2025年人教版七年级数学寒假复习 专题04 整式的加减（5重点串讲+16考点提升+过关检测）

专题04整式的加减考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升提升专练：真题感知+精选专练，全面突破知识点1：单项式单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.知识点2：多项式多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．知识点3：合并同类项1.同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.2.合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）合并同类项的一般步骤：1）准确找出同类项；2）利用法则，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变；3）写出合并后的结果，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列，注意不要漏项.知识点4：去括号法则去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改，括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变.（简记：去掉正括号，各项不变号；去掉负括号，各项都变号）添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号.【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.知识点5：整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；考点剖析【考点1】整式的相关概念1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（

）A．单项式24B．多项式x2C．−56D．ab2+22．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）代数式xy3、3x、x+y2、3ab、−m+n7、A．4个 B．5个 C．6个 D．7个3．（24-25七年级上·江西九江·期中）若多项式xym−n+(n+2)x2y3+14．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）在下列代数式中：①−34xy2z，②3m2n2，③x2单项式有：；多项式有：．（只填序号）把整式3xy2−2x25．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）把下列各代数式填在相应的横线上：−xy+2，−ab4，1x，−2a2+3a+1(1)单项式_______；(2)多项式_______；(3)二次三项式_______．6．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式−12x(1)求m+n的值；(2)3x|m|−m−2y+4是一个关于x，y的二次三项式，且x【考点2】与单项式有关的规律探索7．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）按规律排列的式子如下：x，−2x2，4x3A．2xn B．−2xn−1 C．−2n−1x8．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：−a，a32，−a53，a74，−a9A．−1n⋅a2n+1n B．−1n9．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是．（填→、↑、←、↓）【考点3】已知同类项求指数中字母的值或代数式的值10．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知3x2y与−511．（24-25七年级上·广西梧州·期中）已知有理数a，b满足：3x2y(1)求a和b的值；(2)先化简，再求值：3a12．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知−2abx+1与4ab3是同类项，−2a2b13．（24-25七年级上·全国·期末）已知单项式34xbya+1与单项式−5(1)a=，b=，c=；(2)若关于x的二次三项式ax2+bx+c【考点4】整式的加减14．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）化简：1215．（24-25七年级上·河南许昌·期中）化简(1)6(2)2【考点5】利用整体的思想解决整式的加减16．（24-25七年级上·广东广州·期中）我们知道：4x+2x−x=4+2−1x=5x，类似地，若我们把a+b看成一个整体，则有(1)把a−b2看成一个整体，合并3(2)已知：x2+2y=5，求代数式(3)已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，求a−c的值．17．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知x2+x=0，求x2+x+1998的值．我们将【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若x2+x−2=0，则（2）如果a−b=6，求2(a−b)+4a−4b+21的值．【拓展探索】（3）若a2+2ab=−5，b2【考点6】整式加减中的化简求值18．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值.23b−4a−1−3b−2a−3，其中a=−219．（24-25七年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：2xy−3−53x20．（24-25七年级上·四川成都·期中）先化简再求值：已知|a|=3，b2=25，且a+b<0，求21．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)比较a,b,c,a,−b(2)化简：a−b+【考点7】整式加减中的无关型问题22．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知A=2x2+3xy−2x−1(1)求3A+6B；(2)若3A+6B的值与x无关，求y的值．23．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）A=2a2+3ab−2a−(1)当a+12+b+2(2)若代数式4A−3A−2B的值与a的取值无关，求b24．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）已知两个多项式A、B，其中B=a2+ab，小明在计算A+B时，误将其抄成了A−B(1)求多项式A．(2)多项式C=9a2+mab，是否存在数m，使得关于a，b的多项式C−A的化简结果与b【考点8】整式加减中的不含型问题25．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）已知M、N是关于x的多项式，M=mx2−2x+5(1)m=2时，化简M+N；(2)在（1）的条件下，若M+N+Q=0，求Q的代数式；(3)若M与N的差中不含x2项，求m26．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于x的多项式A，B，其中A=mx2+2x−1，B=x2(1)当m=2，n=3时，化简2B−A；(2)若2B−A的结果不含x项和x2项，求m−2n【考点9】与整式加减有关的新定义问题27．（24-25七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算“※”，a※b=ab−a+b，例如(1)2※(2)当m=−2时，求2m※28．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|−|a−b|．(1)直接写出+3⊙(2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b；(3)在条件（2）下，直接写出2b⊙29．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）定义一种新运算，观察下列式子：1☆35☆4☆…若a、b符合上面式子的规律．(1)a☆b=_______（用含(2)已知a☆b=2，求30．