【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第五章-第二节平面向量的数量积

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十五)一、选择题1.(2021·梧州模拟)设e1和e2是相互垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b等于()(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-22.(2021·桂林模拟)已知向量a=(2x-3,1),b=(x,-2),若a·b≥0,则实数x的取值范围是()(A)[-QUOTE,2](B)(-∞,-QUOTE]∪[2,+∞)(C)[-2,QUOTE](D)(-∞,-2]∪[QUOTE,+∞)3.(2022·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b4.在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知|OA|=4,|AB|=3,则QUOTE·QUOTE的值为()(A)0 (B)7 (C)25 (D)-75.(2021·南宁模拟)已知向量a=(4,3),b=(-2,1),假如向量a+λb与b垂直,则|2a-λb|的值为()(A)1 (B)QUOTE (C)5 (D)5QUOTE6.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的范围是()(A)(1,+∞) (B)(-1,1)(C)(-1,+∞) (D)(-∞,1)7.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有()(A)a⊥b (B)a∥b(C)|a|=|b| (D)|a|≠|b|8.(2022·大纲版全国卷)△ABC中,AB边的高为CD,若QUOTE=a,QUOTE=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则QUOTE=()(A)QUOTEa-QUOTEb (B)QUOTEa-QUOTEb(C)QUOTEa-QUOTEb (D)QUOTEa-QUOTEb9.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE10.(力气挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且QUOTE⊥QUOTE,则向量QUOTE的坐标为()(A)(-QUOTE,QUOTE) (B)(-QUOTE,QUOTE) (C)(-QUOTE,QUOTE) (D)(-QUOTE,QUOTE)二、填空题11.(2021·柳州模拟)已知向量a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)⊥c,则m=.12.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(QUOTE+QUOTE)·QUOTE的最小值是.13.以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为QUOTE;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则QUOTE·QUOTE=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中全部真命题的序号是.14.(力气挑战题)给定两个长度为1的平面对量QUOTE和QUOTE,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧QUOTE上运动,若QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,其中x,y∈R,则xy的范围是.三、解答题15.已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),QUOTE·QUOTE=5,QUOTE=10.(1)求D点的坐标.(2)设QUOTE=(m,2),若3QUOTE+QUOTE与QUOTE垂直,求QUOTE的坐标.答案解析1.【解析】选B.由题意可得a=(3,2),b=(-3,4),∴a·b=3×(-3)+2×4=-9+8=-1.2.【解析】选B.∵a·b=x(2x-3)-2×1=2x2-3x-2,又∵a·b≥0,∴2x2-3x-2≥0.即(2x+1)(x-2)≥0,解得x≤-QUOTE或x≥2.3.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b||a+b|2=|a-b|2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0a⊥b.【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为QUOTE,那么下列结论中确定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)a⊥b (D)a∥b【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.4.【解析】选D.QUOTE·QUOTE=(QUOTE-QUOTE)·(QUOTE+QUOTE)=|QUOTE|2-|QUOTE|2=32-42=-7.5.【解析】选D.由题意可得a+λb=(4-2λ,3+λ),∵(a+λb)⊥b,∴(-2)(4-2λ)+(3+λ)=0∴5λ-5=0,即λ=1,∴2a-λb=(10,5),∴|2a-λb|=QUOTE=QUOTE=5QUOTE.6.【解析】选C.∵a与a+2b同向,∴可设a+2b=λa(λ>0),则有b=QUOTEa.又∵|a|=QUOTE=QUOTE,∴a·b=QUOTE·|a|2=QUOTE×2=λ-1>-1,∴a·b的范围是(-1,+∞),故应选C.7.【解析】选A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数.而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2,故a·b=0.又∵a,b为非零向量,∴a⊥b,故应选A.8.【解析】选D.如图,∵a·b=0,∴a⊥b,∴∠ACB=90°,∴AB=QUOTE=QUOTE,又∵CD⊥AB,∴AC2=AD·AB,∴AD=QUOTE.∴QUOTE=QUOTE=QUOTE(a-b)=QUOTEa-QUOTEb.9.【解析】选B.由m⊥n可得m·n=0,即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,∴b2-bc+c2-a2=0.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE.10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.则QUOTE=(1,1),QUOTE=(cosθ,sinθ).由于QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=QUOTE,所以QUOTE=(-QUOTE,QUOTE).【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.11.【解析】∵a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),∴a+b=(2,m-1).∵(a+b)⊥c,∴2×(-1)+2(m-1)=0,解得m=2.答案:212.【思路点拨】设PO=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数学问求解.【解析】设PO=x,则PC=3-x(0≤x≤3),则(QUOTE+QUOTE)·QUOTE=2QUOTE·QUOTE=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-QUOTE)2-QUOTE.∵0≤x≤3,∴当x=QUOTE时,(QUOTE+QUOTE)·QUOTE有最小值-QUOTE.答案:-QUOTE13.【解析】①中,由|a·b|=|a||b||cos<a,b>|=|a||b|,知cos<a,b>=±1.故<a,b>=0或<a,b>=π,所以a∥b,故正确;②中a在b方向上的投影为|a|·cos<a,b>=|a|·=QUOTE,故正确;③中,由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE,故QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-5×8×QUOTE=-20,故错误;④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误.答案:①②14.【解析】由QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,得=x2QUOTE+y2QUOTE+2xyQUOTE·QUOTE.又|QUOTE|=|QUOTE|=|QUOTE|=1,QUOTE·QUOTE=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤QUOTE,而点C在以O为圆心的圆弧QUOTE上运动,得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤QUOTE.答案:[0,QUOTE]15.【解析】(1)设D(x,y),QUOTE=(1,2),QUOTE=(x+1,y).由题得QUOTE∴QUOTE或QUOTE∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)∵3QUOTE+QUOTE=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),QUOTE=(m,2),∵3QUOTE+QUOTE与QUOTE垂直,∴(3QUOTE+QUOTE)·QUOTE=0,∴m+14=0,∴m=-14,∴QUOTE=(-14,2).【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤QUOTE).(1)若QUOTE⊥a,且|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|(O为坐标原点),求向量QUOTE.(2)若向量QUOTE与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求QUOTE·QUOTE.【解析】(1)可得QUOTE=(n-8,t),∵QUOTE⊥a,∴QUOTE·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,则QUOTE=(2t,t).又|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|,|QUOTE|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴QUOTE=(24,8)或QUOTE=(-8,-8).(2)∵向量QUOT