2025年人教版七年级数学寒假预习 第07讲 实数及其简单计算

第07讲实数及其简单计算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1、了解无理数和实数的概念。2、会对实数按照一定标准进行分类3、掌握实数的相关概念，增强学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力。+1.无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数.【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.常见的无理数：1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等2）开方开不尽的数，如：QUOTE22、等.[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.利用数轴表示无理数的方法：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，根据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.2.实数及其分类实数的定义：有理数和无理数统称为实数.实数的分类：实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.3.实数的运算实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.4.实数的非负性及性质：1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即QUOTE𝑎2a2≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即QUOTE𝑎a≥0.2）非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.考点一：无理数的判断1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）在实数QUOTE3.141592653.14159265，QUOTE−5−5，QUOTE2727，QUOTE364364中，属于无理数的是（

）A．QUOTE3.141592653.14159265 B．QUOTE−5−5 C．QUOTE2727 D．QUOTE3643642．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数QUOTE3.14159263.1415926，QUOTE，0，QUOTE117117，QUOTE100100，QUOTE，QUOTE−3100−3100，QUOTE0.10100100010.1010010001···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各数中QUOTE227227，QUOTE，QUOTE55，QUOTE0.160.16，QUOTE88，QUOTE00，QUOTE1616，QUOTE，无理数的个数有（

）A．QUOTE33个 B．QUOTE44个 C．QUOTE55个 D．QUOTE66个考点二：无理数大小的估算4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若整数QUOTE𝑎a满足条件QUOTE5<𝑎<155<a<15，则QUOTE𝑎a的值是．5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知QUOTE𝑎<17<𝑏a<17<b，QUOTE𝑎a和QUOTE𝑏b为相邻的整数，则QUOTE𝑎+𝑏a+b的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．116．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）估计QUOTE21+121+1的值在（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间7．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4．(1)请计算阴影部分的面积．(2)请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数．考点三：无理数整数部分的有关计算8．（24-25七年级上·浙江·期中）若QUOTE𝑚=32−2m=32−2，则与QUOTE𝑚m最接近的整数是．9．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若QUOTE33的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（

）A．1 B．QUOTE33 C．QUOTE3−13−1 D．QUOTE2−32−310．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b分别是QUOTE6−136−13的整数部分和小数部分，那么QUOTE2𝑎−𝑏2a−b的值是（

）A．QUOTE3−133−13 B．QUOTE4−134−13 C．QUOTE1313 D．QUOTE5−135−1311．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：QUOTE，即QUOTE2<7<32<7<3．QUOTE的整数部分为2，小数部分为QUOTE7−27−2．QUOTE．QUOTE的整数部分为1．QUOTE的小数部分为QUOTE7−1−1=7−27−1−1=7−2．解决问题：(1)填空：QUOTE3333的整数部分是______，QUOTE33−333−3的小数部分是______；(2)如果QUOTE7+17+1的小数部分为a，QUOTE3−73−7的整数部分为b，求QUOTE𝑎+𝑏−7a+b−7的值．12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a，b互为相反数，QUOTE𝑐=1214c=1214，d是QUOTE1313的小数部分．(1)填空：QUOTE𝑎+𝑏=a+b=；QUOTE𝑐=c=；QUOTE𝑑=d=．(2)求QUOTE𝑎+𝑏4+𝑐2−𝑑13．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道QUOTE22是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此QUOTE22的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为QUOTE22的整数部分是1，于是用QUOTE2−12−1来表示QUOTE22的小数部分．又例如：∵QUOTE4<7<94<7<9，即QUOTE2<7∴QUOTE77的整数部分是2，小数部分为QUOTE7−27−2．根据上述材料，回答下列问题：(1)QUOTE1717的整数部分是，小数部分是；(2)QUOTE6+36+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为QUOTE𝑎<6+3<𝑏a<6+3<b，求QUOTE𝑎+𝑏a+b的值；(3)已知QUOTE10+39=𝑥+𝑦10+39=x+y，其中x是整数，且QUOTE0<𝑦<10<y<1，求QUOTE3𝑥−𝑦3x−y的值．考点四：实数的分类14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______；15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：①QUOTE77；②QUOTE−2.6−2.6；③QUOTE−蟺3−蟺3；④QUOTE−2−2；⑤QUOTE55；⑥QUOTE−12−12；⑦QUOTE−133−133；⑧QUOTE（两个“QUOTE33”之间依次多一个“QUOTE00”）整数集合：{____________}；负分数集合：{____________}；无理数集合：{____________}；16．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）将下列各数填入相应的括号内：QUOTE−2.5−2.5，QUOTE00，QUOTE88，QUOTE，QUOTE，QUOTE3434，QUOTE−0.05−0.05正数集合：｛

…｝；有理数集合：｛

…｝；负数集合：｛

…｝；无理数集合：｛

…｝．17．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）：①QUOTE−2−2，②π，③QUOTE−13−13，④QUOTE−−3−−3，⑤QUOTE227227，⑥QUOTE−0.3−0.3，⑦QUOTE−4−4，⑧QUOTE55，⑨0，⑩QUOTE（每两个1之间依次多一个0）．正数：{

