2022年新高考数学基础训练专题31 直线与方程(解析版)

专题31直线与方程

一、单选题

1.已知直线+++贝lj“a=3”是f14”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

结合两直线的位置关系以及充要条件的概念即可判断.

【详解】

4_L《Q(aT)。-2〃=0=。=0或”=3,由于所以a=3,

由充要条件的概念可知选C.

故选：C.

2.已知直线y=x+〃2与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切，则机的值为()

A.3或-1B.1或-3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】

利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.

【详解】

圆(1-2)、(尸3)2=2的圆心为(2,3),半径为近,因直线丁=工+〃呜圆(x-2『+(y-3)2=2相切，

则点(2,3)到直线工—)，+机=0的距离为1=生浮1=&,整理得|加-1|=2,解得加=3或6=-1,

所以用的值为3或-1.

故选：A

x+y>\,

3.若％,5满足约束条件卜一”-1,,则目标函数z=|x-2y+l|的取值范围是()

2x-y<2,

A.[2,4]B.[1,4]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】c

【分析】

先画出可行域，再根据z=k-2y+l|的儿何意义结合图形求解.

【详解】

x+y之1

z=k-2y+l|=石•团曾』，其几何意义为可行域内

作出约束条件之-1,表示的可行域如图所示,

2x-y<2

X-y=-]

的点到直线“-2），+1=0的距离的6倍.由>解得A（3,4）.由图可知，z的最大值为点4（3,4）到直

线x-2y+l=0的距离的6倍，即为4；因为直线x-2y+l=0与可行域有公共点，所以z的最小值为0.

故选：C

4.若点P（-2,-1）为圆/+尸=9的弦48的中点，则弦AB所在直线的方程为（）

A.2.v+y+5=0B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0D.2x-y-5=0

【答案】A

【分析】

圆f+y2=9的圆心。（0,0）,由给定条件结合圆的性质可得OP_LA8,求出直线。尸斜率即可计算作答.

【详解】

依题意，圆f+炉=9的圆心0（0,0）,因点尸（一2,-1）为圆f+y2=9的弦AB的中点，

则有0PJ_A8,而直线OP斜率为于是得直线4B斜率砥B=-2,又直线过P,因此有

y+1=-2（x+2）,即2x+y+5=0,

所以弦48所在直线的方程为2x+y+5=0.

故选：A

5.在平面直角坐标系xQy中，圆C：（x-iy+y2=4,若直线/：x+y+w=O（；n>0）上有且仅有一点A

满足：过点A作圆。的两条切线AP,AQ,切点分别为尸，Q,且使得四边形4PC。为正方形，则机的值

为（）

A.|B.272C.3D.7

【答案】C

【分析】

设A（4，%）结合题设易知C0,O）、\AC\=2y/2,要使条件满足有直线/与圆"-1）2+产=8相切，应用点线

距离公式求用的值即可.

【详解】

圆C：（x—iy+y2=4的圆心。0,0）,半径厂=2,

设则与+为+山=0,又四边形APC。为正方形，易知|AC|=2&,

・・・（"）2+N：=8，

由题意得：直线/与圆（X-1）2+V=8相切，则圆心（1,0）到直线”+），+加=0的距离为2近，

冲以,

解得机=3或m=-5（舍去）.

故选：C.

6.己知抛物线丁=8工的准线为/,点尸是抛物线上的动点，直线4的方程为2x-y+3=0,过点P分别作

PM11,垂足为M,PNJJ、,垂足为N,则1PM+归川的最小值为（

A.西B.辿

55

c.6D.2+在

5

【答案】B

【分析】

令抛物线焦点为凡利用抛物线定义可得IPM+IPMUPC+IPNI,再求点尸到直线人的距离即可.

【详解】

令抛物线y2=8x的焦点为凡则尸（2,0）,连接PF,如图,

因/是抛物线V=8x的准线，点尸是抛物线上的动点，且于是得IPMHP用,

|2X2-04-3|7石

点尸(2,0)到直线八2x—y+3=0的距离d=

6+㈠产

又PN14于N,显然点P在点产与N之间，于是有|「根+〔叫=尸用+1尸%|之〃，当且仅当忆P,N三点

共线时取“=”，

所以+|/W|的最小值为d=辿.

