）当a≥e时，x∈(1，e)，f'(x)<0，函数所以f(x)<f(1)=0，所以函数f(x)在区间(1，综上：当0<a≤1或a≥ee−1时，函数f(x)在区间当1<a<ee−1时，函数f(x)在区间【解析】【分析】本题考查曲线切线方程的求法，利用导函数