【八年级下册数学湘教版】第一章 直角三角形（单元重点综合测试）

第一章直角三角形（单元重点综合测试）（考试时间：120分钟；满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（本题3分）（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列四组数中，可以作为直角三角形的三边长的一组是（

）A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，12，13 D．8，10，122．（本题3分）（2023上·甘肃平凉·八年级校考期中）如图，点P是的平分线上一点，，若，则点P到边的距离是（）A．4 B． C．2 D．13．（本题3分）（2022上·吉林长春·八年级统考期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（）A．中， B．中，，C．中， D．中，三边之比为4．（本题3分）（2024上·河南南阳·八年级校联考期末）在中，，，，则点到的距离是（

）A． B． C． D．5．（本题3分）（2023上·浙江·八年级期末）如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（）A．1 B．2 C．4 D．36．（本题3分）（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（

）A． B． C． D．7．（本题3分）（2024上·新疆喀什·八年级统考期末）在中，平分，交于D，E是上一点，，交于F．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．（本题3分）（2023上·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（

）A．15 B．30 C．45 D．609．（本题3分）（2019下·八年级单元测试）如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则AB与CD之间的距离是（）A．2 B．4 C．6 D．810．（本题3分）（2023上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（

）A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上）11．（本题3分）（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________.12．（本题3分）（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，是的中线，，，则的度数为________．13．（本题3分）（2024上·宁夏银川·八年级校考期末）如图，长方形的边在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为______．14．（本题3分）（2019下·八年级单元测试）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．

15．（本题3分）（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．若，，则________．16．（本题3分）（2024上·河南南阳·八年级校联考期末）如图，在中，，，是BC的中点，是边上的一个动点，则的最小值是______．

17．（本题3分）（2019·浙江绍兴·校联考一模）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为_____．18．（本题3分）（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有_____．（填序号）三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分EF．20．（本题6分）（2022上·江苏南京·八年级南京市第一中学校考阶段练习）一架梯子长25m，底部长7m，斜靠在墙，若梯子下滑了4m，问梯子底部滑动了多少米?21．（本题8分）（2023上·广西南宁·八年级校考期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，(1)求证：；(2)若，求的度数22．（本题8分）（2023上·广西南宁·八年级三美学校校考阶段练习）已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．(1)求的度数；(2)如果，，求四边形的周长．23．（本题9分）（2024上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．(1)求的度数；(2)若，求的长．24．（本题9分）（2023上·广东潮州·八年级统考期末）如图，是边长为的等边三角形，动点同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为点P每秒，点Q每秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，为等边三角形；(2)当t为何值时，为直角三角形．25．（本题10分）（2024上·广东佛山·八年级校考期末）综合与实践【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的取3）素材1

如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）素材2

如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：圆柱高度沿路线一路程x沿路线二路程y比较x与y的大小51110.34109.853a9.49b（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?26．（本题10分）（2022下·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C，P是线段BC上一点，PA=PD，且∠APD=90°．(1)如图1，若∠B=∠C=90°，求证：AB+CD=BC；(2)如图1，若∠B=∠C=90°，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明；(3)如图2，若∠B=∠C=45°，且PB=PC，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想即可，不需要证明．

第一章直角三角形（单元重点综合测试）答案全解全析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（本题3分）（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列四组数中，可以作为直角三角形的三边长的一组是（

）A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，12，13 D．8，10，12【答案】C【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．【详解】解∶A．∵，∴2，3，4不可以作为直角三角形的三边长；B．∵，∴3，5，7不可以作为直角三角形的三边长；C．∵，∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长；D．∵82+102≠122，∴8，10，12不可以作为直角三角形的三边长；故选：C．2．（本题3分）（2023上·甘肃平凉·八年级校考期中）如图，点P是的平分线上一点，，若，则点P到边的距离是（）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答．【详解】如图，作于E，∵点P是的角平分线上一点，，∴，故选：C．3．（本题3分）（2022上·吉林长春·八年级统考期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（）A．中， B．中，，C．中， D．中，三边之比为【答案】A【分析】根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可；【详解】A、中，，设，则：，解得：，∴，∴不是直角三角形，符合题意；B、中，，则：，∴，∴是直角三角形，不符合题意；C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；D、中，三边之比为，设三角形的三边长分别为：，∵，∴是直角三角形，不符合题意；故选A．4．（本题3分）（2024上·河南南阳·八年级校联考期末）在中，，，，则点到的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解题的关键是正确的运用勾股定理．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角形的面积为定值求解即可．【详解】解：设点到的距离为，在中，，则有，，，，，故选：A．5．（本题3分）（2023上·浙江·八年级期末）如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（）A．1 B．2 C．4 D．3【答案】A【分析】本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．根据折叠的性质，，，又，可知，据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知．【详解】解：∵，∴，根据折叠的性质，，∴，∴，∵，∴．故选：A．6．（本题3分）（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，如果正方形和正方形的面积分别为和，那么正方形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解题的关键．【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和，∴，，∵，∴，∴正方形的面积为，故选：．7．（本题3分）（2024上·新疆喀什·八年级统考期末）在中，平分，交于D，E是上一点，，交于F．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角定理以及角平分线的性质．根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答【详解】解：∵，∴，∵∴∵是的一个外角，∴，∵平分，∴，∴，故选：A．8．（本题3分）（2023上·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（

）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，过点作于，根据题意可知平分，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于．由题意可知：平分，∵，，即，∴，∵，∴的面积，故选：B．9．（本题3分）（2019下·八年级单元测试）如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于E，若OE＝2，则AB与CD之间的距离是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4．故选B．10．（本题3分）（2023上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（

