对面积的曲面积分

对面积的曲面积分一、第一类曲面积分的概念与性质引例设有一曲面状物体所占的位置是一给定的光滑曲面Σ（所谓光滑曲面，是指曲面上每一点都有切平面，且切平面的法向量随着曲面上的点连续变动而连续变化），它的质量分布不均匀，其面密度为ρ(x,y,z)，试求该物体的质量.分析如果该物体的面密度为常量，那么这物体的质量可用公式质量=面密度×面积来计算.由于该物体上各点处的面密度是变量，所以不能用上述方法来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.一、第一类曲面积分的概念与性质

(1)分割将Σ任意分成n小块，相应地，曲面状物体也分成n小块ΔSi(i=1,2,…,n)，同时ΔSi也代表第i个小块的面积，取其中一小块ΔSi来考虑.设小块ΔSi的质量为ΔMi，则整个曲面形物体的质量(2)近似当这小块ΔSi的直径很短时，其上的面密度可以近似看成是不变的常数，它近似等于该小块上任一点ξi,ηi,ζi处的面密度ρ(ξi,ηi,ζi)，于是，该小块的质量ΔMi可近似表示为ΔMi≈ρ(ξi,ηi,ζi)ΔSi（i=1,2,…,n）.一、第一类曲面积分的概念与性质

(3)求和于是整个曲面形物体的质量为(4)取极限如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，该和式的极限存在，则此极限值就是曲面Σ的质量这样的极限在其他问题中还会遇到，因此可得出第一类曲面积分的概念.一、第一类曲面积分的概念与性质定义设曲面Σ是光滑的，函数fx,y,z在Σ上有界.把Σ任意分成n小块ΔSi（i=1,2,…,n），同时ΔSi也代表第i个小块的面积，在ΔSi上任取一点ξi,ηi,ζi，若极限存在，则称此极限为函数fx,y,z在曲面Σ上的第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为即一、第一类曲面积分的概念与性质其中λ表示各小块曲面直径的最大值，fx,y,z称为被积函数，Σ称为积分曲面，dS称为曲面面积元素.函数f(x,y,z)在闭正面Σ上的积分记为注意一、第一类曲面积分的概念与性质可以证明，当f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续时，f(x,y,z)在Σ上的第一类曲面积分总是存在的.今后总假定f(x,y,z)在Σ上连续.由此可知，引例中曲面形物体的质量当面密度ρ(x,y,z)为光滑曲面Σ上的连续函数时，就等于ρ(x,y,z)在Σ上的第一类曲面积分曲面Σ的质心的坐标为一、第一类曲面积分的概念与性质

转动惯量为一、第一类曲面积分的概念与性质第一类曲面积分与第一类曲线积分具有相似的性质.例如：（1）设α，β为常数，则（2）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2(记为Σ=Σ1+Σ2),则其他性质，读者可仿照本章第一节第一类曲线积分的性质写出.二、第一类曲面积分的计算

第一类曲面积分可化为二重积分来计算.二、第一类曲面积分的计算设光滑曲面Σ的方程由z=zx,y给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dxy（它的面积也记为Dxy），函数z=zx,y在Dxy上具有连续偏导数，被积函数fx,y,z在Σ上连续，则定理二、第一类曲面积分的计算证明由第一类曲面积分的定义知其中(Δσi)xy（它的面积也记为(Δσi)xy）表示ΔSi在xOy面上的投影区域.由二重积分的中值定理，上式可写成其中(ξ′i,η′i)是(Δσi)xy上的一点.又因(ξi,ηi,ζi)是Σ上的一点,故ζi=z(ξi,ηi),这里(ξi,ηi,0)也是小闭区域(Δσi)xy上的点，于是二、第一类曲面积分的计算令二、第一类曲面积分的计算由于函数fx,y,z（

x,y

）在闭区域Dxy上连续，所以该函数在Dxy上有界，即M>0,对

有这里有又函数在闭区域Dxy上连续，所以该函数在Dxy上一致连续，即当

时，有二、第一类曲面积分的计算这里有从而于是因此如果积分曲面Σ的方程为x=xy,z或y=yx,z，也可类似地把第一类曲面积分化为相应的二重积分.二、第一类曲面积分的计算求其中Σ为锥面在柱体x2+y2≤2x内的部分.

解

Σ在xOy面上的投影区域为

又于是【例1】二、第一类曲面积分的计算将投影到zOx面上，得投影域所以二、第一类曲面积分的计算求其中Σ是圆柱面x2+y2=1,平面z=x+2及z=0所围成的空间立体的表面.

解设Σ1为z=0,Σ2为z=2+x,Σ3为x2+y2=1，则

于是在xOy面上得投影域为于是【例2】二、第一类曲面积分的计算一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道.通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动.若卫星距地面的高度为h=36000km.试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R=6400km).【例3】二、第一类曲面积分的计算

解取地心为坐标原点，地心到通信卫星重心的连线为z轴，建立坐标系，如图10-17所示（为简明，仅画出了zOx面）.图10-17二、第一类曲面积分的计算卫星覆盖的曲面Σ是上半球面被半顶角为β的圆锥面所截得的部分.Σ的方程为它在xOy面上的投影区域于是，通信卫星