【-学案导学设计】2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.1.4

3.1.4空间向量的直角坐标运算课时目标把握空间向量的坐标运算，会依据向量的坐标推断两个向量共线或垂直，把握向量长度、两向量夹角和两点间距离公式．1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则{i，j，k}叫做________________．单位向量i，j，k都叫做______________．2．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，依据________________定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的__________，有序实数组________________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可记作a＝________________.3．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝________________________________，a－b＝________________________________，λa＝________________________，a·b＝________________________.a∥b(b≠0)⇔________________________，或当b与三个坐标平面都不平行时，a∥b⇔________________________________________；a⊥b⇔________________________.4．向量的坐标与点的坐标之间的关系设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝________________________.5．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则|a|＝________________，|b|＝______________，a·b＝________________，从而有cos〈a，b〉＝____________________________.6．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝______________________________.一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,1)C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,4)B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,3)D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，－3)2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则A．x＝eq\f(1,3)，y＝1B．x＝eq\f(1,2)，y＝－4C．x＝2，y＝－eq\f(1,4)D．x＝1，y＝－13．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)是a∥b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为()A.eq\r(65)B.eq\f(\r(65),2)C．4D．86．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(11,5)题号123456答案二、填空题7．已知三个力f1＝(1,2,3)，f2＝(－1,3，－1)，f3＝(3，－4,5)，若f1，f2，f3共同作用于同一物体上，使物体从点M1(1，－2，1)移动到点M2(3,1,2)，则合力所做的功是________．8．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.9.已知A（1，-1,2），B（5，-6,2），C（1,3，-1），则eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影为______．三、解答题10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2,并取A1B1、A1A的中点分别为P、（1）求向量eq\o(BQ,\s\up6(→))的长；（2）cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，并比较〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉与〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的大小；(3)求证：AB1⊥C1P.力气提升12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简洁运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要依据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较便利的写出点的坐标．3．1.4空间向量的直角坐标运算学问梳理1．单位正交基底坐标向量2．空间向量分解分向量(a1，a2，a3)(a1，a2，a3)3．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)(b1≠0，b2≠0，b3≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝04．(x2－x1，y2－y1，z2－z1)5.eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))eq\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))a1b1＋a2b2＋a3b3eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))6.作业设计1．C2．B[∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－4.]3．A[设eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，虽有a∥b，但条件eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)明显不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]4．D[∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝eq\f(7,5).]5．A[设向量a、b的夹角为θ，于是cosθ＝eq\f(4－2＋2,3×3)＝eq\f(4,9)，由此可得sinθ＝eq\f(\r(65),9).所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为S＝2×eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(65),9)＝eq\r(65).]6．C7．16解析合力f＝f1＋f2＋f3＝(3,1,7)，位移s＝eq\o(M1M2,\s\up6(→))＝(2,3,1)，∴功w＝f·s＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．11解析∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝k1eq\o(AB,\s\up6(→))＋k2eq\o(AC,\s\up6(→))，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k1＋6k2＝－2，,k1＋4k2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝－4，,k2＝1.))∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.9．－4解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝＝－eq\f(20,5\r(41))，eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20,5\r(41))))＝－4.10．解ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，则eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq\f(1,3).(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq\f(106,3).11．解以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．∴eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).(1)|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝＝eq\r(12＋－12＋12)＝eq\r(3).(2)∵eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝0－1＋2＝1，|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋12＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).又eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝0－1＋4＝3，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,\r(30))＝eq\f(\r(30),10).又0<eq\f(\r(15),15)<eq\f(\r(30),10)<1，∴〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).又y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内单调递减，∴〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉>〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉．(3)证明∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(C1P,\s\up6(→))＝(－1,1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))＝0，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(C1P,\s\up6(→)).12．解建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．∴eq\o(AO1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，∴cos〈eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(－2,2\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，∴AO1与B1E所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).(2)由题意得eq\o(O1D,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，∴eq\o(O1D,\s\up6(→))＝(x，y，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13).))∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))，∴O1D＝|eq\o(O1D,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a