故选：B

7.已知圆C:(x-2)2+(y-3尸=2,直线/过点43,4)且与圆。相切，若直线/与两坐标轴交点分别为M,N,

则刖卜()

A.5及B.6C.JyfiD.8

【答案】C

【分析】

由点43,4)在圆上，所以点A为切点，利用圆的切线和圆心于切点的连线垂直，可求得斜率，利用点斜式即

可求得切线方程，再求点M,N的坐标，利用两点间距离公式即可得解.

【详解】

易知43,4)为切点，所以AAC=1，

所以直线，的斜率为-1,

所以-x+7,

令M(0,7),N(7,0),则|MN|=7近,

故选：C.

8.若直线工一5+。=0与圆/+产=2相交于A,B两点，且ZAO8=12(r(O为原点)，则1。1的值为()

A.IB.应

C.2D."

2

【答案】A

【分析】

由题意可知，圆心角NAOB=120°,过圆心作直线x-y+a=O的垂线，交点为C,那么△AOC是直角三角

形，即可求出答案.

【详解】

过圆心作直线X-y+a=O的垂线，交点为C,那么△AOC是直角三角形，其中乙40c=60、

..ZOAC=30\/.0C=—»

2

又圆心（0,0）到直线的距离为d=［招J=李，

解得同=1.

故选:A.

9.自点4（-2,1）发出的光线/经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M丁+/一4工-6,，+9=0相切，则

反射光线所在直线的所有斜率之和为（）

48

A.-B.2C.-D.4

33

【答案】C

【分析】

求出圆心与半径，点A关于x轴的对称点的坐标，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可

求得结论.

【详解】

|员|”:一+)尸一41—6>+9=0可化为*-2)2+(丁-3)2=4,

圆心为M(2,3),半径为r=2.

点A(-2,l)关于x轴对称的点为4(-2,-1),

所以设反射光线所在直线的方程为y+1=%*+2),即丘-y+2%-1=0.

由反射光线正好与圆“相切，得|2.一：：2:1|二2,

迎一+1

即3公-84+3=0,解得&=--,k2=4+",

'3^3

T-B>,>4->/74+>/78

十是4+k=--—+---=-•

333

故选：C.

10.已知宜线4：(3+2/l)x+(4+2)y+(-2+22)=0(2GR),/2：x+y—2=0,若“4，则4与4间的距

离为1)

A.也B.72C.2D.2yli

【答案】B

【分析】

由直线平行的结论列方程求>1,再由平行直线的距离公式求两直线的距离.

【详解】

.....3+224+4—2+24&力3人

由〃〃2得/Fq「一二1—/——＞解得义=1，

II—2

所以直线6：5x+5y=0,即x+y=0,

所以4与4间的距离为"=m=0，

故选B.

11.已知aeR,设函数=lnx+1的图象在点(1J(I))处的切线为/,则，过定点()

A.(0,2)B.(1,0)C.(IM+1)D.3D

【答案】A

【分析】

根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解

【详解】

由，(/)=如一1门+1=/")=〃一5=故过(1J(D)处的切线方程为：

y=(a-l)(x-l)+a+l=(a-l)x+2,故/过定点(0,2)

故选：A

【点睛】

本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题

12.设曲线y=已在点(3,3)处的切线与直线融+严1=0平行，则。等于()

x—2

A.*B.2C.—D.—2

【答案】B

【分析】

利用导数求出曲线y=7^在点(3,3)处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数。的值.

【详解】

V,x-2-x2

对函数二三求导得)

由已知条件可得F=y'|m3=—2,所以，,7=2.

故选：B.

13.已知M为圆a-1尸+)，2=2上一动点，则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值是()

A.0B.2&C,3&D.4a

【答案】C

【分析】

求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,由d+r即可求解.

【详解】

•••圆(汇-1)2+产=2,・・・圆心(1,0),半径,=

・•・圆心到直线的距离d=%=2拒，

，圆(T-lF+y?=2上的点到直线x-y+3=0的距离最大值为2&+&=3应，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题.利用圆的几何性质是解题的关键.

14.若AB是双曲线=1（〃>0力>0）上关于原点对称的两点，点P是双曲线C的右支上位于第一

象限的动点，记PAP8的斜率分别为且始内=4,则双曲线C的离心率为（）

4

A.更B.3C.72D.6

22

【答案】A

【分析】

由点差法和直线的斜率公式，推得。力的关系，即可求得双曲线的离心率.

