湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题

湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∣x=3n+1，n∈N}，A．1 B．2 C．3 D．42．若i(1+z)=1（i为虚数单位），则z+zA．-2 B．-1 C．1 D．23．命题“∀x∈R，A．∃x∈R，x2C．∀x∈R，x24．若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3A．34 B．43 C．235．城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）A．110 B．144 C．132 D．1566．已知向量a=(t，2)，b=(2，−1).若A．52 B．−52 C．37．在某次美术专业测试中，若甲､乙､丙三人获得优秀等级的概率分别是0.A．1529 B．78 C．588．已知a=10lg4，A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知平面直角坐标系中，M(−2，0)，N(2，0)，动点P(x，y)满足|PM|=2|PN|，点A．曲线C的方程为(x−6)2C．曲线C的方程为(x+6)210．下列命题中，说法正确的有（）A．设随机变量X∼B(10，1B．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r越接近于1C．决定系数R2D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2⩾xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<11．已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x)−x与g(1−2x)均为偶函数，则下列说法一定正确的有（）A．f(x)关于x=1对称 B．f(x)x关于点(0C．g(x+2)+g(x)=2 D．f(0)=112．如图所示，四边形ABCD是长方形，AB=3，BC=4，半圆面APD⊥平面ABCD.点P为半圆弧AD上一动点（点P不与点A．三棱锥P−ABD的四个面都是直角三角形B．三棱锥P−ABD体积的最大值为4C．异面直线PA与BC的距离的取值范围为[4D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P−ABCD外接球的截面面积为15π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{an}的首项为1，an14．已知(1+x)8=15．已知3sinφ−3cosφ=2sinα，16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，点P为它们的一个交点，且四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17．甲､乙､丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲､乙､丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：甲：86，乙：88，丙：96，假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的知识竞赛成绩相互独立.（1）估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；（2）设X表示甲､乙､丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计X的数学期望EX.18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，（1）求证：tanB=3tanA；（2）延长BC至点D，使得|DA|=|DB|.当∠DAC最大时，求tanD的值.19．如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为4cm和6cm，（1）求证：A1（2）截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60∘，且截面截得圆台上底面圆的劣弧20．已知递增的等差数列{an}(n∈（1）求数列{a（2）记Sn为数列{an}的前n项和，bn=S21．已知椭圆C：x2（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图所示，点A是椭圆C的右顶点，过点(6，0)的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，且都在x轴的上方，点P的坐标为22．已知函数f(x)=3lnx+ax（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a=12时，方程f(x)=0有三个不相等的实数根，分别记为①求b的取值范围；②证明|x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为集合A={x∣x=3n+1，n∈N}，B={4，5，6，7}，故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系和交集的运算法则，进而得出集合A∩B的元素个数.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为i(1+z)=1，所以，z=1i-1=ii2-1=-1-i故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z共轭复数，再利用复数加法运算法则得出复数z+z3．【答案】B【解析】【解答】解：命题“∀x∈R，x2故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而得出命题的否定.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3，m)到焦点的距离是5p，

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合抛物线的定义，进而得出p的值.5．【答案】C【解析】【解答】解：添加节目后，共有12个节目，因为保持原来10个节目的相对顺序不变，

则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，所以，不同的排法种数为A12故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合排列数公式和插空法，进而得出不同的排法种数.6．【答案】D【解析】【解答】解：已知向量a=(t，2)，b=(2，−1)，因为a与b的夹角的余弦值为−255，

设a与b的夹角为θ故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出满足要求的实数t的值.7．【答案】A【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A，B，C，三人中恰有两人没达优秀等级为事件D，

因为PA=0.6,PB=0.7,PC=0.5,则PD=PA-B-C+PAB故答案为：A.【分析】利用已知条件结合对立事件、互斥事件求概率公式得出PD8．【答案】D【解析】【解答】解：已知a=10两边取对数得：lga=lg4⋅lg10，令f(x)=lgx⋅lg(14−x)，则f'令g(x)=x⋅lgx，则g'可知g(x)在(1，因为4≤x≤6，则8≤14−x≤10，可知14−x>x恒成立，则g(14−x)>g(x)，即g(14−x)−g(x)>0，可得f'则f(x)=lgx⋅lg(14−x)在[4，6]上单调递增，可得可得lg4⋅lg10<lg5⋅lg9<lg6⋅lg8，即lga<lgb<lgc，又因为y=lgx在(0，+∞)上单调递增，所以故答案为：D.【分析】根据题意可得lga=lg4⋅lg10，lgb=lg5⋅lg9，lgc=lg6⋅lg8，构建函数f(x)=lgx⋅lg(14−x)，对f(x)求导，再构造函数g(x)=x⋅lgx，利用导数分析可知9．【答案】A,B【解析】【解答】解：由已知可得，PM=x+22+y2,PN=x-22+y2，

因为|PM|=2|PN|，所以x+22+故答案为：AB.

