【八年级下册数学浙教版】第四章 平行四边形（6类题型突破）

第四章平行四边形（6类题型突破）题型一多边形的内角和相关【例1】（2023秋•唐山期末）四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（）A．x＝y B．x＝2y C．x＝y+180 D．y＝x+180【例2】（2022秋•绥阳县期末）一个多边形的内角和为540°，则该多边形对角线一共有（）A．2条 B．3条 C．5条 D．10条【例3】（2023春•宣汉县校级期末）一个多边形的内角和与它的外角和的比为3：1，则这个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【例4】（2023•乐陵市模拟）如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为__________．【例5】（2023秋•黄冈期末）已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为_______．【例6】（2023秋•新化县期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝___________．【例7】（2023春•兴隆县期末）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为__________度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．巩固训练1．（2022秋•庄浪县期末）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．132．（2023•桐庐县一模）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023秋•荆门期末）如图，五边形ABCDE的一个内角，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．100° B．180° C．280° D．300°4．（2022秋•廉江市期末）已知一多边形的内角和等于1440°，则这个多边形是_______边形．5．（2023秋•长沙期末）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是_________．6．（2023春•平湖市期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线条数．题型二平行四边形的性质【例1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【例2】（2023•义乌市校级开学）在▱ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，则EF的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【例3】（2023•定远县校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例4】（2023春•舟山期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD和AB上，依次连接EB，EC，FC，FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，则S4＝_________．【例5】（2023春•巴中期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_______．【例6】（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱DCBE，DE交AB于点F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度数．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．【例7】（2023春•鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：BE＝DF；（2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长．【例8】（2023•新昌县模拟）如图所示平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF．（1）求证：BE＝DF；（2）连接AF，若AD＝DF，∠ADF＝40°，求∠AFB的度数．巩固训练1．（2023•玉环市校级开学）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB2．（2023秋•高青县期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s3．（2022秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（）A． B． C． D．4．（2023春•柯城区校级期中）如图，在▭ABCD中，P是CD边上一点，且AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，则▱ABCD的面积是（）A．6 B．12 C． D．5．（2023春•衢江区期末）如图，▱ABCD的面积为18，点E在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为_______．6．（2023春•浙江期中）如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝30°，BE＝，求∠AED的度数及平行四边形ABCD的面积．7．（2023春•嵊州市期中）已知：如图，AC，BD是▱ABCD的两条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：EO＝FO．8．（2023春•丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，画出一个平行四边形．（1）请用三角板画出一个平行四边形的示意图；（2）若AC＝8，BC＝6，求出你所画的平行四边形两条对角线的长．9．（2023春•余姚市期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过点A作AE⊥CD于点E，且，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的长．10．（2023春•东阳市期中）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，）．（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．题型三平行四边形的判定【例1】（2022秋•台江区校级期末）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（）A．两个等腰三角形 B．两个全等三角形 C．两个锐角三角形 D．两个直角三角形【例2】（2023春•鹿城区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定其为平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC【例3】（2023春•东阳市期末）平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可以是（）A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（8，2） D．（2，﹣2）【例4】（2023春•柯城区校级期中）在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，2），C（x，2），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝___________．【例5】（2020春•渭滨区期末）如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为_______．【例6】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3．（1）BC＝_________．（2）当AP＝___________时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形．