信号与系统3电子课件

第3章连续时间傅里叶分析

3.1傅里叶分析的意义3.2周期信号的傅里叶级数分析3.3非周期信号的傅里叶变换分析3.4连续时间LTI系统的频域分析3.5信号的抽样*3.6希尔伯特变换3.1傅里叶分析的意义单频信号分离3.13.23.33.4图3.1时域信号的叠加:(a)do音;(b)mi音;(c)sol音;(d)domisol同奏3.53.62025/1/142/1453.1傅里叶分析的意义从离散信号恢复原来的连续时间信号？

目前很多信号都是由连续信号抽样得到的离散信号，通过数字设备进行存储和处理。“丢弃”了连续信号在很多时间点上的函数值后，我们还能够从这样的离散信号恢复原来的连续时间信号吗？傅里叶级数和傅里叶变换：从一个新的角度（频域的角度）认识信号，按照频率进行“过滤”，分离出单音信号抽样定理：在什么条件下能从离散化信号恢复原连续信号的问题。3.13.23.33.43.53.62025/1/143/1453.2周期信号的傅里叶级数分析3.2.1周期信号的傅里叶级数展开指数函数展开式

周期为T的周期信号xT(t)可以表示成指数函数傅里叶级数：上式两边同乘并在任意一个周期内积分

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/144/1453.2周期信号的傅里叶级数分析上式右端求和只有k=n时的一项为非零值，因此右端可化简为：从而有指数展开的傅里叶级数系数3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/145/1453.2周期信号的傅里叶级数分析【例3-1】图3.1(d)音乐信号的傅里叶级数分析。图3.1(d)中x1+3+5(t)称为和弦信号。记和弦信号的周期为T（对应于ω0），音阶信号的周期为T1,T3,T5。由图可以看出T=4T1=5T3=6T5，即ω1=4ω0，ω3=5ω0，ω5=6ω0。因此和弦信号可以表示为

利用欧拉公式上式可写为

对照展开式，可知其展开式系数ck为

其余ck为0

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/146/1453.2周期信号的傅里叶级数分析【例3-2】试求图3.2(a)给出的周期信号δT(t)的傅里叶级数展开式

【解】利用展开公式因此，δT(t)的傅里叶级数展开式为

3.2.13.2.23.2.33.2.4图3.2(a)周期冲激信号;(b)周期冲激信号的频谱3.13.23.33.43.53.62025/1/147/1453.2周期信号的傅里叶级数分析【例3-3】周期矩形脉冲信号xT(t)如图3.3(a)所示，其脉幅为1，脉宽为2，脉冲重复周期为T1，求其傅里叶级数系数ck。假定T1=1,T=8时，绘出ck序列的波形图。

3.2.13.2.23.2.33.2.4图3.3(a)周期方波信号;(b)2T1=2,T=8

的ck曲线,3.13.23.33.43.53.62025/1/148/1453.2周期信号的傅里叶级数分析【解】为便于计算，积分周期取为[-T/2,T/2]，则积分限为[-T1,T1]：所以该周期脉冲信号的展开式为T1=1,T=8时，ck序列如下，波形如图3.3(b)所示

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/149/1453.2周期信号的傅里叶级数分析讨论谱线间隔—信号分量的频率间隔

图3.3(b)中的横坐标是k，可以看到是kω0一个“整体”，不同的k值意味着不同的频率信号分量。每个值对应的称为一条谱线，相邻谱线的间隔为ω0。当给定周期T后，谱线间隔就固定了。T值越大，谱线间隔越小，谱线越密。谱线的包络线及其零点位置

若用连续变量ω替换kω0，则得到连续函数2T1Sa(ωT1)/T，称其为谱线的包络线。当ωT1=m

时Sa(ωT1)=0，因此谱线包络的零点位置为

方波信号的周期决定了谱线间隔，脉宽决定了包络线的零点位置

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1410/1453.2周期信号的傅里叶级数分析三角函数展开式

