对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分一、第二类曲线积分的概念与性质引例在xOy面内，质点M在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j（P(x,y),Q(x,y)在L上连续）的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，试计算变力F(x,y)所做的功W（见图10-5）.图10-5一、第二类曲线积分的概念与性质分析如果力F是常力，且质点从A沿直线移动到B，那么常力F所做的功W可用公式来计算.现在F(x,y)是变力，且质点沿曲线L移动，功W不能直接按以上公式计算.可采用以下几个步骤来解决这个问题.(1)分割在L上沿L的方向插入一点列M1x1,y1,M2x2,y2,…,Mn-1xn-1,yn-1，与A=M0（x0，y0），B=Mn（xn，yn)把L分成n个有向小弧段设有向小弧段的弧长为Δsi，力F(x,y)沿有向小弧段所做的功为ΔWi.一、第二类曲线积分的概念与性质

(2)近似在

上任意取定的一点(ξi,ηi)处的力若Δsi充分小，可用有向线段来代替小弧段而在x轴与y轴上的投影分别为因此，力F(x,y)在小弧段上所做的功近似地等于常力所做的功一、第二类曲线积分的概念与性质(3)求和变力F对物体沿曲线所做的总功(4)取极限用λ表示n个小弧段的最大长度，令λ→0取上述和式的极限，得到变力F沿有向曲线弧所做的功，即这种和式的极限在研究其他问题时也会遇到，将其抽象出来得到下面的定义.一、第二类曲线积分的概念与性质定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数Px,y,Qx,y在L上有界.在L上沿其方向任意插入一点列把L分成n个有向小弧段其中M0=A,Mn=B.记各小弧段的弧长为设点上任意取定的点.若极限一、第二类曲线积分的概念与性质存在，则称此极限为函数P（x,y）,Q（

x,y

）在有向曲线弧L上的第二类曲线积分或对坐标的曲线积分，记为

（10-3）其中P（x,y）,Q（

x,y

）称为被积函数，L称为积分弧段.一、第二类曲线积分的概念与性质函数f（x,y）在闭曲线L上的第二类曲线积分记为称为函数Px,y在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，

称为函数Qx,y在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.注意一、第二类曲线积分的概念与性质若记Fx,y=Px,yi+Qx,yj，dr=dxi+dyj，则式(10-3)也可写成向量形式上述定义还可以推广到积分弧段为空间有向曲线弧Γ的情形,记dr=dxi+dyj+dzk，Ax,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk，则根据上述曲线积分的定义，可以导出第二类曲线积分的一些性质.一、第二类曲线积分的概念与性质性质1设α,β为常数，则性质2若有向弧段L可分成两段光滑的有向弧段L1,L2，则一、第二类曲线积分的概念与性质性质3设L是有向光滑的曲线弧，L-是L的反向曲线弧，则第二类曲线积分与曲线的方向有关.注意二、第二类曲线积分的计算设有向曲线弧L的参数方程为当参数t单调地由α变到β时，点Mx,y从L的起点沿L运动到终点,φ（t）与ψ（t）在［α,β］（或［β,α］）上具有一阶连续导数，且

又设P（

x,y

）与Q（

x,y

）为L上的连续函数，则曲线积分定理二、第二类曲线积分的计算证明下面先证

（10-4）根据第二类曲线积分的定义,有设点(ξi,ηi)对应于参数值τi，这里τi在ti－1与ti之间,即ξi=φ(τi),ηi=ψ(τi).由于二、第二类曲线积分的计算应用微分中值定理,有其中在ti－1与ti之间.令于是设则有二、第二类曲线积分的计算因为复合函数关于t连续，所以在［α,β］（或［β,α］）上有界，即使得因为函数φ′(t)在［α,β］（或［β,α］）上连续，所以它在［α,β］（或［β,α］）上一致连续，即时，有二、第二类曲线积分的计算从而所以因此由于函数连续，所以定积分存在二、第二类曲线积分的计算同理可证

（10-5）将式(10-4)与式(10-5)相加，得二、第二类曲线积分的计算定积分的下限α对应于L的起点,上限β对应于L的终点，下限α不一定小于上限β.如果曲线L的方程为y=y(x),a对应L的起点,b对应L的终点,则如果曲线L的方程为x=x(y),c对应L的起点,d对应L的终点,则注意二、第二类曲线积分的计算

类似地，对空间曲线其中下限α对应Γ的起点，上限β对应Γ的终点.二、第二类曲线积分的计算求其中L分别为如图10-6所示的路径:【例1】图10-6二、第二类曲线积分的计算(1)从O(0,0)到C(1,1)的直线.(2)从O(0,0)到B(1,0)再从B(1,0)到C(1,1)的折线.(3)从O(0,0)沿抛物线y=x2到C(1,1).

解

(1)连结O(0,0),C(1,1)两点的直线方程为y=x,对应于L的方向,x从0变到1,所以二、第二类曲线积分的计算(2)从O(0,0)到B(1,0)的直线为y=0,x从0变到1,且dy=0;又从B(1,0)到C(1,1)的直线为x=1,y从0变到1，且dx=0,于是二、第二类曲线积分的计算(3)化为对x的定积分,L:y=x2,x从0变到1，dy=2xdx,于是本例表明,即使被积函数相同,起点和终点也相同,但沿不同积分路径的积分结果并不相等.二、第二类曲线积分的计算求其中L分别为（见图10-7）：【例2】图10-7二、第二类曲线积分的计算(1)抛物线y=x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧.(2)抛物线x=y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧.(3)有向折线OAB，从点O(0,0)沿x轴到点A(1,0)，再从点A(1,0)沿直线x=1到点B(1,1).

解

(1)化为对x的定积分,L:y=x2,x从0变到1，所以二、第二类曲线积分的计算(2)化为对y的定积分,L:x=y2,y从0变到1,所以(3)在OA上，y=0，x从0变到1，所以二、第二类曲线积分的计算在AB上，x=1，y从0变到1，所以从而本例表明,虽然沿不同的积分路径，但曲线积分的值相等.以后将看到这并不是偶然的.二、第二类曲线积分的计算求其中Γ为点A(2,3,4)至点B(1,1,1)的空间有向线段.

解直线AB的方程为改写为参数方程t=1对应着起点A，t=0对应着终点B,于是【例3】二、第二类曲线积分的计算求其中L为顺时针方向的上半椭圆

解椭圆的参数方程于是【例4】二、第二类曲线积分的计算在变力F=yzi+xzj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点M(ξ,η,ζ)，问ξ,η,ζ取何值时，力F所做的功W最大？并求出W的最大值.

解直线段OM:x=ξt,y=ηt,z=ζt,t从0变到1,所以【例5】二、第二类曲线积分的计算下面求在条件下的最大值.作拉格朗日函数令二、第二类曲线积分的计算得从而即于是这是唯一可能的极值点.因为问题本身必存在最大值，故最大值就在这个可能极值点处取得，且三、两类曲线积分的联系指向与有向曲线弧的方向一致的切向量称为这条有向曲线弧的切向量.若有向光滑曲线L由参数方程给出，其起点A、终点B分别对应参数α，β.L上一点（对应参数t）处的切向量为它的指向与参数t增大时该点移动的走向一致，当α<β时，τ是有向曲线弧L的切向量.τ的方向余弦为三、两类曲线积分的联系所以