）A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤【答案】B【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；②证明，推出，再证明，推出即可判定；③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；④由，利用等高模型即可判定．⑤可以证明，据此即可判定；【详解】解：①在中，，，又、分别平分、，，，，，故①正确；②，又，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故②正确；③若平分，则，，，，，这个与已知条件不符，故③不正确，④，，，，，，，，，，即，故④正确；⑤，故⑤不正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上）11．（本题3分）（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________.【答案】【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案．【详解】解：和有一条公共直角边，根据“”证明，应添加的直接条件是．故答案为：．12．（本题3分）（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，是的中线，，，则的度数为________．【答案】/度【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质解决问题即可．【详解】解：是斜边的中线，，．是的一个外角，，．．故答案为：．13．（本题3分）（2024上·宁夏银川·八年级校考期末）如图，长方形的边在数轴上，点A表示数0，点B表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点E，则点E表示的数为______．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，先利用勾股定理求出，再由数轴上两点距离计算公式即可求出答案．【详解】解：由题意得，，∴，∴，∴点E表示的数为，故答案为：．14．（本题3分）（2019下·八年级单元测试）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．【答案】3【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.【详解】∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，∴,,∴DO=AO=3.故答案为3.15．（本题3分）（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．若，，则________．【答案】2【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，从而证明，得，从而解决问题．【详解】解：∵平分，∴，∵且平分，∴，∴，∴，同理可证，∴，∴，∴，故答案为：2．16．（本题3分）（2024上·河南南阳·八年级校联考期末）如图，在中，，，是BC的中点，是边上的一个动点，则的最小值是______．

【答案】【分析】本题主要考查了轴对称—路径最短问题，解题的关键是确定动点在何位置时，使的值最小．过点作于，延长到，使，连接交于，此时的值最小，由对称性知，得到，根据勾股定理即可求解．【详解】过点作于，延长到，使，连接交于，此时的值最小，

是BC的中点，，连接，由对称性知，，，，，根据勾股定理可得：，故答案为：．17．（本题3分）（2019·浙江绍兴·校联考一模）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为_____．【答案】16【分析】根据等腰直角三角形的性质进行分析，可得到边的长度特点.【详解】解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA＝1，∴AA1＝OA＝1，OA1＝OA＝；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4．∵△OA5A6为等腰直角三角形，∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．∴OA8的长度为＝16．故答案为16．18．（本题3分）（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有_____．（填序号）【答案】①②③⑤【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余等知识，证明是解答本题的关键．根据可证明可判断①；求出可判断②；利用全等三角形的性质可判断③；无法判断④正确；利用三角形的面积公式可判断⑤．【详解】解：如图，∵，，，∴，故①正确；∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，故③正确；无法证明，故④不正确；∵，∴四边形的面积，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别是和的高，求证：垂直平分EF．【答案】见解析【分析】本题考查角平分线的性质定理和垂直平分线的判定定理，利用角平分线的性质得到，从而得到点D在的垂直平分线上，再利用证明，可知，得到点A在的垂直平分线上，从而得证，掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．【详解】证明：∵平分，，，∴，∴点D在的垂直平分线上．∵，∴，在和中，，∴，∴．∴点A在的垂直平分线上．又∵点D在的垂直平分线上．∴是线段的垂直平分线．20．（本题6分）（2022上·江苏南京·八年级南京市第一中学校考阶段练习）一架梯子长25m，底部长7m，斜靠在墙，若梯子下滑了4m，问梯子底部滑动了多少米?【答案】8米【分析】首先表示出CO长，然后再利用勾股定理在直角中表示出长，再用可得长．【详解】∵梯子长25m，底部长7m∴m∵梯子的顶端下滑了4米，∴m，∵m，∴m，∴15m，∵m，∴（m），故窗子底端向外滑动了8m．21．（本题8分）（2023上·广西南宁·八年级校考期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，

(1)求证：；(2)若，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：（1）先证，再证即可；（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：，，和是直角三角形，，，即，在和中，，；（2）解：，，，，．22．（本题8分）（2023上·广西南宁·八年级三美学校校考阶段练习）已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．(1)求的度数；(2)如果，，求四边形的周长．【答案】(1)(2)10【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、直角三角形的特征、等腰三角形的判定及性质：（1）利用等腰三角形的判定及性质得，再根据角平分线的性质得，进而可求解；（2）利用角平分线的性质得，再利用得，进而可得，，进而可求解；熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】（1）解：，且，，，是的角平分线，，，,．（2）是的角平分线，且，，，在和中，，，，，，，四边形为：．23．（本题9分）（2024上·北京朝阳·九年级统考期末）如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．(1)求的度数；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到；（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可．【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，由旋转的性质可得：，，，即，，，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，在中，根据勾股定理．24．（本题9分）（2023上·广东潮州·八年级统考期末）如图，是边长为的等边三角形，动点同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为点P每秒，点Q每秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，为等边三角形；(2)当t为何值时，为直角三角形．【答案】(1)；(2)t为或时.【分析】本题主要考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的性质：（1）由题意可知，，当为等边三角形时，则有，即，可求得t；（2）当时，在中，，可得；当时，可得，可得分别求得t的值即可．【详解】（1）由题意可知，则，当为等边三角形时，则有，即，解得，即当时，为等边三角形；（2）当时，∵°，∴，在中，，即，解得；当时，同理可得，即，解得，综上可知当t为或时，为直角三角形．25．（本题10分）（2024上·广东佛山·八年级校考期末）综合与实践【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的取3）素材1

如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）素材2

如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：圆柱高度沿路线一路程x沿路线二路程y比较x与y的大小51110.34109.853a9.49b（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?【答案】（1）作图见解析，，二（2），

（3）r=45h【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．（1