对指数展开式进行如下变形

即其中A0=c0，Ak

=2|ck|(k≥0)

一个周期信号可以分解为直流信号分量和一系列正弦信号分量的叠加，其中k=1时的正弦分量称为基波分量，k≥2时称为谐波分量，k=m时称为m次谐波分量。3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1411/1453.2周期信号的傅里叶级数分析【例3-4】写出例3-3所示周期方波信号的三角函数展开式。如果方波的参数为T1=1,T=8，绘出各频率分量的信号幅度Ak和相位θk随k变化的波形图。【解】由例3-3可知ck为k的实函数，由于正实数的幅角为0，负实数的幅角为π或-π，ck的模和相角可以写为因此，周期方波的三角函数展开式为可以看到正弦信号的幅度是2|ck|，依据图3.3(b)不难绘出,T1=1,T=8时的幅度和相位波形，分别如图3.4(b)和(c)所示。

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1412/1453.2周期信号的傅里叶级数分析3.2.13.2.23.2.33.2.4图3.4(a)傅里叶级数系数;(b)各频率分量的幅度;(c)各频率分量的相位3.13.23.33.43.53.62025/1/1413/1453.2周期信号的傅里叶级数分析常用周期信号的傅里叶级数展开3.2.13.2.23.2.33.2.4图3.5锯齿波、三角波、方波和周期冲激信号的幅频特性比较3.13.23.33.43.53.62025/1/1414/1453.2周期信号的傅里叶级数分析3.2.2复指数展开式系数的基本性质性质1.

若周期信号xT(t)为实函数，则ck具有共轭对称性【证明】由ck的定义：3.2.13.2.23.2.33.2.4[ck的定义]

[共轭运算的性质][x(t)为实函数，x*(t)=x(t)]

[对照ck的定义]

3.13.23.33.43.53.62025/1/1415/1453.2周期信号的傅里叶级数分析性质2.若周期信号xT(t)为实函数，则ck的模是k的偶函数，ck的相位是k的奇函数，即【证明】令，由性质1可知：

对比等式两边，性质即可得证3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1416/1453.2周期信号的傅里叶级数分析性质3.若周期信号xT(t)是实偶函数，则ck是k的实偶函数，即（实函数），（偶函数）【证明】由性质1知c-k=ck*，因此只要证明c-k=ck，则有c-k=ck=ck*成立。

3.2.13.2.23.2.33.2.4[定义式中令-k替换k][积分变量代换：令t=-t’][x(t)为偶函数；改变积分限][对照定义式]3.13.23.33.43.53.62025/1/1417/1453.2周期信号的傅里叶级数分析3.2.13.2.23.2.33.2.4图3.6对称方波周期信号的傅里叶级数系数(a)ck;(b)|ck|;(c)θk3.13.23.33.43.53.62025/1/1418/1453.2周期信号的傅里叶级数分析3.2.3周期信号的频谱幅频特性和相频特性

信号的频域描述

对于给定周期的周期信号，当直流分量A0及各正弦分量的幅值Ak和相角θk确定后，该周期信号就被完全确定了。换句话说，周期信号各分量的幅值Ak和相角θk随频率kω变化的规律是在频域中对周期信号的充分描述。这一频域中的描述称为周期信号的频谱或频谱特性。类似图3.6(b)中，给出信号频率成分构成及各频率分量的幅度Ak大小的图，称之为幅频特性图，类似图3.6(c)中，给出信号各频率分量的初相位大小的图，称之为相频特性图。

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1419/1453.2周期信号的傅里叶级数分析周期信号频谱的特点任何周期信号的频谱都具有离散性和谐波性

常见周期信号的频谱具有衰减性和无限大带宽

时域中信号的跳变会产生丰富的高频分量信号的有效带宽

实际信号处理设备或系统只能处理一定带宽内的频率分量，在该带宽内所有信号分量的合成能够体现原来信号的主要特征，这就是所谓的有效带宽。对于方波信号，通常选取直流到频谱包络线的第一个零点(f=1/2T1)之间的频带宽度作为其有效带宽，即