…}；整数：{

…}；分数：{

…}；非负有理数：{

…}；无理数：{

…}；负实数：{

…}．考点五：实数的性质18．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）QUOTE−6−6的相反数是，绝对值等于QUOTE22的数是，QUOTE19．（23-24七年级下·四川广元·期末）在数QUOTE−0.1−0.1，0，QUOTE3−643−64和QUOTE中，绝对值等于它本身的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个20．（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（

）A．QUOTE2−32−3的相反数为QUOTE3−23−2 B．QUOTE蟺−3.14蟺−3.14的绝对值是QUOTE3.14−蟺3.14−蟺C．若QUOTE𝑥2=6x2=6，则QUOTE𝑥=6x=6 D．若QUOTE𝑥3=6x3=6，则QUOTE考点六：实数与数轴21．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图，QUOTE正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点QUOTE𝐴A、QUOTE𝐵B、QUOTE𝐶C、QUOTE𝐷D得正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，则正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD的边长是，以顶点QUOTE𝐶C为圆心，QUOTE𝐶𝐷CD长为半径画圆交数轴的负半轴于点QUOTE𝑃P，则数轴上点QUOTE𝑃P对应的无理数是．QUOTE22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点QUOTE𝐴A（滚动时与原点重合）由原点到达点QUOTE𝐵B，则QUOTE𝐴𝐵AB的长度就等于圆的周长，所以数轴上点QUOTE𝐵B代表的数是23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b是实数，且QUOTE𝑎=𝑎a=a，QUOTE𝑏=−𝑏b=−b，QUOTE𝑎>𝑏a>b，则用数轴上的点来表示QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，正确的是（）A． B．C． D．24．（24-25七年级上·全国·期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点QUOTE𝐴A与数轴上的原点重合，QUOTE𝐴𝐵AB是圆片的直径．(1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点QUOTE𝐵B到达数轴上点QUOTE𝐶C的位置，点QUOTE𝐶C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；(2)把圆片沿数轴滚动2周，点QUOTE𝐴A到达数轴上点QUOTE𝐷D的位置，点QUOTE𝐷D表示的数是；(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：QUOTE+2+2，QUOTE−1−1，QUOTE+3+3，QUOTE−4−4，QUOTE−3−3．①第几次滚动后，QUOTE𝐴A点距离原点最近？第几次滚动后，QUOTE𝐴A点距离原点最远？②当圆片结束运动时，QUOTE𝐴A点运动的路程共有多少？此时点QUOTE𝐴A所表示的数是多少？考点七：与实数有关的化简问题25．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：QUOTE𝑐2+𝑎+𝑏+3𝑎+𝑏26．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，(1)比较大小a0；QUOTE𝑎−𝑏a−b0；QUOTE𝑎+𝑏a+b0；QUOTE𝑏−𝑐b−c0(2)化简：QUOTE𝑎2+𝑎−𝑏+3QUOTE=𝑎+𝑏−𝑐=a+b−c27．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：