【例7】（2022春•金华期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4）．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标．【例8】（2023春•柯桥区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长至点E，使FD＝DE，连接BF，CE和BE．证明：四边形BECF为平行四边形．【例9】（2022春•吴兴区校级期中）四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过O点作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．巩固训练1．（2023春•西湖区期中）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④2．（2023春•方城县期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形．其依据是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形3．（2022春•海曙区期中）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），点D在直线y＝﹣1上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______________________．4．（2021春•余姚市校级期中）在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为_______个．5．（2021春•乾安县期中）如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件添加，使四边形DEBF是平行四边形可添加的条件有__________（写出所有正确条件的序号）6．（2023春•雁塔区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝_______秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．7．（2023•天心区校级三模）如图，已知AC＝AE，BC＝BE，BC∥AD，CD⊥CE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AD＝CD＝5，AC＝6，求CE的长．8．（2022•滨江区二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，若_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．9．（2022春•余姚市校级期中）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．题型四平行四边形的性质与判定的综合【例1】（2023春•海曙区期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是（）A．145° B．125° C．55° D．35°【例2】（2023•阳山县二模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（）A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误【例3】（2023春•乾县期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例4】（2023春•井研县期末）如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（）cm2A．24 B．17 C．13 D．10【例5】（2023春•东阳市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为______________________．【例6】（2023春•宽甸县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．【例7】（2023秋•拱墅区月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长．【例8】（2022秋•泰山区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．【例9】（2023春•渠县期末）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．【例10】（2022秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为_____________cm；当点P运动2秒时，线段BQ的长度为_______cm；当点P运动5秒时，线段BQ的长度为_______cm；（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．【例11】（2023•鹿城区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，AE与CF相交于点G，连接GD，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若AG＝3，DG＝5，求四边形ABCD的面积．巩固训练1．（2023春•上虞区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连结AE，CF，AC，EF，添加下列条件后不能使四边形AECF成为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AE∥CF C．OE＝OF D．AF＝AE2．（2022•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（）A．32 B．24 C．16 D．83．（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，则AB的长是（）A． B．1 C． D．4．（2022春•子洲县期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∠DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9 B． C．10 D．35．（2023春•嵊州市期末）如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，其中D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，下列三个结论：①四边形BDEF是平行四边形；②△DEF≌△HFE；③S△DFH+S△HEC＝S△BDF．其中正确的结论是__________．（填上相应的序号即可）6．（2023春•滨江区校级期中）如图，延长△ABC的边BC至点D，使得CD＝BC，过AC的中点E作EF∥CD（点F位于点E的右侧），且EF＝2CD，连结DF，若AB＝，则DF＝______________________．7．（2023•菏泽一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（）①△DEF的周长是△ABC周长的一半；②AE与DF互相平分；③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2022春•洋县期末）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023春•越城区期中）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．10．（2023春•东阳市期末）如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）若BC＝2，∠C＝105°，∠CBE＝45°，求线段DF的长度．11．（2023春•金东区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连结CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形．（2）若四边形CDEF的周长是18，AC的长为12，求线段AB的长度．12．