(方波有效带宽=1/方波脉宽)

3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1420/1453.2周期信号的傅里叶级数分析3.2.4关于傅里叶级数的几点补充狄里赫利条件在一个周期内xT(t)必须绝对可积。在一个周期内xT(t)的极大值和极小值数目是有限的。在一个周期内xT(t)只能有有限个不连续点，且在这些不连续点上的函数值必须是有限的。傅里叶级数的收敛值和不连续函数的表示若周期信号xT(t)在t0点处连续，则傅里叶级数在处收敛于原函数值xT(t0)；若在处不连续，傅里叶级数将收敛于xT(t)在t0处的左极限和右极限的平均值。3.2.13.2.23.2.33.2.43.13.23.33.43.53.62025/1/1421/1453.2周期信号的傅里叶级数分析周期信号的重构和吉布斯现象

当用直流和前N项正弦分量重构一个理论上为无限带宽的周期信号时，有限项的重构会存在误差，N愈大，愈逼近。

重构信号有振荡和过冲现象。然而过冲的幅度并不随N的增大而减小，总是约为跳变幅度的9%左右，如图3.8所示。即使N→∞，重构信号在方波上下跳沿处仍有过冲，这就是吉布斯(Gibbs)现象。

3.2.13.2.23.2.33.2.4N=10 N=30N=100图3.8方波吉布斯现象3.13.23.33.43.53.62025/1/1422/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.1非周期信号的傅里叶变换表示正变换定义

当周期时T→∞，周期信号xT(t)将变成非周期信号x(t)，同时的谱线间隔ω0→0，即将由离散谱趋向于连续谱。然而为了避开ck→0问题，可以定义

3.13.23.33.43.53.63.3.13.3.23.3.33.3.43.3.52025/1/1423/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.9(a)从周期信号到非周期信号;(b)从离散谱到连续谱3.13.23.33.43.53.62025/1/1424/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析逆变换定义

考察傅里叶级数展开式，并注意到ω0T=2π有

当T→∞时，kω0→ω，Tck

→X(ω)，此谱线间隔ω0可用无穷小量dω表示，求和变成积分，xT(t)→

x(t)，则上式变为傅里叶正变换、逆变换和变换对常用下列符号表示傅里叶变换具有唯一性，X(ω)和x(t)是一一对应关系。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1425/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析常见信号的傅里叶变换【例3-5】求单个脉冲信号的傅里叶变换。【解】x(t)的波形参见图3.10。根据傅里叶变换的定义有

即

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.10方波信号及其频谱3.13.23.33.43.53.62025/1/1426/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-6】求单边指数衰减信号x(t)=e-atu(t)的傅里叶变换。【解】即可见X(ω)是复函数，其幅频特性和相频特性分别为

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.11单边指数衰减信号及其频谱3.13.23.33.43.53.62025/1/1427/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-7】求单位冲激函数δ(t)的傅里叶变换。

【解】即

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.12冲激信号及其频谱3.13.23.33.43.53.62025/1/1428/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-8】求频域信号2πδ(ω)的傅里叶逆变换。

【解】即

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.12冲激信号及其频谱3.13.23.33.43.53.62025/1/1429/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-9】求频域方波函数X(ω)

=u(ω+W)-u(ω-W)的傅里叶逆变换【解】

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.14频域方波函数及其对应时域波形3.13.23.33.43.53.62025/1/1430/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析傅里叶变换的存在条件