(1)化简：QUOTE𝑎+𝑏−𝑏2+23𝑎3(2)若QUOTE1+2𝑎1+2a的平方根是QUOTE卤7卤7，QUOTE2𝑎+𝑏−42a+b−4的立方根是QUOTE−2−2，求QUOTE𝑎+2𝑏a+2b的算术平方根．28．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点QUOTE𝐴A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点QUOTE𝐵B，点QUOTE𝐴A表示QUOTE−2−2，设点QUOTE𝐵B所表示的数为QUOTE𝑚m．(1)实数QUOTE𝑚m的值是______；(2)在数轴上还有QUOTE两点分别表示实数QUOTE𝑐c和QUOTE𝑑d，且QUOTE2𝑐+𝑑2c+d与QUOTE𝑑+4d+4互为相反数，求QUOTE3𝑐+𝑑3c+d的值；(3)在数轴上还有QUOTE𝐸E点表示实数QUOTE𝑥x，且QUOTE1<𝑥<𝑚1<x<m，化简：QUOTE𝑥−1+𝑥−22x−1+x−22考点八：实数的比较大小29．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各数的大小：(1)QUOTE2727和QUOTE4242；(2)QUOTE22和QUOTE5252．30．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小：(1)QUOTE5−35−3，QUOTE5−225−22；(2)QUOTE2222，QUOTE3333．QUOTE22>3331．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：QUOTE−4−4，QUOTE−蟺−蟺，QUOTE−3−3，QUOTE44，0．(1)将上述各数表示在数轴上．(2)将上述各数按从小到大的顺序用“QUOTE<<”连接．考点九：实数的混合运算32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：(1)QUOTE(3+2)−(3(2)QUOTE16+3−1+1−33．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算(1)QUOTE2−3+22(2)QUOTE(−1)2024+(−4)2−34．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)QUOTE3−643−64；(2)QUOTE19+3−127(3)QUOTE72+−52−235．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：QUOTE−12024+3−27−2−36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式：(1)QUOTE______；(2)QUOTE______；(3)QUOTE______；(4)QUOTE______．考点十：实数运算的实际应用37．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为QUOTE．(1)求该长方形的长宽各为多少?(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为QUOTE，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由．38．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为QUOTE𝑇=2蟺𝑙𝑔T=2蟺lg，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（QUOTE蟺蟺取3，QUOTE𝑔=9.8m/s2g=9.8m/s2）(1)求摆针摆动的周期．(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？39．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？40．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的QUOTE22”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)QUOTE22到底有多大？下面是小欣探索QUOTE22的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是QUOTE22，且QUOTE2>1.42>1.4．设QUOTE2=1.4+𝑥2=1.4+x，画出如下示意图．由面积公式，可得QUOTE𝑥2+x2+______QUOTE=2=2．因为QUOTE𝑥x值很小，所以QUOTE𝑥2x2更小，略去QUOTE𝑥2x2，得方程______，解得QUOTE____（保留到0.001），即QUOTE_____．(2)怎样画出QUOTE22？请一起参与小敏探索画QUOTE22过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为QUOTE𝑥𝑥>0xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有QUOTE𝑥2=2x2=2，解得QUOTE𝑥=2x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．考点十一：与实数运算有关的新定义问题41．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）对于有理数QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，定义一种新运算：QUOTE，例如：QUOTE，QUOTE．根据上面的材料，请完成下列问题：(1)QUOTE；(2)QUOTE．42．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“QUOTE”，QUOTE𝑎??=𝑎+𝑏−20232a??=a+b−20232，如QUOTE．材料二：规定QUOTE𝑎a表示不超过a的最大整数，如QUOTE．(1)QUOTE______，QUOTE______；(2)a是有理数，QUOTE[𝑎]+[−𝑎]=[a]+[−a]=______；(3)求QUOTE的值．43．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“QUOTE”：当QUOTE时，QUOTE；当QUOTE𝑎<𝑏a<b时，QUOTE．(1)根据定义计算：①QUOTE，QUOTE；②QUOTE，QUOTE．(2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律．(3)已知QUOTE，求a的值．44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数QUOTE𝑎a，我们规定：用符号QUOTE𝑎a表示不大于QUOTE𝑎a的最大整数，称QUOTE𝑎a为QUOTE𝑎a的根整数，例如：QUOTE9=39=3，QUOTE10=310=3．(1)仿照以上方法计算：QUOTE16=16=________，QUOTE39=39=________；(2)若QUOTE𝑥=1x=1，写出满足题意的QUOTE𝑥x的整数值________；(3)如果我们对QUOTE𝑎a连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次QUOTE，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1；(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________．45．（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点QUOTE𝐴𝑎,𝑏Aa,b，QUOTE𝐵𝑚,𝑛Bm,n，规定QUOTE𝐴??=−𝑚𝑎,3𝑏𝑛A??=−ma,3bn，若QUOTE𝑃9,−1P9,−1，且QUOTE𝑃??=−6,3P??=−6,346．