（2023•温州二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至F，使EF＝2DE，连结BE，CF，BF，其中BF与AC相交于G．（1）求证：四边形BCFE是平行四边形．（2）已知BE＝3，EG＝DE，求BF的长．13．（2023春•拱墅区校级期中）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求：①AC的长；②四边形BCFD的面积．14．（2023春•鄞州区校级期中）如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．（2）如图2，连结AC交BD于点O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的长．题型五三角形的中位线【例1】（2023秋•鹿城区期中）如图，BD是等腰△ABC底边AC边上的中线，ED∥AB，∠C＝65°，则∠BDE度数是（）A．24° B．25° C．30° D．35°【例2】（2023秋•南安市期末）如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【例3】（2023秋•钱塘区期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．35【例4】（2023春•宽甸县期末）如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（）A．13 B．9 C．5 D．4【例5】（2023春•柯城区校级期中）如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2023个三角形的周长为______________________．【例6】（2023春•义乌市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，点D是边AC上一点，且AD＝AB，连结BD，过点A作∠BAD的角平分线AE交BD于点E．若点F是边BC的中点，连结EF，则EF的长为____________________．【例7】（2023春•梁园区期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝__________．【例8】（2023•邹城市模拟）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为______________________．【例9】（2023秋•苍南县期中）如图，在△ABC中，，AD是BC边上的高，若点E是AC的中点．（1）求证：DE∥AB．（2）连结BE交AD于点F，若∠CBE＝30°，求BE的长．【例10】（2023•杭州二模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE＝AD，DF＝2．（1）求证：DE为∠ADF的角平分线；（2）求BD的长．【例11】（2020秋•肇源县期末）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．（1）求证：BD＝DE；（2）求DM的长．巩固训练1．（2023春•义乌市月考）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：72．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B． C．7 D．83．（2023秋•昆明期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于_______．4．（2023•黄冈一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是____________________．5．（2023春•新田县期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④6．（2023春•绍兴期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积为，则△BEF的面积为（）A． B． C． D．37．（2023春•宁波期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，点D在AC边上，AD＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD＝2，则EF的长为（）A．1 B． C． D．8．（2023春•鄞州区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A．3 B． C． D．9．（2019•铁西区一模）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，求△DOE的周长．10．（2023•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．（1）求证：∠CAD＝∠BAD；（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．11．（2021秋•偃师市期中）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．题型六反证法【例1】（2023秋•新安县期末）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（）A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0【例2】（2023春•西湖区期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60° C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°【例3】（2023秋•北仑区期中）要说明命题“若ab＝0，则a+b＝0”是假命题，可举反例______________________．【例4】（2023春•上城区校级期中）用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设__________________．巩固训练1．（2023•攸县一模）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②2．（2023•射洪市校级一模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45° C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°3．（2022秋•古县期末）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都_________60°（填“＞”、“＜”或“＝”）．4．（2022秋•嵩县期末）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设_____________．5．（2022春•盐湖区期中）用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设__________________．

第四章平行四边形（6类题型突破）答案全解全析题型一多边形的内角和相关【例1】．（2023秋•唐山期末）四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（）A．x＝y B．x＝2y C．x＝y+180 D．y＝x+180【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形的内角和等于x°，∴x°＝（4﹣2）•180°＝360°．∵五边形的外角和等于y°，∴y°＝360°，∴x＝y．故选：A．【例2】．（2022秋•绥阳县期末）一个多边形的内角和为540°，则该多边形对角线一共有（）A．2条 B．3条 C．5条 D．10条【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出（n﹣2）×180°＝540°，求出边数，再求出对角线条数即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°，解得：n＝5，所以这个多边形的对角线的条数＝5．故选：C．【例3】．（2023春•宣汉县校级期末）一个多边形的内角和与它的外角和的比为3：1，则这个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用多边形的内角和与外角和定理得到[（n﹣2）×180°]：360°＝3：1，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得[（n﹣2）×180°]：360°＝3：1，解得n＝8，即这个多边形的边数为8．