【-学案导学设计】2020-2021学年高中数学(人教A版-选修1-1)课时作业第二章-2.2.2

2.2.2双曲线的简洁几何性质课时目标1.把握双曲线的简洁几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.把握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝______，虚轴长＝______离心率渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为eq\f(\r(6),2)的是()A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,10)＝12．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(2,5)xB．y＝±eq\f(5,2)xC．y＝±eq\f(4,25)xD．y＝±eq\f(25,4)x3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝eq\r(2)x，则双曲线的方程为()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(1,2)x5．直线l过点(eq\r(2)，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)题号123456答案二、填空题7．两个正数a、b的等差中项是eq\f(5,2)，一个等比中项是eq\r(6)，且a>b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2eq\r(3))的双曲线方程为__________．三、解答题10．依据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，3))，且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线相互垂直，与两个顶点连线的夹角为eq\f(π,3).11．设双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程．力气提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3)＋1,2)D．eq\f(\r(5)＋1,2)13．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）若设直线l与y轴的交点为P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．1．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，也可记为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0；与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．2．2.2双曲线的简洁几何性质答案学问梳理1.标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2离心率e＝eq\f(c,a)(e>1)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2.(1)一点(2)两个一个没有作业设计1．B[∵e＝eq\f(\r(6),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).]2．A3．C[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，则双曲线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，又由渐近线方程为y＝eq\r(2)x，得eq\f(a,b)＝eq\r(2)，即a2＝2b2，又由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝a2＋b2，得a2＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(1,4)，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]4．C[由题意知，2b＝2,2c＝2eq\r(3)，则b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(2)；双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.]5．C[点(eq\r(2)，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2所以|PF2|＝eq\f(2a,3)≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3则eq\f(c,a)≤eq\f(5,3).]7.eq\f(\r(13),3)解析a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝eq\r(13)，从而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).8.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．9.eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1解析∵所求双曲线与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)．∵点(－3,2eq\r(3))在双曲线上，∴λ＝eq\f(－32,9)－eq\f(2\r(3)2,16)＝eq\f(1,4).∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.10．解(1)因直线x＝eq\f(15,4)与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))2,a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))故所求的双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．由于PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以又P与两顶点连线夹角为eq\f(π,3)，所以a＝|OP|·taneq\f(π,6)＝2eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1.11．解方法一(用韦达定理解决)明显直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k,x2－\f(y2,2)＝1))得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k2－k,2－k2)，∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.方法二(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1))，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(y1－y2)(y1＋y2)．∵x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2x1＋x2,y1＋y2)，∴kAB＝eq\f(2×1×2,2×2)＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－eq\f(y2,2)＝1满足Δ>0.∴直线AB的方程为y＝x＋1.12.D[设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．]13．解(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有两个不同的解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,Δ＝4a4＋8a21－a2>0，))解得－eq\r(2)<a<eq\r(2)且a≠±1.又∵a>0，∴0<a<eq\r(2)且a≠1.∵双曲线的离心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，∴0<a<eq\r(2)，且a≠1，∴e>eq\f(\r(6),2)且e≠eq\r(2).∴双曲线C的离心率e的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，