【详解】

设P（s,f）,A（m,n）,则,

由题可知，:/=1，/4=1

两式相减得：;婴==匚，即

ab-s-m'a~

f-j],,t—nt+nt2—n2b21

又匕t飞t二7，即Hn4•&2=---------=--r=-=7

4s-ms+ms-m~a~4

所以双曲线C的离心率为e=£=Jl+B=^~

a\a22

故选:A

【点睛】

方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离

心率有以下几种情况：①直接求出"J从而求出仁②构造的齐次式，求出仁③采用离心率的定义以

及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.

15.已知双曲线《一《=1的左、右焦点分别为月，工，点则的平分线的方程为（）

45k2；

A.3x-2y-4=0B.3x-4y+4=0

C.4工-6y+3=0D.2x-6y+9=0

【答案】A

【分析】

先依题意判断「入，耳耳，设/匕尸鸟的平分线交x轴于设NMP玛=6,计算tan26=tanN片P玛=3I?,

2

求得tan9=：,即得角平分线所在直线PM的斜率，再根据点斜式写直线方程即可.

【详解】

如图，依题意知”（一3,0）,7^（3,0）,而点O在双曲线L故〃"4G，

I尸周=|，忻用=6.

设/石尸鸟的平分线交x轴于M,设NMP月=夕，则/月尸6=2ee|。,1

6n

有lan2e=tan/"P用=5=旨，即2tan。12八（八万7T1

----5—=一，°，二，

l-tan26>5I4；

2

213

化简解得tan。,故的平分线所在直线PM的斜率k=tanNPMF?=--=^

3tan。2

所以N^P6的平分线的方程为y-|S=五2.一3）,即3x-2），-4=0.

故选：A.

16.已知抛物线V=2p.y（p>0）的焦点为上直线/为准线，点E在抛物线上.若点E在直线/上的射影为。,

且。在第四象限，l"Q=2p,则直线庄:的斜率为（）

A.理B.3C.eD.1

【答案】A

【分析】

根据题意先确定出E点所在象限，然后作出图示，根据归。|的长度以及抛物线的定义确定出E点坐标，由

此可求直线斯的斜率.

【详解】

因为E在/上的射影点。在第四象限，所以E在第一象限，设/与V轴的交点为“点，如下图所示：

因为=|叫=2〃，所以COSNMR2=嚅1=3,所以/MFQ=60。，

又因为EQ〃y轴，所以乙0/。=/62七=60。,

又因为I样归国,所以△£产、为等边三角形，所以

3r

所以％=/一5，=G,所以直线E尸的斜率为乂之,

"岛-033

17.“直线以+2y+4=0与直线x+(a—l)y+2=U平行”是“a=-l”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】

根据两直线平行得到。=2或。=-1,再利用充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

当直线奴+2)，+4=0与直线x+(a_l)y+2=0平行,

lx2-(a-l)a=0,

解得〃=2或a=-l,

当。=2,直线2x+2y+4=0和直线x+y+l=O重合，舍去，所以。=T.

根据充分条件、必要条件的定义可得，

“直线at+2y+4=0与直线x+(a-l)y+2=0平行”是的充分必要条件

故选：C

18.已知集合人={(乂)，)卜+少一々=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y_l=O卜若力0§=0，则实数。=()

A.3B.-1C.3或一1D.一3或1

【答案】A

【分析】

将问题转化为“直线k十。-〃-0与直线6+（2。十3）y-1-0互相平行，由此求解出。的取值.

【详解】

因为403=0,所以直线“+4-〃=0与直线方+（加+3）y-l=0没有交点，

所以直线x+a）-”0与直线以+（方+3））」1=0互相平行，

所以1x（勿+3）-axa=0,解得。=一1或a=3,

当。二一1时，两直线为：x-y+l=0,-A+y-l=0,此时两直线重合，不满足，

当。=3时，两直线为：x+3y-3=0,3x+9y-l=0,此时两直线平行，满足，

所以。的值为3,

故选：A.