故选：A．【例4】．（2023•乐陵市模拟）如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为40°．【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案．【解答】解：正九边形的一个外角的度数为360°÷9＝40°，故答案为：40°．【例5】．（2023秋•黄冈期末）已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为八．【分析】根据多边形的外角和是360°求解即可．【解答】解：∵360÷45＝8（边），∴多边形的边数为八，故答案为：八．【例6】．（2023秋•新化县期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D＝225°．【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可．【解答】解：连接AD，BC，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°，∵∠DEA+∠EAD+∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，∴∠EAD+∠ADE＝180°﹣105°＝75°，∵∠CFB+∠FCB+∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，∴∠FCB十∠FBC＝180°﹣120°＝60°，∴∠DCF+∠ABF+∠EAB+∠EDC＝360°﹣（∠EAD+∠ADE）﹣（∠FCB+∠FBC）＝360°﹣75°﹣60°＝225°，故答案为：225°．【例7】．（2023春•兴隆县期末）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为540度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．【分析】（1）根据多边形内角和公式求出即可；（2）求出∠EAB+∠ABC，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540；（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴∠EAB+∠ABC＝230°，∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．巩固训练1．（2022秋•庄浪县期末）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】由多边形内角和定理，即可求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）×180°＝1800°，∴n＝12．故选：C．2．（2023•桐庐县一模）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的边数与内角和的关系以及任意多边形的外角和等于360度，得180°（x﹣2）＝360°×3，从而解决此题．【解答】解：设这个多边形的边数为x．由题意得，180°（x﹣2）＝360°×3．∴x＝8．∴这个多边形的边数为8．故选：D．3．（2023秋•荆门期末）如图，五边形ABCDE的一个内角，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．100° B．180° C．280° D．300°【分析】由题意可求得与∠BAE相邻的外角的度数，然后利用多边形的外角和列式计算即可．【解答】解：由图形可得，与∠BAE相邻的外角的度数为180°﹣120°＝60°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣60°＝300°，故选：D．4．（2022秋•廉江市期末）已知一多边形的内角和等于1440°，则这个多边形是十边形．【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2），设多边形边数为n，再列方程180（n﹣2）＝1440，解方程即可．【解答】解：设多边形边数为n，由题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10．故答案为：十．5．（2023秋•长沙期末）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是10．【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，解得：n＝10，∴这个多边形的边数是10．故答案为：10．6．（2023春•平湖市期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线条数．【分析】（1）设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，外角和是360°，列出方程，求出n的值即可；（2）根据对角线的计算公式即可得出答案．【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，根据题意，得：（n﹣2）×180°＝360°×2，解得n＝6，答：这个多边形的边数是6；（2）六边形的对角线条数为：×6×（6﹣3）＝9（条），答：这个多边形对角线为9条．题型二平行四边形的性质【例1】．（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（）A．80° B．40° C．70° D．140°【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AB∥CD，则∠A+∠D＝180°，再求出∠A＝40°，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【例2】．（2023•义乌市校级开学）在▱ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，则EF的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD＝3cm，AD∥BC，再由尺规作图后留下的痕迹可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，推出∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，得出AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，由尺规作图后留下的痕迹可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，∴AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝10﹣3﹣3＝4（cm），故选：C．【例3】．（2023•定远县校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC＝AD＝2AB，可判断①，证明∠BAC＝90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB＝2OE，即可判断⑤，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．∵AO＝OC，BE＝EC，∴AB＝2OE，∵AD＝2AB，∴OE＝AD，故⑤正确，故选：D．【例4】．（2023春•舟山期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD和AB上，依次连接EB，EC，FC，FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，则S4＝10．【分析】阴影部分S2是△CDF与△CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被△CDF与△CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．【解答】解：设平行四边形的面积为S，则，由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，∴S＝S△CBE+S△CDF+2+S4+5﹣17，即，解得S4＝10，故答案为：10．