（24-25七年级上·福建泉州·期中）材料一定义：对任意一个四位数abcd（其中1≤a，b，c，d≤9且均为整数），若a+c=9，b+d=9，则称abcd为“久久数”．材料二如果一个两位数的个位数是b，十位数是a，那么我们可以把这个两位数简记为ab，即ab=10a+b阅读以上材料，完成下列任务：任务一填空：3267（“是”或“不是”）“久久数”，2435（“是”或“不是”）“久久数”；任务二请用含a，b，c，d的代数式表示abcd=任务三求证：任意一个“久久数”abcd都能被99整除．31．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”．例如：多项式20x+8y的系数和为20+8=28=7×4，所以多项式20x+8y是“卓越多项式”．请根据这个定义解答下列问题：(1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号）①3x2−10x；②2ab+3b(2)若多项式4mx−ny是关于x，y的“卓越多项式”（其中m，n均为整数），则多项式2mx+3ny也是关于x，y的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．【考点10】以注重过程性学习的形式考查整式的加减32．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）以下是圆圆化简3x−24解法一：原式==−3x解法二：原式=3x−2−2=3x−2−6x+8=−3x+6．圆圆发现两种解答的结果不同，是否有正确的解答？如果两种解答都错误，写出正确的解答过程．33．（24-25七年级上·山西晋中·期中）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下：已知多项式A=4ab−5+b2，B=b下面是这位同学的解题过程：解：A−2B=4ab−5+=4ab−5+b=−b请回答下列问题：(1)这位同学从第______步开始出现错误，错误的原因是_________；(2)请正确化简A−2B，并求当a=3，b=2时，A−2B的值．34．（24-25七年级上·湖南永州·期中）以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题：化简：2原式=6=6a=−10a+ab………………第三步(1)①以上步骤中第一步依据的运算律是________；A．加法结合律

B．乘法分配律

C．加法交换律②从第________步开始出现错误，出现错误的原因是________________；(2)请写出正确的化简过程，并计算当a，b满足a+b=32，35．（24-25七年级上·河南新乡·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下：先化简，再求值：−3y−3x2−3xy解：原式=−3y−3x=−3y−9x2=−9x2=−17x2当x=2，y=1时，−17=−17×=−38．(1)上述计算过程中，第一步运算的理论依据是______；(2)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步；(3)请给出正确的解答过程．【考点11】整式加减的应用36．（24-25七年级上·全国·期末）我校有三个年级，其中初三年级有2x+3y名学生，初二年级有4x+2y名学生，初一年级有x+4y名学生，请你算一算，我校共有多少名学生？37．（24-25七年级上·江西九江·期中）学校花卉管理师傅在学校劳动基地选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育，其中长方形花坛中共种植(2a−b)株，正方形花坛中共种植了(8a+5b)株（a>b>0）．(1)正方形花坛比长方形花坛多种植了多少株花卉？(2)当a=4，b=2时，这两块花坛一共种植了多少株花卉？38．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（a>b>c），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为l1，l2，(1)用含a、b、c的代数式分别表示l1，l2，(2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由．39．（24-25七年级上·全国·期中）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需要乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不小于5盒）．(1)分别用代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用；(2)当需要40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为划算．40．（24-25七年级上·全国·期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数．请分别计算新数与原数的和与差，并回答，这个和能被11整除吗？差呢？41．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5(1)甲同学设A=x，请通过计算得出结论；(2)乙同学说自己设C=x更简单，请你也来试一试；(3)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是120吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由；(4)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式A−2B+3C+4D−6E的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．42．（2024七年级上·全国·专题练习）奇奇同学发现按下面的步骤进行运算，所得结果一定能被9整除．请你用我们学过的代数式的知识解释这一现象．步骤：任意写一个十位数字比个位数字大的两位数（个位数字不为0）→交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数→将原数与新数相减，得出结果．举例：原数82→新数28→求差：82−28=54→判断：54能被9整除．【考点12】与整式加减有关的面积计算类问题43．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米．（提示：x⋅x=x(1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含x的代数式表示）(2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的12（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为S1，S2，试比较S44．（24-25七年级上·广东汕头·期中）综合与实践如何设计装饰布，优化透光面积素材1小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为3a，宽为4b．素材2小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为b．问题解决任务1分析数量关系结合素材1，用含a，b的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留π）任务2确定透光面积结合素材1，当a=50cm，b=20cm时，求窗户的透光面积．（π取任务3设计悬挂方案结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（π取3）45．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是一长方形空地，长为a米，宽为3b米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为b米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为a米，宽为b米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地．