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】定义：如果一个数的平方等于QUOTE−1−1，记为QUOTEi2=−1i2=−1，这个数QUOTEii叫做虚数单位，我们把形如QUOTE𝑎+𝑏ia+bi（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：QUOTE．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：QUOTE𝑎+𝑏i+𝑐+𝑑i=𝑎+𝑐+𝑏+𝑑ia+bi+c+di=a+c【应用新知】(1)填空：QUOTEi4=i4=______；QUOTEi5=i5(2)计算：QUOTE4−2i+−5+6i4−2考点十二：程序设计与实数运算47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图：例如：当输入x的值为QUOTE−1−1时，计算结果QUOTE3<43<4；将输入值变为QUOTE，计算结果为QUOTE6<46<4；再将输入值变为了QUOTE0+1=10+1=1，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果．请思考下列问题．(1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算．(2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y．48．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器．(1)当输入的QUOTE𝑥x的值为49时，输出的QUOTE𝑦y的值是______；(2)若输入有效的QUOTE𝑥x值后，始终无法输出QUOTE𝑦y的值，请写出所有满足要求的QUOTE𝑥x的值：______；(3)若输出的QUOTE𝑦y值是QUOTE55，请写出两个满足要求的QUOTE𝑥x的值：______．49．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程．50．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在QUOTE−1−1，2，4，16中选择3个合适的数分别输入QUOTE𝑥x，求对应输出QUOTE𝑦y的值．(2)若输出QUOTE𝑦y的值为QUOTE−3−3，求输入QUOTE𝑥x的值．考点十三：与实数运算有关的规律探究问题51．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题：①QUOTE𝑆1=1+112+122=1+11−③QUOTE𝑆3=1+132(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想QUOTE1+142+15(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含QUOTE𝑛n的式子表示的等式：____（QUOTE𝑛n为正整数）；(3)应用上述结论，请计算QUOTE的值．52．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题：1111……(1)请根据以上规律写出第七个等式；(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是QUOTE5555，请写出这个等式；(3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且QUOTE）53．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子：QUOTE，QUOTE，QUOTE9脳49脳4和QUOTE都是QUOTE9脳49脳4的算术平方根，而QUOTE9脳49脳4的算术平方根只有一个，所以QUOTE．QUOTE，QUOTEQUOTE和QUOTE都是QUOTE5脳75脳7的算术平方根，而QUOTE5脳75脳7的算术平方根只有一个，所以（填空）（1）猜想：一般地，当QUOTE时，QUOTE𝑎𝑏ab与QUOTE之间的大小关系是怎样的？（2）运用以上结论，计算：QUOTE的值．54．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式QUOTE4；(1)计算：QUOTE1+3+5+7+9+11=1+3+5+7+9+11=(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：QUOTE1+3+5+7+9+11+...+2𝑛−1=1+3+5+7+9+11+...+2n−1(3)应用上述结论，请计算QUOTE4+12+20+28+36+44+鈰?2044+12+20+28+36+44+鈰?204的值．考点十四：与实数运算有关的阅读理解类问题55．（23-24七年级下·重庆江津·期中）阅读下面文字，解答问题：大家知道：QUOTE22是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此QUOTE22的小数部分我们不能全部写出来，于是小明用QUOTE2−12−1来表示QUOTE22的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上小明的表示方法有道理的，因为QUOTE22的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．又例如：QUOTEQUOTE4<7<94<7<9，即QUOTE2<7<32<7<3，QUOTEQUOTE77的整数部分为2，小数部分为QUOTE(7−2)(7−2)．请解答：(1)QUOTE1313的整数部分为，小数部分为．(2)已知：QUOTE𝑥x是QUOTE7−67−6的整数部分，QUOTE𝑦y是QUOTE7−67−6的小数部分，求QUOTE2𝑥−𝑦2x−y的值．(3)已知QUOTE𝑥x，QUOTE𝑦y是有理数，并且满足等式QUOTE𝑥2−2𝑦−2𝑦=17−42x2−2y−2y=17−42，求QUOTE𝑥+𝑦x+y的值．56．（21-22七年级下·山西阳泉·期中）阅读材料，完成下列任务：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：QUOTE、QUOTE22等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料一：QUOTE，即QUOTE2<7<32<7<3，QUOTE??<7−1<2??<7−1<2．QUOTE的整数部分为1，小数部分为QUOTE7−27−2．材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是QUOTE22，易知QUOTE2>12>1，因此可设QUOTE2=1+𝑥2=1+x可画出如图示意图．解：由图中面积计算，QUOTE，QUOTE，QUOTE．QUOTE鈭祒鈭祒是QUOTE22的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略QUOTE𝑥2x2，QUOTE得方程QUOTE2𝑥+1=22x+1=2，解得QUOTE𝑥=0.5x=0.5，即QUOTE．解决问题：(1)利用材料一中的方法，求QUOTE8585的小数部分；(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究QUOTE55的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）57．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题．如果无理数QUOTE𝑥x满足QUOTE𝑚<𝑥<𝑚+1m<x<m+1（其中QUOTE𝑚m是整数），那么称QUOTE𝑚,𝑚+1m,m+1为无理数QUOTE𝑥x的“相邻区间”．例如，因为QUOTE12<32<2212<32<22，所以QUOTE1<3<21<3<2，所以称QUOTE1,21,2为QUOTE33的“相邻区间”．请解答下列问题：(1)求无理数QUOTE88的“相邻区间”．(2)已知QUOTE1+31+3的“相邻区间”是QUOTE𝑚,𝑚+1m,m+1，且QUOTE𝑚+𝑎=1−3m+a=1−3，求QUOTE𝑎a的值．(3)已知QUOTE𝑦y是正整数，若QUOTE4<𝑦+𝑦<54<y+y<5，求QUOTE𝑦y的值．58．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．*年*月*日