傅里叶正逆变换都是定义在无穷区间上的积分。

如果x(t)满足绝对可积条件，即

则积分一定收敛，傅里叶变换一定存在。显然，绝对可积条件是傅里叶变换存在的充分条件。

引入频域中的冲激函数δ(ω)后，理论分析和实际应用中的常见信号均存在傅里叶变换表达式。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1431/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析可以将变换定义式中，积分收敛的傅里叶变换称为狭义傅里叶变换；而将该积分不收敛，但引入δ(ω)后仍可表述的傅里叶变换称为广义傅里叶变换。

x(t)绝对可积，则其狭义傅里叶变换一定存在，且对于所有的ω取值恒有|X(ω)|<∞成立。x(t)虽不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换可以借助频域冲激函数δ(ω)表示，则其广义傅里叶变换是存在的。信号功率趋于无穷大的信号，其广义傅里叶变换也不存在。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1432/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-10】求符号函数的傅里叶变换。【解】sgn(t)不满足绝对可积条件，直接利用傅里叶变换定义式求解会有积分的困难，为此构造一个双边指数衰减奇函数

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.15双边指数衰减奇函数与符号函数3.13.23.33.43.53.62025/1/1433/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析当a→0时，x(t)

→sgn(t)。因此可以先求x(t)的傅里叶变换：当ω

=0时，F{sgn(t)}=0，因此

简便起见，常只用主体函数代替

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1434/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.2傅里叶变换的性质

X(ω)的特点性质1.共轭对称性若x(t)为t的实函数，则X(ω)满足【证明】3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[定义式两边取共轭][共轭运算的性质][x*(t)=x(t)][与定义式对比可得]3.13.23.33.43.53.62025/1/1435/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质2.

若x(t)为t的实函数，则幅频特性是ω的偶函数，相频特性是ω的奇函数，即X(ω)实部XR(ω)是ω的偶函数，虚部XI(ω)是ω的奇函数，即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1436/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质3.

若x(t)为t的实偶函数，则X(ω)是ω的实偶函数，即（实函数）（偶函数）

性质4.若x(t)为t虚函数（即x(t)=jf(t)，f(t)为t的实函数），则3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1437/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质5.帕斯瓦尔(Parseval)定理时域信号和频域函数具有相同的能量，即

【证明】考虑更一般的复数信号情形：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[复数的性质][x(t)用傅里叶逆变换表示][交换积分次序]3.13.23.33.43.53.62025/1/1438/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.3傅里叶变换的性质

信号运算的傅里叶变换性质1.线性若，

，a1,a2为常数，则

【例3-11】求阶跃函数u(t)的傅里叶变换【解】参见图3.16，可以看成符号函数和直流函数的叠加：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.16符号函数及其分解3.13.23.33.43.53.62025/1/1439/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析根据傅里叶变换的线性性质有即需注意，对上式的准确理解应为3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1440/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质2.时移特性若，则

(t0为常数)【证明】根据傅里叶逆变换定义：

与逆变换定义式对比知：等价表述：3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[用t-t0代替逆变换定义式中的t]3.13.23.33.43.53.62025/1/1441/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-12】二进制数字通信系统中常用双极性的方波信号表示0和1，码元波形如图3.17(a)所示，求其傅里叶变换。

【解】如图3.17所示，双极性脉冲可以分解为两个单极性脉冲的叠加，即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.17双极性方波信号的分解3.13.23.33.43.53.62025/1/1442/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析设对称方波g(t)=

u(t+T/2)-u(t-T/2)，则x1

(t)和x2

(t)是g(t)和-g(t)的平移，即根据傅里叶变换的线性和时移特性有利用例3-5的结果，可知因此

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1443/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质3.时域微分特性若，则

(t0为常数)【证明】对傅里叶逆变换式两边求导

：

即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[x(t)用逆变换定义表示][交换微分和积分顺序][与逆变换定义式比较可得]3.13.23.33.43.53.62025/1/1444/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析

【例3-13】考察脉冲信号微分后高频分量的提升情况，参见图3.18。

【解】由前面方波信号的傅里叶变换，并利用时移特性可得利用时域微分特性知方波信号和跳沿的幅频特性分别为

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.18脉冲信号及其微分[方波幅频特性][跳沿幅频特性]3.13.23.33.43.53.62025/1/1445/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质4.时域积分特性若，则