(1)四个花圃的总面积为______平方米；(2)求绿地的面积；(3)当a=12，46．（24-25七年级上·江西赣州·期中）有这样一道题：关于x的多项式ax+4与3x−3的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即(ax+4)+(3x−3)=ax+4+3x−3=(a+3)x+1，所以a+3=0，则a=−3．【初步尝试】（1）若关于x的多项式2ax−4x+a2的值与x无关，求【深入探究】（2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S①若AB=10,m=2,n=6，求S1②当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求【考点13】整式加减与数轴综合47．（24-25七年级上·广东·期中）数轴上点A和点C表示的数分别为a和c，且a+20+c−302=0，我们把数轴上点A，(1)a=______，c=______；(2)若点D对应的数为0，只移动D点，要使得A，C，D其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．(3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的运动速度分别为每秒2个单位长度、每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，式子2AB−mBC的值不随时间的变化而变化，试求2AB−mBC的值．48．（24-25七年级上·全国·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足c−32

(1)请直接写出a，b，c的值：a=________；b=________；c=________；(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：x+1−49．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足a+3+b−92(1)请直接写出a=______，b=______；(2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）．①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由；②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取OB和AQ的中点E，F，试判断AB−OQEF50．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是−4、−2、3，请回答：(1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动个单位；(2)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有种，其中移动所走的距离和最小的是个单位；(3)若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳步，落脚点表示的数是；(4)数轴上有个动点表示的数是x，则x−2+x+3的最小值是∴应跳199步，落脚点表示的数是100．51．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作a−b：(1)数轴上表示x和3的两点A和B之间的距离是______；如果AB=2，那么x(2)当x满足条件______时，x+1+(3)当x满足条件______时，x+1+(4)x+1+2(5)12【考点14】整式加减与绝对值综合52．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题：【知识回顾】数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB；（1）若a=−1，b=3，则AB=若a=−1，b=−4，则AB=一般地，AB=（用含a，b的代数式表示）．【概念理解】（2）代数式x+3+x−4的最小值为【深入探究】（3）代数式x+3+x−m+x−4（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的53．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：5−−2表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2

(1)数轴上表示x与-5的两点之间的距离可以表示为．(2)同样的道理，|x+2|+|x−1|表示数轴上有理数x所对应的点到-2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x−1|=3，这样的整数是．(3)根据数轴，若|x+2|+|x−3|+|x−5|+|x+a|的最小值是13，请直接写出a的值．(4)由以上探索猜想|x+6|+|x−13|+2|x−200|是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数x的和；如果没有，说明理由．54．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程．【回顾·反思】数学兴趣小组在研究x+4+x−7的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现x+4就是x和−4所对应的两个点之间的距离，x−7就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用−4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到−4与在数轴上，①如图1，若x代表的数在−4的左侧，则x到−4与x到7的距离之和大于11；②如图2，若x代表的数在−4与7之间，则x到−4与x到7的距离之和等于11；③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到−4与x到7的距离之和大于11；④若x=−4，则x到−4与x到7的距离之和等于11；⑤若x=7，则x到−4与x到7的距离之和等于11；综合以上各种情况，x+4+【操作·思考】数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究x+2−x+2就是x和所对应的两个点之间的距离，x−3就是x和所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出x+2−x−3的最大值为【尝试·思考】当x=a或b时a≠b，代数式x+2−x−2−x−6【考点15】数字类规律探索55．（24-25七年级上·河南·阶段练习）阅读下列材料：①11×2=1−12，②11×3=12×③11×4=13×利用由①②③组中你发现的等式规律计算：21×5+56．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点A0表示的数为−2，点A1（不与A0重合）、A0分别到1对应的点的距离相等，点A2（不与A1重合）、A1分别到2对应的点的距离相等，点A3（不与57．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为−x+2x2−3x3+4x4−558．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）已知，21=2，22=4，23=8，24【考点16】图形类规律探索59．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，把边长为1的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形得到图2，称为一次“生长”．在得到的多边形上类似“生长”，一共“生长”n次，则得到的多边形的周长是．60．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色六边形地面砖块．61．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的12，14，18，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，62．（2025七年级下·全国·专题练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2,⋯，第n次对折后得到的图形面积为Sn过关检测1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）阅读下列材料．让我们规定一种运算abcd=ad−cb，如(1)计算60.5412=(2)当x=−1时，求−3x2．（2024七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：−x2y−7xy−24xy−2−x3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）先化简再求值：3a2b+ab24．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式2x2+mx−y+6与2nx25．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）已知A=a2−2ab+(1)求A+B；(2)求12(3)如果2A−3B+C=0，那么C的表达式是什么？6．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法：若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，则a<b；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”．(1)分别求出图1中长方形A的周长CA和图2中长方形B的周长C(2)若a>b，请用“作差法”比较CA，C(3)若a=2c，b+2a=10，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______．7．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足a−12+b+3