星期二

晴无理数与线段长今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．回顾梳理：要在数轴上找到表示QUOTE卤2卤2的点，关键是在数轴上构造线段QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐴'=2OA=OA'=2．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为QUOTE22；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、QUOTE𝐴'A'，则，点A对应的数为QUOTE22，点QUOTE𝐴'A'对应的数为QUOTE−2−2．

类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段QUOTE𝑂𝐵OB与QUOTE𝑂𝐵'OB'，其中O仍在原点，，点B，QUOTE𝐵'B'分别在原点的右侧、左侧，可由线段QUOTE𝑂𝐵OB与QUOTE𝑂𝐵'OB'的长得到点B，QUOTE𝐵'B'所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！任务：（1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________．A．方程思想B．数形结合思想C．化归思想（2）“类比思考”中，线段QUOTE𝑂𝐵OB的长为_____________，QUOTE𝑂𝐵'OB'的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点QUOTE𝐵'B'表示的数为_____________．（3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示QUOTE5−15−1的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长）QUOTE5−11．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数QUOTE3.143.14，QUOTE44，QUOTE，QUOTE0.10100100010.1010010001，QUOTE，QUOTE3−273−27，QUOTE711711，QUOTE33中，无理数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）关于无理数，下列说法正确的有（

）①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数；A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤QUOTE3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）计算QUOTE3−23+−223−23+−22的结果为（A．0 B．4 C．QUOTE−4−4 D．0或QUOTE−4−44．（22-23七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（

）A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE−−52=−5−−52=−5 D．QUOTE1−2=1+5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知QUOTE𝑚=27−3m=27−3，则实数QUOTE𝑚m在（

）A．QUOTE55和QUOTE66之间 B．QUOTE44和QUOTE55之间 C．QUOTE33和QUOTE44之间 D．QUOTE22和QUOTE33之间6．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“QUOTE”的“□”中添上一种运算符号（在“QUOTE++，QUOTE−−，QUOTE，QUOTE”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．4 B．QUOTE33 C．QUOTE2−32−3 D．QUOTE−3−37．（24-25八年级上·山西·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简QUOTE𝑏−𝑎−𝑏2b−a−b2A．a B．QUOTE−𝑎−a C．QUOTE𝑎−2𝑏a−2b D．QUOTE𝑎+2𝑏a+2b8（20-21七年级下·北京西城·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（

）A．QUOTE2222 B．2 C．QUOTE22 D．QUOTE卤2卤29．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）计算：QUOTE9−3−2=9−10．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为QUOTE34cm334cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于11．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小：（1）QUOTE360360QUOTE2020（2）QUOTE3−123−12QUOTE1212（3）QUOTE−32−32QUOTE−23−2312．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知QUOTE𝑀M是满足不等式QUOTE的所有整数的和，QUOTE𝑁N是QUOTE2020的整数部分，则QUOTE𝑀+𝑁M+N的平方根为．13．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：SSS……则QUOTE𝑆10S10的值为．14．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）（1）计算：QUOTE30.125−3116（2）求QUOTE𝑥x值QUOTE4(𝑥−1)2−49=04(x−1)2−49=0．（3）求QUOTE𝑥x值QUOTE125(𝑥−3)3+64=0125(x−3)3+64=0（4）如图QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，QUOTE𝑐c是数轴上三个点QUOTE𝐴A、QUOTE𝐵B、QUOTE𝐶C所对应的实数．试化简：QUOTE𝑏2+𝑎−𝑏−315．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数QUOTE𝑇T的被开方数（T为正整数）满足QUOTE𝑛2<𝑇<𝑛+12n2<T<n+12（其中n为正整数），则称无理数QUOTE𝑇T的“共同体区间”为QUOTE𝑛,𝑛+1n,n+1．例如：因为QUOTE12<3<2212<3<22，所以QUOTE33的“共同体区间”为QUOTE1,21,2．请回答下列问题：(1)QUOTE2626的“共同体区间”为__________；(2)若无理数QUOTE𝑎a的“共同体区间”为QUOTE2,32,3，求QUOTE𝑎+6a+6的“共同体区间”；(3)若x，y满足关系式：QUOTE𝑥−3+2024+𝑦−42=2024x−3+2024+y−42=2024，则QUOTE16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的横线内．①QUOTE0.30.3，②QUOTE−25−25，③QUOTE2525，④6，⑤QUOTE3939，⑥QUOTE（两个“7”之间依次多一个“2”）．(1)整数：______________；(2)正分数：______________；(3)无理数：______________．QUOTE−25=−517．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4．(1)图①中阴影部分是一个正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，求出阴影部分的面积及其边长；(2)把正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD放到数轴上，如图②，使得点QUOTE𝐴A与QUOTE−1−1重合，那么点QUOTE𝐷D在数轴上表示的数为．18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察与探究：大家知道QUOTE22是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此QUOTE22的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用QUOTE2−12−1来表示QUOTE22的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为QUOTE22的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：QUOTE，即QUOTE2<7<32<7<3，QUOTE的整数部分为2，小数部分为QUOTE7−27−2．请解答：(1)QUOTE1919的整数部分是，小数部分是．(2)已知：QUOTE10+3=𝑥+𝑦10+3=x+y，其中x是整数，且QUOTE0<𝑦<10<y<1，求QUOTE𝑥−𝑦x−y的相反数．（写出解答过程）

第07讲实数及其简单计算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1、了解无理数和实数的概念。2、会对实数按照一定标准进行分类3、掌握实数的相关概念，增强学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力。+1.无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数.【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.常见的无理数：1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等2）开方开不尽的数，如：QUOTE22、等.[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.利用数轴表示无理数的方法：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，根据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.2.实数及其分类实数的定义：有理数和无理数统称为实数.实数的分类：实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.3.实数的运算实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.4.实数的非负性及性质：1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即QUOTEa2a2≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即QUOTEaa≥0.2）非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.考点一：无理数的判断1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）在实数QUOTE3.141592653.14159265，QUOTE−5−5，QUOTE2727，QUOTE364364中，属于无理数的是（