【例5】．（2023春•巴中期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为7．【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为22，求出FC的长，即可解决问题．【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB，∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB+BC＝15，∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22，即FC+15＝22，∴FC＝7，故答案为7．【例6】．（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱DCBE，DE交AB于点F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度数．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E；（2）由平行线分线段成比例求得DF的长度，则EF＝ED﹣DF．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝∠C＝65°；（2）∵AD＝3CD，∴＝．∵四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC＝6．∴＝＝．∴DF＝BC．∵BC＝6，∴DF＝．∴EF＝ED﹣DF＝6﹣＝．【例7】．（2023春•鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：BE＝DF；（2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得出△AOF≌△COE，依据全等三角形的性质，可得AF＝CE，即可得到BE＝DF；（2）依据EF垂直平分AC，即可得出AF＝CF，再根据△FDC的周长为16，即可得到DF+CF+CD＝16，则AD+CD＝12，进而得到▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠E＝∠F，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF﹣AD＝CE﹣BC，∴BE＝DF；（2）解：连接CF，∵EF⊥AC，AO＝CO，∴EF垂直平分AC，∴AF＝CF，∵△FDC的周长为16，∴DF+CF+CD＝16，即2+AD+2+CD＝16，∴AD+CD＝12，∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝24．【例8】．（2023•新昌县模拟）如图所示平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF．（1）求证：BE＝DF；（2）连接AF，若AD＝DF，∠ADF＝40°，求∠AFB的度数．【分析】（1）证明四边形BEDF是平行四边形即可解决问题．（2）利用等腰三角形的性质求出∠DAF即可解决问题．【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE∥BF，DE＝BF∴四边形BEDF是平行四边形∴BE＝DF．（2）∵AD＝DF，∠ADF＝40°∴∠DAF＝∠AFD＝70°∵AD∥BC∴∠AFB＝∠FAD＝70°．巩固训练1．（2023•玉环市校级开学）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝DC，故A、C、D错误，不符合题意；故选：B．2．（2023秋•高青县期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2tcm，CF＝tcm，然后分两种情况列方程求出t的值即可．【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．3．（2022秋•张店区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（）A． B． C． D．【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB＝30°，由直角三角形的性质可求DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，即可求解．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠ADC＝105°，∴∠DAB＝75°，∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝75°，∴∠BDA＝30°，∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，∴AH＝2BH﹣BH，∵∠EBA＝60°，∴∠BEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ABE＝45°，∴∠EBH＝45°＝∠BEH，∴BH＝EH，∴DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，∴＝，故选：D．4．（2023春•柯城区校级期中）如图，在▭ABCD中，P是CD边上一点，且AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，若AD＝2.5，AP＝4，则▱ABCD的面积是（）A．6 B．12 C． D．【分析】由平行四边形的性质得CD∥AB，AD∥BC，BC＝AD＝2.5，则∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝∠ABP，∠DAB+∠CBA＝180°，而∠DAP＝∠BAP＝∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝∠CBA，所以∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝90°，则PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5，∠APB＝90°，所以AB＝DC＝5，由勾股定理得BP＝＝3，则S△ABP＝AP•BP＝6，S▱ABCD＝2S△ABP＝12，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，BC＝AD＝2.5，∴∠DPA＝∠BAP，∠CPB＝∠ABP，∠DAB+∠CBA＝180°，∵AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠DAP＝∠BAP＝∠DAB，∠CBP＝∠ABP＝∠CBA，∴∠DPA＝∠DAP，∠CPB＝∠CBP，∠BAP+∠ABP＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，∴PD＝AD＝2.5，PC＝BC＝2.5，∠APB＝90°，∴AB＝DC＝2.5+2.5＝5，∵AP＝4，∴BP＝＝＝3，∴S△ABP＝AP•BP＝×4×3＝6，∴S▱ABCD＝2S△ABP＝2×6＝12，故选：B．5．（2023春•衢江区期末）如图，▱ABCD的面积为18，点E在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为9．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，设AD与BC之间的距离为h，则S▱ABCD＝h•BC，而S△FBE+S△GCE＝h•BE+h•CE＝h•BC，所以S△FBE+S△GCE＝S▱ABCD，即可求得图中阴影部分的面积为9，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，设AD与BC之间的距离为h，则S▱ABCD＝h•BC，∵S△FBE+S△GCE＝h•BE+h•CE＝h•BC，∴S△FBE+S△GCE＝S▱ABCD＝×19＝9，∴图中阴影部分的面积为9，故答案为：9．6．（2023春•浙江期中）如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝30°，BE＝，求∠AED的度数及平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）由已知条件可知△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明；（2）有（1）和给出的条件可求出∠AED的度数，过点A作AE⊥BC于H，根据给出的数据和平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．