19.已知6,尸2是双曲线■-与■目叱。，“。）的左，右焦点，过点6作斜率为正的直线/与双曲线的左，

a'b"2

右两支分别交于“，N两点，以尸2为圆心的圆过M，N,则双曲线C的离心率为（）

A.0B.百C.2D.75

【答案】B

【分析】

取MN中点A,连令由双曲线定义及所给条件可得|Ag|=j4c2-加=血1/,

再借助直线斜率为立即可作答.

2

【详解】

取MN中点A,连A&,由已知令I"居l=|N^|=机，则如图：

因点M,N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得|=|"吊|-2a=m-2a,|.|二|纥|+24=〃?+2a,

则|MN|=|岫|-1M《|=4a,|MA\=2a,令双曲线半焦距为c,

RtZXAKE中，|二町|丹玛|=J4c2—62,RsAM八中，|伤|=金—政,

则有媾-4/=J4c2一府，即〃=2a2+2/，

因直线/的斜率为tanZ.AFF^=,而tan4月5J《：|，即|々|=，

2X2加1||A用2

窗;=：,于是有，「；"，=；，c=6a，e=-=y/3,

|44「22c~+2a~2a

所以双曲线C的离心率为上.

故选：B

20.平行直线h&x-），-1=0和自立工->2=0与圆及产少-4），=0分别相交于4、B和C、。四

点，则四边形A8OC的对角线4。的长度为（）

A.3B.2石C.36D.3yli

【答案】B

【分析】

先求出圆心到直线乙的距离和两直线之间的距离相等且为有，AB弦长为2,然后利用勾股定理来求对角线

AD的长度.

【详解】

由V+y2_4y=o,得/+（）,_2）2=4,所以圆心坐标为（0,2）,半径r=2,

_|0-2-1|_厂

圆心E到直线4的距离d=J（可+-=、3,

所以（弊］+（6『=/，所以|蜴=2,

\/

过点A作4/_LCO于点尸，则|。耳=3,又4过圆心E，所以=d=G

所以|AO『=（6y+32=12,即|AD|=2点.

故选：B.

21.对圆V+y2=］上任意一点p（x,y）,若国_4,，+4_段-4〉-9|的值都与1,>无关，则实数。的取值

范围是（）

A.a<-5B.-5<a<5

C.aW-5或a25D.a>5

【答案】A

【分析】

将|3工-4），+4-|3工一4），一9|转化为5|3x-；y+q」3x；y9|［然后根据几何意义进行解题即可.

【详解】

|3x_4y+4_|3x_4y_9|=5，，：）+4_跳：）9|等价于圆=］上任意一点P（x,y）到直线

3x-4y+a=0和直线3A4y9=0的距离的差的5倍，而距离之差与万，丁无关，则直线3x-4），+a=0与

圆相切或相离，且与直线力-4-9=0位于圆的同侧，所以4L1,即或心-5,由于直线3x-4y+a=0

与直线3x-4），-9=0位于园/+）,2=i的同侧，所以。《_5

故选:A.

22.已知两点”（1,3）、N（-2,-3）,在曲线上存在点P满足1MH=W”的曲线方程是（）

A.2.r+4y-l=0B.x2+y2=

C.工+f=iD.£-丁=1

22

【答案】C

【分析】

本题首先可根据|网=|必得出点P在线段MN的中垂线上，然后求出线段MN的中垂线方程为

2x+4y+l=0,最后依次判断四个选项对应的曲线是否与2%+4y+l=0有交点即可得出结果.

【详解】

因为点P满足|网=|八叼，所以点尸在线段MN的中垂线上，

线段MN中点坐标为J［。］,KMY=3W=2,中垂线的斜率&=-），

\2

故线段MN的中垂线方程为1y二-3至+3,UP2x+4y+l=0,

因为由线上存在点P满足|M"二|NH,所以曲线与2x+4,，+l=0有交点，

A项：2x+4y-1=0与2%+4），+1=0平行，A错误；

B项：f+y2=］,圆心为（0,0）,半径为:，

I员I心(。,o)至IJ2x+4y+1=0的距离d=-1J=-

yli2+42105

故圆f+y2=《与2x+4｝，+l=0相离，B错误；

—+f=i

C项：联立|2,整理得18y2+8y-3=0,

2x+4y+l=0

D=8?-4创8(-3)=280>0,有解，C正确：

J』

D项：联立J2,整理得14y2+8y+5=0,

2x+4y+l=0

D=82.4仓445=-216<0*无解，D错误，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查点的轨迹方程，能否根据|网=|叫得出点p在线段MN的中垂线上是解决本题的关

键，考查直线与直线、直线与圆的位置关系，考查判别式的应用，考查计算能力，体现了综合性，是中档

题.