）A．QUOTE3.141592653.14159265 B．QUOTE−5−5 C．QUOTE2727 D．QUOTE364364【答案】B【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义判断即可．【详解】解：在实数QUOTE3.141592653.14159265，QUOTE−5−5，QUOTE2727，QUOTE364364中，QUOTE−5−5是无理数，QUOTE3.141592653.14159265，QUOTE2727，QUOTE364=4364=4是有理数．故选：B．2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数QUOTE3.14159263.1415926，QUOTE，0，QUOTE117117，QUOTE100100，QUOTE，QUOTE−3100−3100，QUOTE0.10100100010.1010010001···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，平方根的知识；根据无理数是无限不循环小数即可得出答案．【详解】解：QUOTE100=10100=10，无理数为：QUOTE，QUOTE−3100−3100，QUOTE0.10100100010.1010010001···（两个“1”之间依次多个“0”）无理数的个数是3个，故选：B．3．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各数中QUOTE227227，QUOTE，QUOTE55，QUOTE0.160.16，QUOTE88，QUOTE00，QUOTE1616，QUOTE，无理数的个数有（

）A．QUOTE33个 B．QUOTE44个 C．QUOTE55个 D．QUOTE66个【答案】B【分析】本题考查无理数的定义，理解定义是解题的关键，根据无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：QUOTE，QUOTE等；开方开不尽的数；以及像QUOTE（每两个QUOTE11之间QUOTE00的个数依次加QUOTE00）等有这样规律的数．根据无理数的定义分析判断．【详解】解：QUOTE8=228=22，QUOTE16=416=4，无理数有：QUOTE，QUOTE55，QUOTE88，QUOTE，共QUOTE44个；故选：B考点二：无理数大小的估算4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若整数QUOTEaa满足条件QUOTE5<a<155<a<15，则QUOTEaa的值是．【答案】QUOTE33【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数QUOTE的大小即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：∵QUOTE2<5<32<5<3，QUOTE3<15<43<15<4，而整数QUOTEaa满足条件QUOTE5<a<155<a<15，∴QUOTE2<a<42<a<4，∴QUOTEa=3a=3，故答案为：QUOTE33．5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知QUOTEa<17<ba<17<b，QUOTEaa和QUOTEbb为相邻的整数，则QUOTEa+ba+b的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】本题主要考查无理数的估算，根据算术平方根可进行求解．【详解】解：∵QUOTE16<17<2516<17<25，∴QUOTE4<17<54<17<5，即QUOTEa=4,b=5a=4,b=5，∴QUOTEa+b=9a+b=9；故选B．6．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）估计QUOTE21+121+1的值在（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间【答案】C【分析】本题考查无理数的估算．找到被开方数左右两边相邻的两个能开方的数，进行QUOTE2121的估算，再进行求解即可．熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．【详解】解：∵QUOTE16<21<2516<21<25，∴QUOTE16<21<2516<21<25，即：QUOTE4<21∴QUOTE5<21+1<65<21+1<6故选：C．7．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4．(1)请计算阴影部分的面积．(2)请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数．【答案】(1)QUOTE210−4210(2)周长更接近6【分析】本题考查了算术平方根，无理数的估算，解决本题的关键是要能够由正方形的面积表示出正方形的边长．（1）先根据算术平方根的意义求出两个正方形的边长分别是QUOTE1010，2，然后根据长方形的面积公式求解即可；（2）先求出周长为QUOTE210210，然后根据无理数的估算方法即可求解．【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为10和4，∴两个正方形的边长分别是QUOTE1010，2，∴阴影部分的宽为QUOTE10−210−2，∴阴影部分的面积为QUOTE210−2=210−4（2）解：阴影部分的周长为QUOTE210−2+2=2102∵QUOTE210=40210=40，QUOTE36<40<∴QUOTE6<210<76<210<7∵QUOTE40−36<49−4040−36<49−40，∴以周长更接近6．考点三：无理数整数部分的有关计算8．（24-25七年级上·浙江·期中）若QUOTEm=32−2m=32−2，则与QUOTEmm最接近的整数是．【答案】4【分析】先确定QUOTE3232的范围，进而得出QUOTE32−232−2的准确范围，即可得出答案．【详解】∵QUOTE5<32<65<32<6，且QUOTE5.52=30.25<325.52∴QUOTE5.5<32<65.5<32<6∴QUOTE3.5<32−2<43.5<32−2<4所以m更接近的整数是4．故答案为：4．9．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若QUOTE33的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（

）A．1 B．QUOTE33 C．QUOTE3−13−1 D．QUOTE2−32−3【答案】C【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据QUOTE1<3<21<3<2，可得x和y【详解】解：∵QUOTE1<3<21<3<2∴QUOTEx=1x=1，QUOTEy=3−1y=3−1，故选：C．10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知QUOTEaa，QUOTEbb分别是QUOTE6−136−13的整数部分和小数部分，那么QUOTE2a−b2a−b的值是（