(1)分别求a，b，c的值；(2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值；(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？②是否存在一个常数k，使得3AC−kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

专题04整式的加减考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升提升专练：真题感知+精选专练，全面突破知识点1：单项式单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.知识点2：多项式多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．知识点3：合并同类项1.同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.2.合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）合并同类项的一般步骤：1）准确找出同类项；2）利用法则，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变；3）写出合并后的结果，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列，注意不要漏项.知识点4：去括号法则去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改，括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变.（简记：去掉正括号，各项不变号；去掉负括号，各项都变号）添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号.【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.知识点5：整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；考点剖析【考点1】整式的相关概念1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（

）A．单项式24B．多项式x2C．−56D．ab2+2【答案】D【分析】本题主要考查的是单项式和多项式的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．依据单项式和多项式的相关概念、乘方的意义进行解答即可．【详解】解：A、单项式24xy的系数是B、多项式x2+x−1的常数项是C、−56的底数是D、ab2+2故选：D．2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）代数式xy3、3x、x+y2、3ab、−m+n7、A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【分析】本题主要考查了整式的定义，根据整式的定义：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，进行判断即可．【详解】解：整式有xy3、x+y2、3ab、−故选：B．3．（24-25七年级上·江西九江·期中）若多项式xym−n+(n+2)x2y3+1【答案】−2【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式中单项式的个数为多项式的项数，最高项的次数为多项式的次数，得到m−n+1=4,n+2=0，求出m,n的值即可．【详解】解：由题意，得：m−n+1=4,n+2=0，∴n=−2,m=1，∴mn=−2；故答案为：−2．4．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）在下列代数式中：①−34xy2z，②3m2n2，③x2单项式有：；多项式有：．（只填序号）把整式3xy2−2x2【答案】①②④⑥；③⑤⑧；−【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式；‌单项式‌是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也称为单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，根据单项式，多项式的定义进行选择，按某个字母降幂排列的知识解决即可．【详解】解：单项式有：①②④⑥；多项式有：③⑤⑧；整式3xy2−2x2故答案为：①②④⑥；③⑤⑧；−x5．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）把下列各代数式填在相应的横线上：−xy+2，−ab4，1x，−2a2+3a+1(1)单项式_______；(2)多项式_______；(3)二次三项式_______．【答案】(1)−ab4(2)−xy+2，−2a2+3a+1，(3)−2【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）根据单项式是数与字母的积可得答案；（2）根据多项式是几个单项式的和可得答案；（3）根据多项式中的每个单项式是多项式的项结合多项式的次数概念可得答案．【详解】（1）解：单项式：−ab4，（2）解：∵a2+b∴a2+b∴多项式：−xy+2，−2a2+3a+1，a（3）解：∵−xy+2，a2+b∴−xy+2，a2+b∴二次三项式：−2a6．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式−12x(1)求m+n的值；(2)3x|m|−m−2y+4是一个关于x，y的二次三项式，且x【答案】(1)6(2)28【分析】本题考查了代数式求值，单项式，多项式，非负数的性质：绝对值、偶次方，熟练掌握这些知识点是解题的关键．（1）根据多项式的次数、单项式的次数的定义即可求出m、n的值，从而求出m+n的值；（2）根据多项式的项、次数的定义求出m的值，根据非负数的性质求出x、y的值，即可求出这个多项式的值．【详解】（1）解：∵多项式−1∴2+m=4，解得m=2，∵单项式2πy∴n=4，∴m+n=2+4=6；（2）解：∵x+2又∵x+22≥0∴x+2=0，y−3=0，∴x=−2，y=3，∵3x|m|−m−2y+4∴m=2，解得m=−2，∴这个二次三项式是3x∴这个多项式的值为3×−2【考点2】与单项式有关的规律探索7．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）按规律排列的式子如下：x，−2x2，4x3A．2xn B．−2xn−1 C．−2n−1x【答案】C【分析】本题考查了单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由x=−20x，−2x2=−21x【详解】解：由题意知，x=−2−2x4x−8x∴可推导一般性规律为，第n个式子是−2n−1故选：C．8．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：−a，a32，−a53，a74，−a9A．−1n⋅a2n+1n B．−1n【答案】D【分析】本题考查单项式的规律探究．由所给的单项式可得，系数的符号是−1n，系数的分母是n，次数为2n−1，则可求第n个单项式为−1【详解】解：由所给的单项式可得，系数的符号是−1n，系数的分母是n，次数为2n−1∴第n个单项式为：−1n故选：D．