其中X(0)

=X(ω)|ω=0，当X(0)

=0时有

【例3-14】利用积分性质求单位阶跃函数的傅里叶变换。【解】,这里x(t)

=δ(t)

,X(ω)=1,X(0)=1所以3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1446/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-15】求图3.19(a)所示三角波信号的傅里叶变换。

【解】记，方波信号为g(t)=

u(t+T/4)-u(t-T/4)，脉宽为T/2。由图3.19可知y(t)=2[g(t+T/4)-g(t-T/4)]/T，两边取傅里叶变换得3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.19三角波及其微分[时移特性]3.13.23.33.43.53.62025/1/1447/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析

由于且Y(0)=0，根据时域积分特性知如果要利用时域积分性质求F{y(t)}，则必须有y(-∞)=0成立。当y(-∞)≠0时，可将该常数项移去后再应用时域积分性质。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[利用例3-5结论和欧拉公式]3.13.23.33.43.53.62025/1/1448/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-16】利用时域积分性质求符号函数的傅里叶变换。【解】设y(t)=sgn(t)，x(t)=y’(t)=sgn’(t)=2δ(t)的傅里叶变换易求。但不能直接对y(t)应用时域积分性质，因为y(-∞)≠0。为此构造函数

z(t)=y(t)-y(-∞)=sgn(t)+1此时z(-∞)=0，z’(t)=2δ(t)。对z(t)应用时域积分性质有从而3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1449/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质5.尺度变换特性若，则

【证明】根据傅里叶变换定义

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[变量代换λ=at][对照定义式

]3.13.23.33.43.53.62025/1/1450/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质6.时域卷积定理★

若，，则

【证明】根据卷积积分定义和傅里叶变换定义：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[交换积分次序][傅里叶变换时移特性]3.13.23.33.43.53.62025/1/1451/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-17】时域积分性质的证明。

【证明】根据卷积积分定义有

因此3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[时域卷积定理,代入u(t)的傅里叶变换][δ(·)函数的性质]3.13.23.33.43.53.62025/1/1452/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质7.对偶性若，则

【证明】在傅里叶逆变换定义中，将变量t换为–t得

：

作为数学函数，显然上式中自变量符号t和ω

可交换，且两边同乘2π，则有

将上式与傅里叶变换定义式比较，则知对偶性成立。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1453/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-18】利用对偶性求的Sa(ωct)傅里叶变换。

【解】令g(t)=

u(t+T1)-u(t-T1)，g(t)=g(-t)。由方波的傅里叶变换（例3-5）可知根据对偶性得令T1=ωc且上式两边同除以2ωc，则

在系统的频域分析中更为有用的结论是上式的变形（理想低通）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1454/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-19】利用对偶性求频域阶跃函数u(ω)的逆变换。

【解】因为，根据对偶性知

又因为

（尺度变换特性推论），改变上式ω的符号，则有即3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1455/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-20】利用对偶性求频域符号函数

sgn(ω)的逆变换。

【解】因为，根据对偶性知：

因此3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1456/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质8.频移特性若，则

【证明】根据傅里叶变换定义

：

上式与傅里叶变换定义对比可知

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1457/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-21】求正弦信号sin(ω0t),cos(ω0t)的傅立叶变换。

【解】利用和频移性质有因此类似可求得

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1458/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析

【例3-22】在二进制数字通信系统中，常用图3.21(a)所示的方波g(t)表示1或0，但g(t)通常难以进行无线传输。为了便于无线发射，可用一段时间内的高频正弦波表示1或0，如图3.21(c)的x(t)波形所示，现求x(t)的傅里叶变换。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.21数字调制及其频谱变化3.13.23.33.43.53.62025/1/1459/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【解】如图3.21所示，x(t)可以表示成

x(t)=g(t)cos(ω0t)所以利用频移性质得

其中G(ω)为

G(ω)=2T1Sa(ωT1)因此x(t)乘cos(ω0t)的过程称为调制，它将的频谱搬移至±ω0处（图(e)）。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1460/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质9.频域微分特性若，则