∴△ABC≌△EAD．（2）解：过点A作AE⊥BC于H，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠EAC＝30°，∴∠BAC＝90°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝90°，∵BE＝2，∴AH＝3，∵AB＝BC，∴BC＝4，∴S四边形ABCD＝3×4＝12．7．（2023春•嵊州市期中）已知：如图，AC，BD是▱ABCD的两条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：EO＝FO．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵OB＝OD，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，∴OE＝OF．8．（2023春•丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，画出一个平行四边形．（1）请用三角板画出一个平行四边形的示意图；（2）若AC＝8，BC＝6，求出你所画的平行四边形两条对角线的长．【分析】（1）由题意画出图形即可；（2）由勾股定理可得出答案；【解答】解：（1）如图所示：方法一：方法二：方法三：（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，方法一（图①）：连结BD交AC于点O，则OB＝＝2，∴对角线，AC＝8．方法二（图②）：对角线AB＝CD＝10．方法三（图③）：连结AD交BC于点O，∴，∴对角线，BC＝6．9．（2023春•余姚市期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过点A作AE⊥CD于点E，且，连接BE，延长EA至点F，连接DF，使∠F＝∠BEC，若AE＝2，求DF的长．【分析】由平行四边形的性质得∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，而∠AED＝90°，则∠EAD＝∠EDA＝45°，所以DE＝AE＝2，再证明∠DAF＝∠BCE＝135°，进而证明△DAF≌△BCE，得AF＝CE＝DE＝1，则EF＝3，即可根据勾股定理求得DF＝＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，AD＝CB，∵AE⊥CD于点E，∴∠AED＝90°，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∴DE＝AE＝2，∵AB∥CD，∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠DAF＝180°﹣∠EAD＝135°，∴∠DAF＝∠BCE，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS），∴AF＝CE＝DE＝×2＝1，∴EF＝AE+AF＝2+1＝3，∴DF＝＝＝，∴DF的长是．10．（2023春•东阳市期中）如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，）．（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；（2）S△PQC＝S▱ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S▱ABCD，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；（3）根据（2）中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，∴AO＝BC＝14，∵点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，），∴点C的坐标为（4，4），平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为（9，2）．（2）根据题意得：S△PQC＝S▱ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S▱ABCD，∴×14×＝×t×4+（14﹣t）×t+×14×（4﹣t）化简得：t2﹣2t＝0，解得：t＝4，即当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．t＝0秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．综上所述，t＝4或t＝0时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．（3）①t＝4时，由（2）知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，根据平行四边形的性质，可知点M1的坐标为M1（18，0），M2（﹣10，0），M3（18，8）．t＝0时，同法可得：M（18，4）或（﹣10，4）或（10，﹣4）．题型三平行四边形的判定【例1】．（2022秋•台江区校级期末）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（）A．两个等腰三角形 B．两个全等三角形 C．两个锐角三角形 D．两个直角三角形【分析】因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．【解答】解：∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，∴只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．故选：B．【例2】．（2023春•鹿城区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定其为平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定方法求解．【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，AB＝CD∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，AD＝BC，∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【例3】．（2023春•东阳市期末）平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可以是（）A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（8，2） D．（2，﹣2）【分析】结合平行四边形性质，利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案．【解答】解：∵平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，∴连接A（0，0），B（2，2），C（6，0）构成△ABC，过△ABC的顶点作其对边平行线，分别交于D1、D2、D3，如图所示：①在平行四边形ACBD1中，CB∥AD1，∵C（6，0），B（2，2），∴C（6，0）向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到B（2，2），∵A（0，0），∴由点的平移可得D1（﹣4，2）；②在平行四边形CABD2中，AB∥CD2，∵A（0，0），B（2，2），∴A（0，0）向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到B（2，2），∵C（6，0），∴由点的平移可得D2（8，2）；③在平行四边形CBAD3中，BA∥CD3，∵B（2，2），A（0，0），∴B（2，2）向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到A（0，0），∵C（6，0），∴由点的平移可得D3（4，﹣2）；综上所述，符合题意的点D1（﹣4，2）、D2（8，2）或D3（4，﹣2）三种情况．故选：D．【例4】．（2023春•柯城区校级期中）在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，2），C（x，2），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝﹣2或4．