9．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是．（填→、↑、←、↓）【答案】→【分析】本题考查图形类规律探究，根据箭头规律按照↓,→,↑,→的顺序为一个循环，进行判断即可．【详解】解：由图可知：箭头规律按照↓,→,↑,→的顺序为一个循环，∵2024÷4=506，∴第2024个单项式的位置与−4a∴第2024个单项式到第2025个单项式的箭头为：→；故答案为：→．【考点3】已知同类项求指数中字母的值或代数式的值10．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知3x2y与−5【答案】8ab【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，同类项，及利用同类项的定义求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由同类项的定义可求得a、b的值，再化简代数式代入求值即可．【详解】解：∵3x2y∴1+a=2，b+3=1，解得：a=1，b=−2，3a=3ab=3ab=8ab把a=1，b=−2，代入8ab8×1×−2=8×4−8=24．11．（24-25七年级上·广西梧州·期中）已知有理数a，b满足：3x2y(1)求a和b的值；(2)先化简，再求值：3a【答案】(1)−2，2；(2)a2+4ab，【分析】（1）根据同类项的概念，所含字母相同并且相同字母的指数相等的单项式为同类项，求解即可；（2）根据整式加减运算进行化简，然后代入求解即可．此题考查了同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握同类项的概念，正确求得a，【详解】（1）解：由题意可得：2=−a，b+1=3，解得a=−2，b=2，故答案为：−2，2；（2）解：3=3=a将a=−2，b=2代入得原式=−212．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知−2abx+1与4ab3是同类项，−2a2b【答案】8【分析】本题考查了同类项的定义、单项式的系数和次数的定义，结合题意求出x、y、m的值，然后代入代数式计算即可．【详解】解：根据题意，得x+1=3，所以x=2，则−2xy+6x13．（24-25七年级上·全国·期末）已知单项式34xbya+1与单项式−5(1)a=，b=，c=；(2)若关于x的二次三项式ax2+bx+c【答案】(1)1，3，2(2)2022【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键；（1）根据同类项的定义可得a+1=2,6−b=b，根据多项式的次数的定义可得c=2，即可求出a，b，c的值；（2）先求出x2+3x=1，再整体代入变形后的代数式【详解】（1）解：∵单项式34xb∴a+1=2,6−b=b，解得a=1,b=3，∵c是多项式2mn−5m−n−3的次数，∴c=2，故答案为：1,3,2；（2）解：由（1）可得：x2∴x∴2024−2x∴代数式2024−2x2−6x【考点4】整式的加减14．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）化简：12【答案】−3m+n【分析】本题考查了整式的加减混合运算．先计算括号内的运算，然后合并同类项，即可得到答案．【详解】解：1===−3m+n．15．（24-25七年级上·河南许昌·期中）化简(1)6(2)2【答案】(1)y(2)a【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键；（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）解：6=6=y；（2）解：2=2a=ab【考点5】利用整体的思想解决整式的加减16．（24-25七年级上·广东广州·期中）我们知道：4x+2x−x=4+2−1x=5x，类似地，若我们把a+b看成一个整体，则有(1)把a−b2看成一个整体，合并3(2)已知：x2+2y=5，求代数式(3)已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，求a−c的值．【答案】(1)−2(2)6(3)8【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键．（1）根据阅读提供的解法解答即可．（2）把x2+2y看成整体，利用整体代入计算，求代数式（3）根据题意a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，先求出a−c,2b−d的值，后整体代入计算代数式【详解】（1）解：3==−2a−b（2）解：∵x2∴−3=−3=−3×5+21=6．（3）解：∵a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，∴a−2b2b−c+∴(a−c)+(2b−d)−(2b−c)=−2+5−(−5)=8．17．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知x2+x=0，求x2+x+1998的值．我们将【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若x2+x−2=0，则（2）如果a−b=6，求2(a−b)+4a−4b+21的值．【拓展探索】（3）若a2+2ab=−5，b2【答案】（1）2026；（2）57；（3）−19【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减，利用整体思想解题是关键．（1）由已知得到x2（2）将2(a−b)+4a−4b+21变形为6(a−b)+21，再整体代入求值即可；（3）将2a2−3【详解】解：（1）∵x2∴x2∴x2故答案为：2026；（2）∵a−b=6，∴2(a−b)+4a−4b+21=2(a−b)+4(a−b)+21=6(a−b)+21=6×6+21=57；（3）∵a2+2ab=−5，2=2=2=2×=−10−9=−19．【考点6】整式加减中的化简求值18．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值.23b−4a−1−3b−2a−3，其中a=−2【答案】3b−2a+7，19【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去括号再合并同类项，最后代数求值即可．【详解】解：原式=6b−8a−2−3b+6a+9=3b−2a+7，将a=−2，b=−1原式=3×(−=1919．（24-25七年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：2xy−3−53x【答案】2【分析】此题考查了整式的加减化简求值，以及绝对值和平方的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．首先根据原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x=12，【详解】2xy−=2xy−=2xy+5=2x∵x−12∴x−∴x−12=0∴x=12，原式=2×=−=−220．（24-25七年级上·四川成都·期中）先化简再求值：已知|a|=3，b2=25，且a+b<0，求【答案】ab2【分析】本题考查了整式的加减—化简求值、绝对值性质、有理数的乘方，解决本题的关键是正确掌握相关运算法则．根据|a|=3，b2=25，且a+b<0，求出a=±3，b=−5，然后去括号，合并同类项，化简整式，最后将a、【详解】解：因为|a|=3，所以a=±3，因为b2所以b=±5，因为a+b<0，所以a=±3，b=−5，3=3=3=ab当a=3，b=−5时，原式=3×(−5)当a=−3，b=−5时，原式=(−3)×(−5)综上，原式的结果是±45．21．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)比较a,b,c,a,−b(2)化简：a−b+【答案】(1)a<−(2)2b【分析】本题考查数轴、有理数的大小比较、绝对值的化简，合并同类项；（1）根据数轴可得a<c<0<b，a>b>（2）由（1）可得a<c<0<b，a>b>c，可得a−b<0，【详解】（1）解：由数轴可得，a<c<0<b，a>∴a,b,c,a∴a<−b（2）解：由数轴可得，a<c<0<b，a>∴a−b<0，b−c>0，a+c<0，∴a−b=−a+b+b−c+c+a=2b．【考点7】整式加减中的无关型问题22．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知A=2x2+3xy−2x−1(1)求3A+6B；(2)若3A+6B的值与x无关，求y的值．