19

23.已知直线依->'+2攵-1=0恒过定点A,点A也在直线如:+”+2=0上，其中小，〃均为正数，则一+-

tnn

的最小值为（）

A.2B.4C.8D.6

【答案】B

【分析】

先将直线方程变形得到定点A的坐标，根据点A在直线mr+〃y+2=0上确定出血〃所满足的关系，最后根

据“1”的妙用求解出上+4的最小值.

mn

【详解】

已知直线+2攵一1=0整理得：y+l=k（x+2）,

直线恒过定点A,即A（—2,—1）.

点A也在直线小++2=0上，

所以2加+〃=2,整理得：m+]=l，

>

由于切，〃均为正数，Wijl+-=L+-Yl+-I=1+—+—+1>2+2./—•—=4,

mn\2J^rnn)2tnnV2mn

n-2m1

m=—

〃「即2,

w+-=li

2l〃=l

故选：B.I

【点睛】

方法点睛：已知m+yb=l（x,y,a,力>0）,求（见〃>0）的最小值的方法：

将失、变形为（M+利会》将其展开可得皿+/+”吧+加吟，然后利用基本不等式可求最小值'

abxa+)方=1

即xm+yn+xn•—+ym--xm+yn+2y]xymn,取等号时｛

b-axncT-ynib2

24.已知。>0.人>0.百线4：x+(a-4)y+l=0,4：2fer+y-2=0,日4_L4.则注+上的最小值为()

a+12b

49

A.2B.4C.-D.-

55

【答案】D

【分析】

根据得到处+。-4=0,再将史）+上化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

因为乙_L4，所以力+〃-4=0,即a+l+⑦=5,

因为〃>0,b>0,所以a+l>0,2b>0,

所以

1ArIc,\,2ba+

-L±+——x-(a+l+2Z))+l=-2+---++1

。+12ba+1+2ba+\"2b'J55va+\2b

当且仅当〃=3方=彳5时，等号成立.

故选：D.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

（1）“一正二定三相等一正''就是各项必须为正数;

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值：

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

25.若点Q是曲线y=x2-lnx-1上任意一点，则点尸到直线y=工-3的最小距离为（）

A.1B.也C.y/2D.2

2

【答案】C

【分析】

由已知可知曲线y=/—lnx-l在点尸处的切线与直线y=x-3平行，利用导数求出点P的坐标，利用点到

直线的距离公式可求得结果.

【详解】

因为点P是曲线y=x2-lnx-l任意一点，所以当点尸处的切线和直线y=x-3平行时，点尸到直线的

y=x-3的距离最小，

因为直线丁=工一3的斜率等于1,曲线y=V—inx_1的导数y，=2x-1，

x

令y'=l,可得工=1或k=-；（舍去），所以在曲线y=/-inx-1与直线y=x-3平行的切线经过的切点坐

标为（1,0），

所以点p到直线丁=工-3的最小距离为1=早=&.

V2

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点尸处的切线

与直线平行，进而利用导数求解.

26.已知直线《：2x+ay+b=0和/”3x+3y+b+l=0,则“a=2”是“4色”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

根据〃=2和"〃2的互相推出情况确定出“0=2”是“"〃2”的何种条件，求解时注意分析两直线重合的情况.

【详解】

当4=2时，li：2x+2y+b=0,4：3%+3y+力+1=0,若方=2,此时44重合，所以充分性不满足：

当时，2x3=3xa且2（6+1）工3b,所以。=2且力工2,所以必要性满足，

所以％=2”是“"4”的必要不充分要条件，

故选：B.

【点睛】

结论点睛：已知4：A%+4），+q=0,4：4r+Ay+G=0；

若帆,则有A员一4片=0月.AC2-4C产0.

27.已知点P在曲线y=4叵上，。为曲线在点P处的切线的倾斜角，则。的取值范围是（）

e+1

（八江］c「加7rl厂（兀2乃］r「24）

A.0,—B.—C.—D.