【分析】利用已知条件结合两点距离公式得出曲线C的方程，从而判断出选项A和选项C；再利用点到直线的距离公式和几何法，进而得出圆上的点到直线l：x+y+6=0的最小距离，从而判断出选项B和选项D，进而找出正确的选项.10．【答案】C,D【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量X∼B(10，12)，则D(X)=10×12×1-12=52，所以A错；

对于B，因为相关系数r的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，所以B错；

对于C，因为决定系数为R2=1-i=1nyi-y⏞2i=1nyi-y-2故答案为：CD.【分析】利用已知条件结合二项分布求方差公式、相关系数与样本数据线性相关的程度之间的关系、决定系数与残差平方和以及模型拟合效果的关系、独立性检验的思想，进而找出正确的命题.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，因为g(1-2x)为偶函数，则g(1-2x)=g(1+2x)，所以，函数g(x)关于x=1对称，

若f(x)关于x=1对称，则导函数g(x)关于点（1，0）对称，这与g(x)关于x=1对称矛盾，所以A错；

对于B，因为f(x)−x为偶函数，所以f(x)−x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,

所以，f(x)x-f(-x)x=f(x)x+f(-x)-x=2，所以B对；

对于C，因为f(x)−x为偶函数，所以f'x-x'=g(x)-1为奇函数，

所以函数g(x)-1关于（0，0）对称，函数g(x)关于（0，1）对称，

所以函数g(-x)+g(x)=2，又因为g(x)关于x=1对称，所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1))，12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，因为AD是圆上的直径，所以∆PAD为直角三角形，AP由已知四边形ABCD是长方形，所以∆BAD为直角三角形，且AB⊥AD，则AB2+AD2=BD2，

因为半圆面APD⊥平面ABCD，半圆面APD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，

所以，AB⊥平面APD，又因为AP,DP⊂平面APD，所以AB⊥AP，AB⊥DP，

所以，三角形∆BAP为直角三角形，PB2=AB2+AP2，

则PB2+PD2=AB2+AP2+PD2=AB2+AD2=BD2，所以，三角形∆BPD为直角三角形，

所以，三棱锥P−ABD的四个面都是直角三角形，所以A对；

对于B，由选项A可知，AB⊥平面APD，设∆APD底边AD边上的高为h，

则VP-ABD=13×AB×12×AD×h=16×AB×AD×h,显然，当h最大时，体积最大，

当点P为半圆弧AD上的中点时，h最大值为12AD，所以，三棱锥P−ABD体积最大值为：

VP-ABDmax=16×AB×AD×12AD=112×3×4×4=4，所以B对；

对于C，由选项A可知AB⊥AP,又因为BC⊥AB，所以，线段AB为异面直线AP与BC的公垂线段，

所以，异面直线AP与BC的距离为AB=3，所以C错；

对于D，过点P作PF⊥AD于点F，

因为半圆面APD⊥平面ABCD，半圆面APD∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ABCD，

所以，

【分析】根据已知条件可知∆PAD,∆BAD为直角三角形，根据面面垂直以及线面垂直的性质定理可推得∆BAP为直角三角形，根据边长关系推得PB2+PD2=BD2，即可得三角形∆BPD为直角三角形，进而判断出选项A；设∆APD底边AD边上的高为h，由已知可推得

VP-ABD=16×AB×AD×h,根据已知得出h的最大值，即可求出体积的最大值，进而判断出选项B；根据已知得出异面直线PA和BC的公垂线段，即可得出异面直线PA与BC的距离，进而判断出选项C；过点P作PF⊥AD于点F，根据面面垂直的性质推得∠PBF为直线PB与平面ABCD所成的角，设AF=x，根据已知条件结合三角形的性质得出相关线段的长度，表示出sin2∠PBF=4x-x13．【答案】81【解析】【解答】解：因为数列满足anan+1=3则an+1an+2所以数列{an}同理，各个偶数项a2,a4,故答案为：81.【分析】由数列满足anan+1=3n(n∈N*14．【答案】129【解析】【解答】解：由(1+x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，

令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a8=28，即

(a0+a2+a4+a6+a8)+(a1+a3+a5+a7)=28，

令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+⋯+a8=0，即

(a故答案为：129.