）A．QUOTE3−133−13 B．QUOTE4−134−13 C．QUOTE1313 D．QUOTE5−135−13【答案】C【分析】本题主要考查的是无理数的估算和无理数的整数和小数部分，首先根据QUOTE9<13<169<13<16可以得到QUOTE2<6−13<32<6−13<3，所以可得QUOTE6−136−13的整数部分是QUOTE22，小数部分是QUOTE4−134−13【详解】解：QUOTE，QUOTE??<13<4??<13<4QUOTE??4<−13<−3??4<−13<−3QUOTE??<6−13<3??<6−13<3QUOTE的整数部分是QUOTE22，QUOTE鈭碼=2鈭碼=2，QUOTE小数部分是QUOTEb=6−3−2=4−13b=6−3−2=4−13，QUOTE??a−b=2?2−4−13=4−4+13=13故选：C．11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：QUOTE，即QUOTE2<7<32<7<3．QUOTE的整数部分为2，小数部分为QUOTE7−27−2．QUOTE．QUOTE的整数部分为1．QUOTE的小数部分为QUOTE7−1−1=7−27−1−1=7−2．解决问题：(1)填空：QUOTE3333的整数部分是______，QUOTE33−333−3的小数部分是______；(2)如果QUOTE7+17+1的小数部分为a，QUOTE3−73−7的整数部分为b，求QUOTEa+b−7a+b−7的值．【答案】(1)QUOTE55，QUOTE33−533−5(2)QUOTE−2−2【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键．（1）估算出QUOTE5<33<65<33<6，QUOTE2<33−3<32<33（2）估算出QUOTE2<7<32<7<3，求出QUOTE3<7+1<43<7+1<4，QUOTE0<3−7<10<3−7<1，从而得出QUOTEaa、QUOTEbb的值，代入计算即可得解．【详解】（1）解：∵QUOTE25<33<3625<33<36，∴QUOTE25<33<3625<33<36，即QUOTE5<33∴QUOTE3333的整数部分是QUOTE55，∴QUOTE5−3<33−3<6−35−3<33−3<6−3，即QUOTE2<33−3<32<33∴QUOTE33−333−3的小数部分是QUOTE33−3−2=33−533−3−2=33（2）解：∵QUOTE4<7<94<7<9，∴QUOTE4<7<94<7<9，即QUOTE2<7∴QUOTE3<7+1<43<7+1<4，QUOTE0<3−7<10<3−7∵QUOTE7+17+1的小数部分为a，QUOTE3−73−7的整数部分为b，∴QUOTEa=7+1−3=7−2a=7+1−3=7−2，QUOTEb=0∴QUOTEa+b−7=7−2+0−7=−212．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a，b互为相反数，QUOTEc=1214c=1214，d是QUOTE1313的小数部分．(1)填空：QUOTEa+b=a+b=；QUOTEc=c=；QUOTEd=d=．(2)求QUOTEa+b4+c2−d【答案】(1)0，QUOTE112112，QUOTE13−313−3；(2)QUOTE1334−131334【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法以及代数式求值的方法是解本题的关键．（1）根据题意，利用相反数，算术平方根，估算无理数的大小，求出各自的值即可；（2）把各自的值代入原式计算即可求出值．【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，∴QUOTEa+b=0a+b=0，∵QUOTEc=1214c=1214∴QUOTEc=112c=112∵QUOTE9<13<169<13<16，即QUOTE3<13∴QUOTE1313的整数部分是3，小数部分是QUOTE13−313−3，∴QUOTEd=13−3d=13−3故答案为：0，QUOTE112112，QUOTE13−313−3；（2）解：由（1）得QUOTEa+b=0a+b=0，QUOTEc=112c=112，QUOTEd=13−3d=13−3，∴QUOTEa+b4+c2−d=0+1113．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道QUOTE22是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此QUOTE22的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为QUOTE22的整数部分是1，于是用QUOTE2−12−1来表示QUOTE22的小数部分．又例如：∵QUOTE4<7<94<7<9，即QUOTE2<7∴QUOTE77的整数部分是2，小数部分为QUOTE7−27−2．根据上述材料，回答下列问题：(1)QUOTE1717的整数部分是，小数部分是；(2)QUOTE6+36+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为QUOTEa<6+3<ba<6+3<b，求QUOTEa+ba+b的值；(3)已知QUOTE10+39=x+y10+39=x+y，其中x是整数，且QUOTE0<y<10<y<1，求QUOTE3x−y3x−y的值．【答案】(1)4，QUOTE17−417−4(2)15(3)QUOTE38−3938−3【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．（1）仿照题中给出的方法估算QUOTE1717的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分；（2）先估算QUOTE33的取值范围，进而估算QUOTE6+36+3的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算QUOTEa+ba+b的值；（3）先估算QUOTE3939的取值范围，进而估算QUOTE10+3910+39的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出QUOTE3x−y3x−y的值．【详解】（1）∵QUOTE16<17<2516∴QUOTE4<17<54<17<5∴QUOTE1717的整数部分是4，小数部分是QUOTE17−417−4，（2）解：∵QUOTE1<3<41∴QUOTE1<3<21<3<2∴QUOTE7<6+3<87<6+3<8∴QUOTEa=7a=7，QUOTEb=8b=8，∴QUOTEa+b=7+8=15a+b=7+8=15；（3）∵QUOTE38<39<3∴QUOTE2<39<32<3∴QUOTE12<10+39<1312<10+3∴QUOTE10+3910+39的整数部分：QUOTEx=12x=12，∵QUOTE0<y<10<y<1，∴小数部分：QUOTEy=10+39−12=39−2∴QUOTE3x−y=3?12−(39−2)=36−39+2=38−考点四：实数的分类14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______；【答案】见解析【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．根据实数的分类填写即可．【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下：即①负分数，如QUOTE−52−52；②正分数，如：QUOTE3232；③正整数，如1；④正无理数，如QUOTE蟺蟺；⑤0；⑥负无理数，如QUOTE−2−2．15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：①QUOTE77；②QUOTE−2.6−2.6；③QUOTE−蟺3−蟺3；④QUOTE−2−2；⑤QUOTE55；⑥QUOTE−12−12；⑦QUOTE−133−133；⑧QUOTE（两个“QUOTE33”之间依次多一个“QUOTE00”）整数集合：{____________}；负分数集合：{____________}；无理数集合：{____________}；【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧．【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、QUOTE00和正整数；负分数为小于QUOTE00的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键．【详解】解：QUOTE−2=2−2=2，QUOTE−133=−127整数集合：{①④…}；负分数集合：{②⑥⑦…}；无理数集合：{③⑤⑧…}；16．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）将下列各数填入相应的括号内：QUOTE−2.5−2.5，QUOTE00，QUOTE88，QUOTE，QUOTE，QUOTE3434，QUOTE−0.05−0.05正数集合：｛