I3」［32）123」L3）

【答案】D

【分析】

首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范

围.

【详解】

.，［~4庇-4上

因为）‘―西『一:7与，

由于"+4+2工4,

e

所以

根据导数的几何意义可知：tan1-73,0）,

所以-，乃）,

故选：D.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的

考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数

求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的

优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

二、填空题

10

28.设是正数，若两直线4：(6-1)%+(3-2〃?)"1=0(〃7的和/2：水+外+2=0恒过同一定点，则；+,

的最小值为.

【答案】4

【分析】

根据直线4方程求出4所过定点坐标，将定点坐标代入4的方程可得物+人=2,将!+>3(2”+3仁+。

展开利用基本不等式即可求解.

【详解】

百•线4的方程可化为乙：小(工一2｝，)一工+3)叶1=0.

显然该直线恒过两直线1-2丁=0和T+3J+I=0的交点,

x-2y=0x=-2

可得«

T+3），+1=0

所以直线小(加一1)1+(3-窃z)y+l=0(meR)恒过点(-2,T),

所以点(-ZT)也在直线4上，故-加-b+2=0,即加+8=2.

因为明方是正数，所以

2a+b=2

当且仅当4ab，即4=!，b=l时等号成立，

—=—2

ba

故答案为：4.

29.在三棱锥产一ABC中，PALAB,PA=4,PC=2,AB=3t二面角尸-AB-C的大小为30°,在侧面△A48

内(含边界)有一动点M,满足到PA的距离与到平面48C的距离相等，则动点M的轨迹的长度为

【答窠】卓

【分析】

如图，先作出二面角尸-AB-C的平面角NMQO,进而得到MQ=2MN,再建立如图所示的平面直角坐标

系，可得直线AM的方程为)=2x,从而求出M的轨迹的长度.

【详解】

解：如图，过“作的V_LPA于N.MO_L平面于O.

过0作OQJ.A8于Q,连接M。，

则NMQO为二面角尸-AB-C的平面角，

由NMQO=30°,

得MQ=2MO.

又MO=MN,所以MQ=2MN,

在△AAB中，以A8所在直线为x轴，在所在直线为丁轴建立平面直角坐标系,

则直线40的方程为y=2x,

直线M的方程为4x+3y—12=0,

所以百线AM与依的交点坐标为幻|.装)，

所以M的轨迹为线段AR,

长度为椁2+单二竿.

故答案为：竽.

【点睛】

关键点点睛：本题关键为利用二面角得出结论MQ=2MN后建立平面直角坐标系求解，方法比较少见，利

用直角坐标系求得直线总的方程后顺利求得宜线AM与总的交点坐标，将问题转化为求线段4R得长度,

问题解决.

30.已知函数f(x)=lnx+f,点。为函数〃力图象上一动点，贝”到直线J=3x-4距离的最小值为

.(注In2之0.69)

【答案】典

5

【分析】

求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即

可求解.

【详解】

解：j'(x)=—(x>0),

与直线y=3x-4平行的切线斜率A=3=2+2x,解得X=1或X=

x2

当x=l时，/(1)=1，即切点为(U)，

此时点P到直线。=34-4的距离为d」3-匚4|=典;

V105

当x=g时,卜2,即切点为e，：7n2)

3I...]]

此时点P到直线y=3x-4的距离为d=5一*+加2-4彳―11120j41n2)后二国,

M-M-405

故答窠为：乎.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键是结合图形分析，将原问题转化为函数/(力图象上与上知直线平行的切线的

切点到直线y=3x-4的距离.

31.已知产为抛物线V=2x的焦点，4。,2),点尸在抛物线上且满足抨'=24若这样的点尸有且只有一个，

则实数〃的值为.

【答案】土;

【分析】

设P(2凡2f),根据。尸=%，由两点间的距离公式化简可得(2-44)产一&+"+?=0,由题意此方程有且

只有一解，最后利用解方程的知识即可求解.

【详解】

解：由题意，呜‘°)，设户"力)，

由P产=R4可得2/+•!■=2/-a—Q-2>,即(2-44r-8/+«2+—=0,

24

2—4a40

因为这样的点P有且只有一个，所以2-%=0或A八，

A=0

即。=不或一=2,

2184-46+30。+17=0

由84-4/+30a+17=(24+1)(4/一40+17)=0,解得〃=一(，

综上，d—i—.

