【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练15

双基限时练(十五)一、选择题1．已知正四棱锥的侧棱长为2eq\r(3)，高为3，则该棱锥的体积为()A．3 B．6C．9 D．18解析设棱锥的底面边长为a，则(2eq\r(3))2＝32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，∴eq\f(a2,2)＝3，∴a2＝6，V锥＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)×6×3＝6.答案B2．已知一正四棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．624 B．208C．131 D.eq\f(131,3)解析由图可知，棱台的上底面边长为4，下底面边长为10，高为4，所以棱台的体积为V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)×(16＋100＋40)×4＝eq\f(624,3)＝208.答案B3．直角梯形的一个内角为45°，下底为上底长的eq\f(3,2)倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5＋eq\r(2))π，则旋转体的体积为()A．2π B.eq\f(4＋\r(2),3)πC.eq\f(5＋\r(2),3)π D.eq\f(7,3)π解析设该直角梯形的上底长为r，下底长则为eq\f(3,2)r.该几何体为圆柱与圆锥的组合体．S全＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＋πr2＋eq\f(π,2)r×eq\f(\r(2),2)r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)π＋\f(\r(2),4)π))r2＝(5＋eq\r(2))π，∴r＝2，∴V＝V圆柱＋V圆锥＝eq\f(7,3)π.答案D4．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的多面体的体积是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析V＝1－8V锥＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).答案D5．已知某个几何体的三视图如图所示，依据图中标明的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是()A.eq\f(4000,3)cm3 B.eq\f(8000,3)cm3C．2000cm3 D．4000解析由三视图得几何体S－ABCD，且面SCD⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于E，得SE⊥面ABCD，SE＝20cm∴VS－ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·SE＝eq\f(8000,3)(cm3)．答案B6．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体的高为()A．4 B．12C.eq\f(4,3) D．24解析由三视图可知该几何体为一个三棱锥S－ABC，其中SA⊥面ABC，AB⊥AC，∴V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×6×h＝5h，得h＝4.答案A二、填空题7．用一张圆弧长为12π，半径为10的扇形纸片制作一个圆锥体，则这个圆锥体的体积是________．解析由2πr＝12π，得r＝6，h＝eq\r(102－r2)＝8，∴V锥＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)π×62×8＝96π.答案96π8．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528，体积为14cm3解析设正四棱台上底为2a，下底为8a，斜高为5a，则(5a)2＝h2＋9a2，∴h2＝16a2，∴h＝4a，又由棱台的体积公式求得h＝2(cm)．答案29．在三棱锥P—ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，设PA＝x，PB＝y，PC＝1，若x＋y＝4，则此三棱锥体积的最大值是________．解析V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)xy＝eq\f(1,6)xy＝eq\f(1,6)x(4－x)＝eq\f(1,6)(4x－x2)＝eq\f(1,6)×[－(x－2)2＋4]，∴当x＝2即x＝y时，Vmax＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)三、解答题10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，求三棱锥D—ABC的体积．解取AC的中点M，连接BM，DM，∵BD＝a，BM＝eq\f(\r(2),2)a，DM＝eq\f(\r(2),2)a，∴DM2＋BM2＝BD2.∴∠DMB＝90°，又AD＝DC，∴DM⊥AC.又AC∩BM＝M，∴DM⊥面ABC.∴V＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)×eq\f(a2,2)×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),12)a3.11．在下图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)依据给出的尺寸，求该多面体的体积．解(1)俯视图如下图所示．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．12．在正方体ABCD—A1B1C1D1(1)求三棱锥O—AB1D1的体积；(2)求O到平面AB1D1的距离．解(1)∵VO－AB1D1＝VA—B1D1O，S△B1D1O＝eq\f(1,2)B1D1·a＝eq\f(\r(2),2)a2，又AO⊥面BDD1B1，且AO＝eq\f(\r(2),2)a，∴VA—B1D1O＝VO—AB1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(a3,6).(2)∵AB1＝B1D1＝AD1＝eq\r(2)a，∴S△AB1D1＝eq\f(1,2)B1D1·AB1sin60°＝eq\f(\r(3),2)a2，设O到平面AB1D1的距离为h.由等积转化得eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a2h＝eq\f(a3,6)，∴h＝eq\f(\r(3),3)a.思维探究13．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B间的距离为2eq\r(2)，求三棱锥A－BCM的体积．解由题意知在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2eq\r(3).又∵CM为中线，∴MA＝MB＝MC＝eq\f(1,2)AB＝2.∴在三棱锥A－BCM中，M在面ABC上的射影为△ABC的外心．又∵在折叠后的△ABC中，AC＝2，AB＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(3)，∴AC2＋AB2＝BC2，即折叠后