【答案】(1)15xy−6x−9(2)y=【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．（1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可；（2）根据15xy−6x−9=15y−6x−9，3A+6B的值与x无关，得出【详解】（1）解：∵A=2x2+3xy−2x−1∴3A+6B=3=6=15xy−6x−9．（2）解：15xy−6x−9=15y−6∵3A+6B的值与x无关，∴15y−6=0，解得：y=223．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）A=2a2+3ab−2a−(1)当a+12+b+2(2)若代数式4A−3A−2B的值与a的取值无关，求b【答案】(1)11(2)0.5【分析】（1）利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，得4ab−2a+1，再利用非负数的意义求得a，b的值，最后将a，b值代入运算即可；（2）根据代数式4A−3A−2B的值与a的取值无关，可知a的系数为0，可求出b此题考查了整式的加减－化简求值，无关型问题，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】（1）解：∵A=2a2+3ab−2a−∴4A−=4A−3A+2B=A+2B，==2=4ab−2a+1，∵a+12+b+2=0∴a+1=0，b+2=0，∴a=−1，b=−2，∴原式=4×=8+2+1=11；（2）解：依题意，4A−3A−2B∵代数式4A−3A−2B的值与a∴4b−2=0，解得b=0.5，∴b的值为0.5．24．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）已知两个多项式A、B，其中B=a2+ab，小明在计算A+B时，误将其抄成了A−B(1)求多项式A．(2)多项式C=9a2+mab，是否存在数m，使得关于a，b的多项式C−A的化简结果与b【答案】(1)a(2)存在，−1【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键；（1）根据题意用结果加上B，即可求多项式A；（2）根据题意计算C−A，然后计算m+1=0，即可求解；【详解】（1）解：A=−2ab+3+（2）解：存在，C−A=9=9=8a∵C−A的化简结果与b的值无关∴m+1=0，故m=−1；【考点8】整式加减中的不含型问题25．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）已知M、N是关于x的多项式，M=mx2−2x+5(1)m=2时，化简M+N；(2)在（1）的条件下，若M+N+Q=0，求Q的代数式；(3)若M与N的差中不含x2项，求m【答案】(1)5(2)−5(3)m=3【分析】（1）将m=2代入，利用整式加减运算法则进行计算即可；（2）根据M+N+Q=0，得出Q=−M−N，求出Q的值即可；（3）先求出M与N的差，然后根据差中不含x2项，得出关于m【详解】（1）解：m=2时，M=mx∴M+N=2=2=5x（2）解：∵M+N+Q=0，∴Q=−M−N=−=−=−5x（3）解：M+N=m=m=m−3∵M与N的差中不含x2∴m−3=0，解得：m=3．【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确进行计算．26．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于x的多项式A，B，其中A=mx2+2x−1，B=x2(1)当m=2，n=3时，化简2B−A；(2)若2B−A的结果不含x项和x2项，求m−2n【答案】(1)−8x+5(2)m−2n=4【分析】本题主要考查整式的加减运算及不含某项问题，熟练掌握整式的加减运算及不含某项问题是解题的关键；（1）把m=2，n=3代入A、B两个多项式，然后根据题意化简2B−A即可；（2）先对2B−A进行运算，然后根据不含x项和x2【详解】（1）解：当m=2，n=3时，2B−A=2=2=−8x+5；（2）解：2B−A=2−m∵2B−A的结果不含x项和x2∴2−m=0，∴m=2，∴m−2n=4．【考点9】与整式加减有关的新定义问题27．（24-25七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算“※”，a※b=ab−a+b，例如(1)2※(2)当m=−2时，求2m※【答案】(1)−5(2)13【分析】本题考查新定义运算，涉及整式加减及乘法运算、有理数的加减运算及乘法运算等知识，读懂题意，理解新定义运算是解决问题的关键．（1）根据新定义运算法则a※（2）根据新定义运算法则a※b=ab−a+b，将2m※【详解】（1）解：∵a※∴2※故答案为：−5；（2）解：∵a※∴2m※∴当m=−2时，−8m−3=13．28．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|−|a−b|．(1)直接写出+3⊙(2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b；(3)在条件（2）下，直接写出2b⊙【答案】(1)−6；(2)−2a；(3)4a．【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的意义、利用数轴判断式子的正负，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）根据题干的新定义列式计算即可得解；（2）由数轴可得b<0<a，b>a，得出a+b<0，（3）由（2）可得：b−a<0，a+b<0，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解．【详解】（1）解：+3⊙（2）解：由数轴可得：b<0<a，b>∴a+b<0，a−b>0，∴a⊙b=a+b（3）解：由（2）可得：b−a<0，a+b<0，∴2b⊙29．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）定义一种新运算，观察下列式子：1☆35☆4☆…若a、b符合上面式子的规律．(1)a☆b=_______（用含(2)已知a☆b=2，求【答案】(1)3a+2b(2)6【分析】本题主要考查了规律探究，代数式求值，整式加减运算，解题的关键是理解题意，得出运算规律．（1）根据已知给出的式子，即可猜想出结果；（2）根据a☆b=2，得出3a+2b=2，根据新定义化简【详解】（1）解：∵1☆35☆4☆∴a☆（2）解：∵a☆∴3a+2b=2，∴a−2b=3=3a−6b+6a+12b=9a+6b=3=6．30．（24-25七年级上·福建泉州·期中）材料一定义：对任意一个四位数abcd（其中1≤a，b，c，d≤9且均为整数），若a+c=9，b+d=9，则称abcd为“久久数”．材料二如果一个两位数的个位数是b，十位数是a，那么我们可以把这个两位数简记为ab，即ab=10a+b阅读以上材料，完成下列任务：任务一填空：3267（“是”或“不是”）“久久数”，2435（“是”或“不是”）“久久数”；任务二请用含a，b，c，d的代数式表示abcd=任务三求证：任意一个“久久数”abcd都能被99整除．【答案】任务一：是，不是任务二：1000a+100b+10c+d任务三：证明见解析【分析】（1）结合新定义“久久数”，直接判断即可；（2）结合材料二直接表示为：1000a+100b+10c+d；（3）依题意，结合新定义和数的表示方法可得：abcd=99【详解】解：（1）依题意，∵3+6=9，2+7=9，∴3267是久久数，∵2+3=5≠9，4+5=9，∴2435不是久久数，故答案为：是，不是；（2）根据材料二表示一个数的方法可得：abcd=1000a+100b+10c+d故答案为：1000a+100b+10c+d；（3）依题意可得：c=9−a，d=9−b，∴=1000a+100b+10=990a+99b+99=9910a+b+1∴任意一个“久久数”abcd都能被99整除．【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减运算，去括号，合并同类项，等式的性质1等知识点，读懂题意，弄清新定义并准确列式计算是解题的关键．31．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”．例如：多项式20x+8y的系数和为20+8=28=7×4，所以多项式20x+8y是“卓越多项式”．请根据这个定义解答下列问题：(1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号）①3x2−10x；②2ab+3b(2)若多项式4mx−ny是关于x，y的“卓越多项式”（其中m，n均为整数），则多项式2mx+3ny也是关于x，y的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．