【分析】分别令x=1和x=-1，联立方程组求得a0+a2+a4+a6+a8=27=128，再令x=0，求得a0=1，即可求得2a0+a2+a4+a6+a8的值.15．【答案】0【解析】【解答】解：已知3sinφ−3cosφ=2sinα，，

所以，3sinφ−3cosφ2=4sin2α，

3sin2φ−6sinφcosφ+3cos2φ=4sin故答案为：0.【分析】利用已知条件结合完全平方公式和平方关系以及二倍角的正弦公式，再结合平方差公式和代入法，进而得出4cos16．【答案】5+5【解析】【解答】解：如图所示：

设椭圆的标准方程为x2a12+y2b12=1a1>b1>0，双曲线标准方程为x2a22-y2b22=1a2>0，b2>0，

不妨设点P为第一象限的交点，由题意可知：故答案为：5+5【分析】设出椭圆和双曲线方程，再结合椭圆和双曲线的定义和余弦定理以及椭圆、双曲线的离心率公式，进而得出4=52e1217．【答案】（1）解：甲在以往参加的10次知识竞赛中有4次成绩获得优秀等级.记事件A为“甲在本次知识竞赛中获得优秀等级”，则P(A)=4所以甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率为1−P(A)=（2）解：X的所有可能取值为0，记事件B为“乙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，事件C为“丙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，则P(B)=36=则P=(1−=P==P==P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=∴EX=0×3【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而估计出甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率。

（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合古典概型求概率公式得出事件B，C的概率，再由事件A的概率和对立事件、独立事件、互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。18．【答案】（1）证明：∵m∴(c+b)(c−b)+(2a−b)(2∵b∴c即c=4acosB.再由正弦定理得：sinC=4sinAcosB（显然B为锐角），结合sinC=sin(A+B)，得：sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosB.即cosAsinB=3sinAcosB（显然A为锐角）.所以tanB=3tanA（2）解：如图：设∠BAC=α(0<α<π2)因为AD=BD，所以B=∠BAD=α+∠CAD，∴∠CAD=B−α.故tan∠CAD=tan(B−α)==当且仅当1tanα=3tanα，即此时tanB=3，B=π【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出c2=2b2−2a2，再结合余弦定理得出c=4acosB，再利用正弦定理和三角形中内角和为180°的性质以及两角和的正弦公式，进而由同角三角函数基本关系式，进而证出tanB=3tanA；

（2）设∠BAC=α(0<α<19．【答案】（1）证明：∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.∴母线AA1与母线∴A，∵圆面O1∥圆面O，且平面ABB1A1∩∴A（2）解：解法一：∵劣弧A1B1的长度为8π3，∴∠A1O则A(6，则AA1=(−2向量为n1−2x+tz=0，−9x+33y=0.底面的一个法向量n2因为截面与下底面所成的夹角大小为60所以cos60即|OO∴BB∵在等腰梯形ABB1A∴等腰梯形ABB1A∴S解法二：如图，分别取AB，A1B1的中点为C，C1，连结O1过点C1作C1D⊥OC由O1C1∴|CC∴S【解析】【分析】（1）利用圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分，所以母线AA1与母线A，A1，B，B1四点共面，再利用面面平行的性质定理，从而证出线性平行，进而证出A1B1∥AB。

（2）利用两种方法解题。解法一：利用已知条件结合两三角形相似的性质，进而得出∠AOB的值，再建立空间直角坐标系，设|OO1|=t(t>0)，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面ABB1A1的一个法向量和底面的一个法向量，再结合截面与下底面所成的夹角大小为60∘和数量积求夹角公式得出t的值，从而得出OO1的长，进而得出20．【答案】（1）解：设an由题意得3a4=21，a∴（2）解：由（1）可得Sn则bn=可得：12T①-②可得：12设Kn=12K③-④可得：12∴【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项公式，再结合等差数列的单调性，进而得出满足要求的首项和公差的值，进而由等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式；

（2）利用等差数列前n项和公式得出数列{an}的前n项和Sn，再利用bn=21．【答案】（1）解：依题意得2b=2解得a=2，∴椭圆C的标准方程为x2（2）证明：∵直线l过点(6，0)，与椭圆C：x2∴直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y=k(x−6)，联立方程y=k(x−6)，x2设E(x1，又P(=k⋅=k⋅∴k∵k∴∠APE=∠OPF.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的标准方程确定焦点的位置，再结合短轴长求解方法得出b的值，再结合左顶点到左焦点的距离为1，进而得出a-c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，c的值，进而得出椭圆C的标准方程；

（2）因