…｝；有理数集合：｛

…｝；负数集合：｛

…｝；无理数集合：｛

…｝．【答案】答案见详解【分析】本题主要考查了实数的分类，实数分为有理数和无理数，熟练掌握实数的性质是解本题的关键．根据实数的分类，有理数与无理数统称实数，实数还可分为：正实数，QUOTE00，负实数，从而可求出答案．【详解】正数集合：QUOTE，有理数集合：QUOTE，负数集合：QUOTE，无理数集合：QUOTE．17．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）：①QUOTE−2−2，②π，③QUOTE−13−13，④QUOTE−−3−−3，⑤QUOTE227227，⑥QUOTE−0.3−0.3，⑦QUOTE−4−4，⑧QUOTE55，⑨0，⑩QUOTE（每两个1之间依次多一个0）．正数：{

…}；整数：{

…}；分数：{

…}；非负有理数：{

…}；无理数：{

…}；负实数：{

…}．【答案】②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦【分析】本题考查了实数的分类，根据实数的分类，逐一判断即可解答．【详解】解：QUOTE−−3=−3−−3=−3，QUOTE−4=−2−4正数：{②⑤⑧⑩…}；整数：{①④⑦⑨…}；分数：{③⑤⑥…}；非负有理数：{⑤⑨…}；无理数：{②⑧⑩…}；负实数：{①③④⑥⑦…}；故答案为：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦．考点五：实数的性质18．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）QUOTE−6−6的相反数是，绝对值等于QUOTE22的数是，QUOTE【答案】QUOTE66QUOTE卤2卤2QUOTE蟺−3蟺−3/QUOTE【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案．【详解】解：QUOTE−6−6的相反数是QUOTE66，绝对值等于QUOTE22的数是QUOTE卤2卤2，QUOTE3−蟺=蟺−33−蟺=蟺−3，故答案为：QUOTE66，QUOTE卤2卤2，QUOTE．19．（23-24七年级下·四川广元·期末）在数QUOTE−0.1−0.1，0，QUOTE3−643−64和QUOTE中，绝对值等于它本身的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查绝对值，立方根的知识，求出每一个数的绝对值进行比较即可求出．【详解】解：QUOTE−0.1=0.1−0.1=0.1，绝对值不等于它本身QUOTE0=00=0，绝对值等于它本身QUOTE3−64=−43−64=−4，QUOTE3−64=43−64QUOTE，绝对值等于它本身绝对值等于它本身的共有2个；故选：B．20．（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（

）A．QUOTE2−32−3的相反数为QUOTE3−23−2 B．QUOTE蟺−3.14蟺−3.14的绝对值是QUOTE3.14−蟺3.14−蟺C．若QUOTEx2=6x2=6，则QUOTEx=6x=6 D．若QUOTEx3=6x3=6，则QUOTE【答案】A【分析】．本题主要考查了相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质．根据相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质即可得到答案．【详解】解：A．QUOTE2−32−3的相反数为QUOTE3−23−B．QUOTE蟺−3.14蟺−3.14的绝对值是QUOTE蟺−3.14蟺−3.14，故本选项错误，不符合题意；C．若QUOTEx2=6x2=6，则QUOTE，故本选项错误，不符合题意；D．若QUOTEx3=6x3=6，则QUOTEx=36x=3故选：A．考点六：实数与数轴21．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图，QUOTE正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结