【答案】(1)①③(2)是，理由见解析【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键．（1）根据“卓越多项式”的定义求解即可；（2）根据多项式4mx−ny是关于x，y的“卓越多项式”，可设4m−n=7z（z为整数，z≠0），则n=4m−7z，多项式2mx+3ny的系数和为2m+3n，得到2m+3n=14m−21z，即可求解．【详解】（1）解：①∵多项式3x2−10x∴该多项式是“卓越多项式”，②∵多项式2ab+3b的系数和为2+3=5，∴该多项式不是“卓越多项式”，③∵多项式26x2−7y+2x∴该多项式是“卓越多项式”，故答案为：①③；（2）是，理由如下：∵多项式4mx−ny是关于x，y的“卓越多项式”，∴4m−n为7的整数倍，设4m−n=7z（z为整数，z≠0），则n=4m−7z，∵多项式2mx+3ny的系数和为2m+3n，∴2m+3n=2m+34m−7z∵14m−21z=72m−3z∴14m−21z是7的整数倍，即2m+3n是7的整数倍，∴多项式4mx−ny是关于x，y的“卓越多项式”（其中m，n均为整数），则多项式2mx+3ny也是关于x，y的“卓越多项式”．【考点10】以注重过程性学习的形式考查整式的加减32．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）以下是圆圆化简3x−24解法一：原式==−3x解法二：原式=3x−2−2=3x−2−6x+8=−3x+6．圆圆发现两种解答的结果不同，是否有正确的解答？如果两种解答都错误，写出正确的解答过程．【答案】两种解法都错误；正确解答过程见解析【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则．根据解法一和解法二的解题过程可以判断出两种解法都错误，然后写出正确的解题过程即可．【详解】解：由解法一的过程可知，第一步3x4正确的解题过程为：3x−2==−3x33．（24-25七年级上·山西晋中·期中）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下：已知多项式A=4ab−5+b2，B=b下面是这位同学的解题过程：解：A−2B=4ab−5+=4ab−5+b=−b请回答下列问题：(1)这位同学从第______步开始出现错误，错误的原因是_________；(2)请正确化简A−2B，并求当a=3，b=2时，A−2B的值．【答案】(1)二，去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号(2)A−2B=−b【分析】本题考查整式的减法计算，掌握运算法则是解题关键．（1）根据去括号法则可知第二步开始出现错误，原因是去括号时未变号；（2）根据整式的减法计算法则计算，再将a=3，b=2代入计算即可．【详解】（1）解：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号；（2）解：A−2B==4ba−5+=−b当a=3，b=2时，原式=−234．（24-25七年级上·湖南永州·期中）以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题：化简：2原式=6=6a=−10a+ab………………第三步(1)①以上步骤中第一步依据的运算律是________；A．加法结合律

B．乘法分配律

C．加法交换律②从第________步开始出现错误，出现错误的原因是________________；(2)请写出正确的化简过程，并计算当a，b满足a+b=32，【答案】(1)①C，②二，括号前是负号，去括号时没有改变符号；(2)见解析，17．【分析】1根据小飞同学的化简过程可以看出：小飞同学第一步依据的运算律是乘法分配律，②从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时没有改变符号；2根据去括号法则，括号前是负号去掉括号和括号前面的负号括号里面的各项都变号可得化简结果为8a+b−5ab，再把已知中所给出的a+b=3【详解】（1）解：①第一步依据的运算律是乘法分配律，故应选：B；②从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时没有改变符号，故答案为：括号前是负号，去括号时没有改变符号；（2）解：2==6=8a+8b−5ab，∵a+b=32，∴原式=8a+8b−5ab=8=8×=12+5=17．【点睛】本题主要考查了整式的加减、代数式的求值．整式的化简就是去括号、合并同类项，本题中求代数式的值时需要整体代入求值．35．（24-25七年级上·河南新乡·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下：先化简，再求值：−3y−3x2−3xy解：原式=−3y−3x=−3y−9x2=−9x2=−17x2当x=2，y=1时，−17=−17×=−38．(1)上述计算过程中，第一步运算的理论依据是______；(2)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步；(3)请给出正确的解答过程．【答案】(1)去括号的法则(2)二，−3y−3(3)原式=x2−xy−4y，当【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号的法则，根据整式的加减混合运算顺序和运算法则进行计算．注意去括号时，括号前为负数时，要变号．（1）根据去括号的法则即可进行解答；（2）根据去括号得法则即可进行解答；（3）先将整式进行化简，再代入求值即可．【详解】（1）解：第一步运算的理论依据是：去括号的法则；故答案为：去括号的法则．（2）解：根据题意得：他开始出现错误是在第二步，错误原因是：−3y−3故答案为：二，−3y−3（3）解：原式=−3=−3y+9=x当x=2,y=1时，原式=2【考点11】整式加减的应用36．（24-25七年级上·全国·期末）我校有三个年级，其中初三年级有2x+3y名学生，初二年级有4x+2y名学生，初一年级有x+4y名学生，请你算一算，我校共有多少名学生？【答案】(7x+9y)名【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，掌握加减法则是关键；把三个年级人数相加即可．【详解】解：2x+3y=2x+3y+4x+2y+x+4y=7x+9y答：我校共有(7x+9y)名学生．37．（24-25七年级上·江西九江·期中）学校花卉管理师傅在学校劳动基地选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育，其中长方形花坛中共种植(2a−b)株，正方形花坛中共种植了(8a+5b)株（a>b>0）．(1)正方形花坛比长方形花坛多种植了多少株花卉？(2)当a=4，b=2时，这两块花坛一共种植了多少株花卉？【答案】(1)(6a+6b)株(2)48株【分析】本题考查整式加减的实际应用：（1）用正方形花坛中数量减去长方形花坛中的数量进行计算即可；（2）先求和，再把a=4，b=2代入，计算即可．【详解】（1）解：根据题意可知：(8a+5b)−(2a−b)=(6a+6b)株，答：正方形花坛比长方形花坛多种植了(6a+6b)株花卉；（2）根据题意可知：这两块花坛共种植了花卉：(2a−b)+(8a+5b)=(10a+4b)株，当a=4，b=2时，(10a+4b)=10×4+4×2=40+8=48，答：这两块花坛一共种植了48株花卉．38．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（a>b>c），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为l1，l2，(1)用含a、b、c的代数式分别表示l1，l2，(2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由．【答案】(1)l1=2b+6c+4a；l2(2)最节省丝带的打包方式为③．【分析】本题考查了列代数式，整式的加减．（1）观察分析可得，可把该题看作与长，宽，高平行的丝带分别有几条，再求和即可；（2）通过比较（1）中计算出来的三种方式所用的丝带总长来判断．【详解】（1）解：l1丝带的长度为：ll2丝带的长度为：ll3丝带的长度为：l（2）解：∵a>b>c，∴l=2b+6c+4a−2a−6c−4b=2a−2b=2a−b∴l1l=−2a+2c=2c−a∴l3∴最节省丝带的打包方式为③．39．（24-25七年级上·全国·期中）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需要乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不小于5盒）．