故答案为：士;.

关键点点睛：本题的解题关键是将原问题转化为方程(2-40/-8，+/+：=0有且只有一解

4

三、解答题

32.已知椭圆C：W+g=l(〃>b>0)的上顶点A与下顶点8在直线/：X-2丁+1=0的两侧，且点8到/的

a"b~

距离是A到/的距离的3倍.

(I)求6的值；

(II)设C与/交于P,。两点，求证：直线3尸与BQ的斜率之和为定值.

【答案】(I)b=l；(II)证明见解析.

【分析】

(I)由点到直线的距离公式即求；

(II)由直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理法即可证明.

【详解】

(I)由椭圆的方程可得A(0,b),8(0,-b),

由题意可得哙"=3x上等1，解得力=1或力=；.

当6时，点A,B都在直线/的下方，不符合题意，

4

故b=l.

V2T

(II)联立'消去y可得(4+/卜2+2々2彳-3/=0,

x-2y+l=0,

设P(.%y)，。(毛，必)，则百+巧=一卢^,中2=一：^」.

4+“~4+a

直线5尸与8。的斜率之和

..1313"

k_凹+1])'2+13%+弓3*2+3_[43(I1113x+x,,34+/八

KRP+KBQ—+_22,22—1+~—+—=i+-x-!——==]+f4+g=2.

X.x------------+-----------21X1占J2%占23a

।2演七1

4+a2

因此直线BP与BQ的斜率之和为定值2.

33.如图所示，已知椭圆C：m+m=1与直线/：=l.点P在直线/上，由点P引椭圆。的两条切线

6363

（1）若点尸为直线/与）'轴的交点，求△PA8的面积S；

（2）若QD_LAB,。为垂足，求证：存在定点。，使得|力。为定值.

【答案】（1）4；（2）口。|=孝，证明见解析.

【分析】

（1）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据△=（）,求出直线的斜率，从而求切点坐标，根据切点坐标判断出

△PAB为直角三角形，从而求△P48的面积.

⑵先写出切线方程E4和PB,根据切线方程求出直线AB的方程及直线AB过的定点T,从而判断出OT的

中点为点Q.

【详解】

⑴由题意易知P（0.3）,显然过点P与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为丁=米+3,

22

x2>1-1

与椭圆方程联立彳+彳二，消y并整理得（1+2公卜2+123+12=0,

y=kx+3

由A=（12kf—4x（l+2公）xl2=0得4=±1,即切线方程为y=±x+3,

此时切点坐标为A（-2,1）,8（2,1）,易知△PA3为直角三角形，|网=|尸网=20,

所以附•|PB|=4.

⑵设A（X],y）,巩孙力），则切线R4为邛+与^=1,切线PA为=1,

6363

设尸5，%）,则华+晔L=l,笺+孽=1,

6363

所以直线AB的方程为竽+岑=1-------①

63

又点P（%,%）在直线，9+V=1上,所以今+等=1,即*=1-＞，

63633O

代入①，得等+（1-亳卜1，即%（＞y）+6（y—1）=0,

所以直线过定点了（覃），又因为瓦所以点D在以07为直径，Q（g,；）为圆心的定圆上，所以|区

为定值，且卬。|=孝.

34.如图，某市一学校“位于该市火车站。北偏东45。方向，且。月=4后km,已知OM,0N是经过火车

站。的两条互相垂直的笔直公路，CE,Q夕及圆弧C。都是学校道路，其中CE〃。“，DF//ON,以学校〃

为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE,。产相切于点C,D当地政府欲投资开发区域发展

经济，其中4,8分别在公路OM,ON上，且A8与圆弧CO相切，设/04?=/△A08的面积为Skm?.

（1）求S关于。的函数解析式；

（2）当。为何值时，aAOB面积S为最小，政府投资最低?

【答窠】⑴5=2[2（"+一联1了（4⑵e吟

sinJcos。\2）4

【分析】

（1）以点0为坐标原点建立适当坐标系，根据直线AB与圆H相切构建/与6之间的关系，再根据向AABO

中。4=/cosaOB=/sin。，即计算得5的解析式；