【分析】由B（1，2），C（x，2）得BC∥x轴，而O（0，0），A（3，0），则BC＝OA＝3，再分两种情况讨论，一是点C在点B左侧，则x＝﹣2；二是点C在点B右侧，则x＝4，于是得到问题的答案．【解答】解：∵B（1，2），C（x，2），∴BC∥x轴，∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（3，0），∴BC＝OA＝3，当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣3＝﹣2，当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+3＝4，故答案为：﹣2或4．【例5】．（2020春•渭滨区期末）如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．【分析】由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况．【解答】解：如图所示：∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三种情况：①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，﹣2）；③当OA为对角线时，点C的坐标为（﹣1，2）；故答案为（3，4）或（1，﹣2）或（﹣1，2）．【例6】．（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3．（1）BC＝10．（2）当AP＝4或12时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）当y＝3时，由3＝2x﹣2，得x＝，则AP＝x＝，CQ＝2AP＝5，所以BC＝2CQ＝10，于是得到问题的答案；（2）由AP∥BE，可知当AP＝BE时，以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，一是点E在边BC上，则x＝10﹣（2x﹣2）；二是点E在CB的延长线上，则x＝2x﹣2﹣10，解方程求出相应的x的值即可．【解答】解：（1）CE＝y＝2x﹣2，当y＝3时，则3＝2x﹣2，解得x＝，∴AP＝x＝，CQ＝2AP＝2×＝5，∵此时Q为BC中点，∴BC＝2CQ＝2×5＝10，故答案为：10．（2）∵AD∥CB，点P在AD上，点E在CB上，∴AP∥BE，∴当AP＝BE时，以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，当点E在边BC上，则x＝10﹣（2x﹣2），解得x＝4，∴AP＝4；当点E在CB的延长线上，则x＝2x﹣2﹣10，解得x＝12，∴AP＝12，故答案为：4或12．【例7】．（2022春•金华期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，3），C（0，4）．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；（2）由平行四边形的性质可得出答案．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝42+32＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形；（2）如图，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，∴D1（0，﹣1），D2（﹣4，1），D3（4，7）．即D点坐标为（0，﹣1）或（﹣4，1）或（4，7）．【例8】．（2023春•柯桥区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长至点E，使FD＝DE，连接BF，CE和BE．证明：四边形BECF为平行四边形．【分析】根据等腰三角形的性质得出BD＝CD，根据FD＝DE，得出BC、EF互相平分，根据平行四边形的判定方法得出四边形BECF为平行四边形．【解答】证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵FD＝DE，∴BC、EF互相平分，∴四边形BECF为平行四边形．【例9】．（2022春•吴兴区校级期中）四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过O点作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的判定和性质得出AO＝CO，进而利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，在△AEO与△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．巩固训练1．（2023春•西湖区期中）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①③；（2）两组对边相等②④；（3）一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合．【解答】解：依题意得有四种组合方式：（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．故选：C．2．（2023春•方城县期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形．其依据是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】由题意可知，AD＝BC，CD＝AB，再由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论．【解答】解：由题意可知，AD＝BC，CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：B．3．（2022春•海曙区期中）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），点D在直线y＝﹣1上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（﹣，﹣1），（0，﹣1），（2，﹣1）．【分析】需要以已知线段AB为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点D坐标．【解答】解：设D（n，﹣1），∵A（﹣1，1），B（3，2），C（2m，3m+1），∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：①若四边形ABCD为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得，∴D（﹣，﹣1）；②若四边形ADBC为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得，∴D（0，﹣1）；③若四边形ABDC为平行四边形，对角线中点坐标为：（，0）或（，），∴，解得，∴D（2，﹣1）．综上，点D坐标为（﹣，﹣1），（0，﹣1），（2，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣1），（0，﹣1），（2，﹣1）．4．（2021春•余姚市校级期中）在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为3个．【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格结构的特点找出平行四边形即可得解．【解答】解：如图所示：图中平行四边形有▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC共3个．故答案为：3．5．（2021春•乾安县期中）如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，选择一个条件添加，使四边形DEBF是平行四边形可添加的条件有②③④（写出所有正确条件的序号）【分析】通过证明三角形全等，得出四边形DEBF的一组对边平行且相等，即可得出是平行四边形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，不能证明四边形DEBF是平行四边形；②∠ADE＝∠CBF时，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；③AF＝