【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第九章-第九节空间向量的坐标运算

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十一)一、选择题1.(2021·南宁模拟)已知空间直角坐标系中的两点P(1,-1,0),Q(2,3,-1),|QUOTE|=()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)3QUOTE2.平面α的一个法向量为n=(1,2,0),平面β的一个法向量为m=(2,-1,0),则平面α和平面β的位置关系是()(A)平行 (B)相交但不垂直(C)垂直 (D)重合3.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于()(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-24.(2021·玉林模拟)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()(A)2,QUOTE (B)-2,QUOTE (C)-3,2 (D)2,25.(力气挑战题)已知QUOTE=(1,5,-2),QUOTE=(3,1,z),若QUOTE⊥QUOTE,QUOTE=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为()(A)QUOTE,-,4 (B)QUOTE,-,4(C)QUOTE,-2,4 (D)4,QUOTE,-156.(2021·合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-C1的余弦值为()(A) (B)QUOTE (C)QUOTE (D)7.(2021·柳州模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()(A)QUOTE(B)(C)(D)QUOTE8.(2021·百色模拟)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量QUOTE与QUOTE的夹角为()(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°二、填空题9.(2021·九江模拟)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为.10.(2021·梧州模拟)已知二面角α-AB-β为120°,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长为.11.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE与BD的位置关系是.三、解答题13.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1.(2)BC1∥平面CA1D.14.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD为矩形,AD=QUOTEa,AB=QUOTEa,SA=SD=a.(1)求证:CD⊥SA.(2)求二面角C-SA-D的大小.15.(力气挑战题)(2021·天津模拟)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:AE⊥平面A1BD.(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.(3)求点B1到平面A1BD的距离.答案解析1.【解析】选D.|QUOTE|=QUOTE=3QUOTE.2.【解析】选C.∵n=(1,2,0),m=(2,-1,0),∴m·n=2-2+0=0,即m⊥n,∴α⊥β.3.【思路点拨】α∥β等价于其法向量平行.【解析】选C.∵α∥β,∴,∴k=4.【变式备选】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.∵α⊥β,∴n1⊥n2,即n1·n2=0,阅历证可知,选项A正确.4.【解析】选A.∵a∥b,设(λ+1,0,2)=k(6,2μ-1,2λ),∴QUOTE解得QUOTE或QUOTE5.【解析】选B.∵QUOTE⊥QUOTE,∴QUOTE·QUOTE=3+5-2z=0,即z=4.又BP⊥平面ABC,∴QUOTE·QUOTE=x-1+5y+6=0,①QUOTE·QUOTE=3x-3+y-3z=0,②由①②可得x=QUOTE,y=-.6.【解析】选D.设正方体棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,易知A1E⊥BD,C1E⊥BD,则∠A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角,QUOTE=(,-,1),QUOTE=(-,QUOTE,1),cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步骤是:①建系;②分别求构成二面角的两个半平面的法向量;③求法向量夹角的余弦值;④依据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】选C.建立如图所示空间直角坐标系,令AA1=2AB=2,则E(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2).QUOTE=(0,-1,1),QUOTE=(0,-1,2).∴cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()(A) (B) (C)QUOTE (D)QUOTE【解析】选D.建立坐标系,通过向量的坐标运算可知AM⊥OP总成立,即AM与OP所成角为.8.【解析】选C.由于A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),所以QUOTE=(0,3,3),QUOTE=(-1,1,0),所以QUOTE·QUOTE=0×(-1)+3×1+3×0=3,并且|QUOTE|=3QUOTE,|QUOTE|=QUOTE,所以cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=,∴QUOTE与QUOTE的夹角为60°,故选C.9.【解析】cos<m,n>=QUOTE=QUOTE,∴<m,n>=QUOTE,∴两平面所成二面角的大小为或.答案:或【误区警示】本题简洁认为两平面所成角只有,而忽视.10.【解析】如图所示,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE∴|QUOTE|=QUOTE=又∵AC⊥AB,BD⊥AB,二面角α-AB-β为120°,∴2QUOTE·QUOTE=0,2QUOTE·QUOTE=0,2QUOTE·QUOTE=2a2cos60°=a2,∴|QUOTE|=QUOTE=2a.答案:2a11.【解析】由条件,知QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,∴|QUOTE|2=|QUOTE|2+|QUOTE|2+|QUOTE|2+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE=62+42+82+2×6×8cos<QUOTE,QUOTE>=(2QUOTE)2,∴cos<QUOTE,QUOTE>=-QUOTE,<QUOTE,QUOTE>=120°,∴二面角的大小为60°.答案:60°12.【思路点拨】建立空间直角坐标系,利用坐标法解决.【解析】以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,设正方体棱长为1,则C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(QUOTE,QUOTE,1),∴QUOTE=(-QUOTE,-QUOTE,1),QUOTE=(-1,1,0),明显QUOTE·QUOTE=QUOTE-QUOTE+0=0,∴QUOTE⊥QUOTE,即CE⊥BD.答案:垂直13.【证明】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于QUOTE=(0,-2,-2),QUOTE=(-2,2,-2),所以QUOTE·QUOTE=0-4+4=0,因此QUOTE⊥QUOTE,故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E,连结DE,由于E(1,0,1),所以QUOTE=(0,1,1).又QUOTE=(0,-2,-2),所以QUOTE=-QUOTE.又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,故BC1∥平面CA1D.14.【解析】方法一:(1)由于平面SAD⊥平面ABCD,CD⊥AD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.又由于SA⊂平面SAD,所以CD⊥SA.(2)由(1)可知,CD⊥SA.在△SAD中,SA=SD=a,AD=QUOTEa,所以SA⊥SD.又CD∩SD=D,所以SA⊥平面SDC,所以SA⊥SC,所以∠CSD为二面角C-SA-D的平面角.在Rt△CDS中,tan∠CSD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以二面角C-SA-D的大小为QUOTE.方法二:取BC的中点E,AD的中点P,连接PE,PS.在△SAD中,SA=SD=a,P为AD的中点,所以SP⊥AD.又由于平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以SP⊥平面ABCD.明显有PE⊥AD.如图,以P为坐标原点,PA为x轴,PE为y轴,PS为z轴建立空间直角坐标系,则S(0,0,QUOTEa),A(QUOTEa,0,0),B(QUOTEa,QUOTEa,0),C(-QUOTEa,QUOTEa,0),D(-QUOTEa,0,0).(1)易知QUOTE=(0,-QUOTEa,0),QUOTE=(QUOTEa,0,-QUOTEa),由于QUOTE·QUOTE=0,所以CD⊥SA.(2)又QUOTE=(QUOTEa,-QUOTEa,0),设n=(x,y,z)为平面CSA的一个法向量,则有QUOTE即QUOTE取n=(QUOTE,QUOTE,QUOTE).明显,EP⊥平面SAD,所以QUOTE为平面SAD的一个法向量,所以m=(0,1,0)为平面SAD的一个法向量.所以cos<n,m>=QUOTE=QUOTE,所以二面角C-SA-D的大小为QUOTE.15.【思路点拨】由AA1⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.【解析】(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,QUOTE),B1(0,-2,QUOTE),QUOTE=(-2,-1,0),QUOTE=(-1,2,0),QUOTE=(0,0,-QUOTE).∴QUOTE·QUOTE=2-2+0=0,∴AE⊥A1D,QUOTE·QUOTE=0,∴AE⊥BD.又A1D与BD相交于D,∴AE⊥平面A1BD.(2)设平面DA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由Q