(1)分别用代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用；(2)当需要40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为划算．【答案】(1)在甲商店购买所需的费用为10x+200元，在乙商店购买所需的费用为9x+225元(2)去乙店购买合算【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键．（1）在甲商店购买时，购买乒乓球需要付费的盒数为x−5盒，在乙商店购买时，购买的所有乒乓球都要付费，分别用含x的代数式表示在两店购买所需的费用即可；（2）根据（1）中所列的代数式，分别求出当x=40时代数式的值即为在每家商店购买所需的费用，再进行比较，可知去哪家商店购买较为合算．【详解】（1）解：甲店购买需付款：50×5+x−5乙店购买需付款：50×90%∴在甲商店购买所需的费用为10x+200元，在乙商店购买所需的费用为9x+225元；（2）当x=40时，甲店需：10×40+200=600（元），乙店需：9×40+225=585（元），∵600>585，∴去乙店购买合算．40．（24-25七年级上·全国·期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数．请分别计算新数与原数的和与差，并回答，这个和能被11整除吗？差呢？【答案】和能被11整除，差不能被11整除，理由见解析【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意表示出新数与原数，求出它们的和、差，即可作出判断．【详解】解：和能被11整除，差不能被11整除，理由：根据题意得原数为10a+b，调换后的新数为10b+a．因为新数与原数的和为10a+b+所以新数与原数的和能被11整除．新数与原数的差为10b+a−∵9b−a÷11=所以这个差会被9整除，不能被11整除．41．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图1，这是某年11月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为A，B，C，D，E．这五个数的和能被5(1)甲同学设A=x，请通过计算得出结论；(2)乙同学说自己设C=x更简单，请你也来试一试；(3)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是120吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由；(4)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式A−2B+3C+4D−6E的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)这五个数的和能被5整除，见解析；(2)这五个数的和能被5整除，见解析；(3)不能，见解析；(4)是定值，为−14．【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．（1）设A=x，则B=x+1，C=x+8，（2）设C=x，则D=x+7，E=x+8，（3）设C=x，5x=120，x=24，则（4）设设C=x，则D=x+7，E=x+8，【详解】（1）解：这五个数的和能被5整除，计算见解析：设A=x，则B=x+1，∴A+B+C+D+E=x+x+1+x+8+x+15+x+16=5x+40=5x+8∵5x+8∴5x+8∴这五个数的和能被5整除．（2）解：这五个数的和能被5整除，计算见解析：设C=x，则D=x+7，∴A+B+C+D+E=x−8+x−7+x+x+7+x+8=5x．∵5x能被5整除，∴这五个数的和能被5整除．（3）解：不能，理由如下：设C=x，5x=120，x=24，则∵月历中没有数值32，∴“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和不能是120．（4）解：是定值，求解如下：设C=x，则D=x+7，∴A−2B+3C+4D−6E==x−8−2x+14+3x+4x+28−6x−48=−14．∴代数式A−2B+3C+4D−6E的值是定值，定值为−14．42．（2024七年级上·全国·专题练习）奇奇同学发现按下面的步骤进行运算，所得结果一定能被9整除．请你用我们学过的代数式的知识解释这一现象．步骤：任意写一个十位数字比个位数字大的两位数（个位数字不为0）→交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数→将原数与新数相减，得出结果．举例：原数82→新数28→求差：82−28=54→判断：54能被9整除．【答案】见解析【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．设原来的两位数十位数字为a，个位数字为b，表示出原来两位数与新的两位数，相减得到结果，即可发现能被9整除．【详解】解：设原来的两位数十位数字为a，个位数字为b，则原来两位数为10a+b，交换后的新两位数为10b+a．由题意可得：10a+b−故这个结果一定能被9整除．【考点12】与整式加减有关的面积计算类问题43．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米．（提示：x⋅x=x(1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含x的代数式表示）(2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的12（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为S1，S2，试比较S【答案】(1)2x，34x−2(2)S【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出花园道路的面积是解答的关键．（1）根据横向道路的宽是x米，根据纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍即可得到横向道路的宽；用纵向道路的面积加上横向道路的面积即可；（2）将S1，S【详解】（1）解：横向道路的宽是x米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，∴纵向道路的宽是2x米，由题意，图①中花园道路的面积为：10x+12×2x−2x⋅x=34−2（2）解：由题意得，题图①中花园的面积S1题图②中花园的面积S2=12×10−(12x+10×2x−x．则S1因为x>0，所以−2x<0，所以S144．（24-25七年级上·广东汕头·期中）综合与实践如何设计装饰布，优化透光面积素材1小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为3a，宽为4b．素材2小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为b．问题解决任务1分析数量关系结合素材1，用含a，b的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留π）任务2确定透光面积结合素材1，当a=50cm，b=20cm时，求窗户的透光面积．（π取任务3设计悬挂方案结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（π取3）【答案】任务1：12ab−2πb2；任务2：9488【分析】此题主要考查了列代数式，整式的加减，求代数式的值．任务1：根据窗户透光面积为“长方形的面积−两个四分之一圆的面积”列出代数式即可；任务2：当a=50cm，b=20任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积=长方形的面积−四个四分之一圆的面积”列出代数式．【详解】解：任务1，∵长方形窗户的长为3a，宽为4b，两个四分之圆的半径为2b，窗户透光面积s1故答案为：12ab−2π任务2：当a=50cm，b=20cm时，π=3.14，窗户透光面积任务3：设计示意图如下图所示：此时窗户透光面积S245．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是一长方形空地，长为a米，宽为3b米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为b米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为a米，宽为b米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地．

(1)四个花圃的总面积为______平方米；(2)求绿地的面积；(3)当a=12，【答案】(1