【证明】傅里叶变换式两边对ω求导

：

与傅里叶变换定义式对比知频域微分特性成立

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[交换求导和积分的次序]3.13.23.33.43.53.62025/1/1461/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-23】求x(t)=te-atu(t)的傅立叶变换。

【解】由例3-6结论可知根据频域微分性质知

因此该题也可利用时域卷积定理求解

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1462/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析性质10.频域积分特性若，则

其证明将在频域卷积定理后的例3-26给出。性质11.频域卷积定理若，

，则

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1463/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【证明】根据傅里叶变换的定义有

：

如果函数X1(ω)带限于[W1L,W1H]，X2(ω)带限于[W2L,W2H]。那么卷积后函数的频率范围将为[W1L+

W2L,W1H+

W2H]。因此时域信号的相乘，可能会导致频谱带宽的扩展。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[交换积分次序][x1(t)用逆变换表示]3.13.23.33.43.53.62025/1/1464/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-24】假设信号含有100Hz

800Hz的频率分量，含有200Hz

600Hz的频率分量，试确定乘积后信号的最低频率和最高频率。【解】最低频率为100+200=300Hz；最高频率为800+600=1400Hz【例3-25】试利用频域卷积定理证明频移特性

【解】记x1(t)=x

(t),x2(t)=ejω0t，其傅里叶变换分别为根据频域卷积定理知

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1465/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-26】试利用频域卷积定理证明频域积分特性。

【证明】先推导所需的预备结论。由可知

[对偶性]由卷积定义根据频域卷积定理有

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5[冲激函数性质][u(ω)逆变换代入上式]3.13.23.33.43.53.62025/1/1466/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析傅里叶变换的性质小结加深对信号时域及频域特性的认识

时域与频域的对偶性

时频分析中的一个重要概念由傅里叶变换定义的对偶性导致，对偶性不仅仅存在于信号本身，傅里叶变换的性质也是成对出现。时限信号一定具有无限带宽带限频谱一定对应无限时宽信号

利用性质解决较为复杂的频谱求解和频域分析问题

频域函数的求解方法是灵活多样的，傅里叶变换性质为傅里叶变换求解提供了更多灵活和便捷的方法。一个问题常可以用多种方法进行求解，究竟使用哪个性质，不仅取决于问题本身，同时还与掌握公式和有关内容的熟悉程度有关。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1467/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-27】对于图3.22(a)所示的三角波，可以用多种方法求其傅里叶变换。

解法一：直接用定义积分计算。（积分计算复杂，要求数学计算能力）解法二：先定义计算微分信号x’(t)的傅里叶变换，再利用积分性质求三角波信号x(t)的傅立叶变换。（积分略简单，要求熟悉微分、积分性质）解法三：利用方波信号的傅里叶变换和时移性质，计算x’(t)的傅里叶变换，再利用积分性质求x(t)的傅立叶变换。（要求熟悉方波傅里叶变换，时移性质，微分、积分性质）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.22(a)三角波;(b)三角波的一次导数;(c)三角波的二阶导数3.13.23.33.43.53.62025/1/1468/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析解法四

：将三角波微分两次得到冲激信号构成的x”(t)，冲激函数的傅里叶变换式比较简单，再利用时移性质和时域积分性质求解，具体过程如下。利用时域积分性质关系得

（要求熟悉冲激信号傅里叶变换，时移性质，微分、积分性质）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1469/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析解法五

：三角波x(t)可以看成两个方波脉冲信号的卷积，如图3.23所示，即

由方波信号的傅里叶变换公式知

根据时域卷积定理得

（要求熟悉常见信号的时域卷积，方波信号傅里叶变换，时域卷积性质）3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.23将三角脉冲表示为两个矩形脉冲的卷积3.13.23.33.43.53.62025/1/1470/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析傅里叶变换也可以用于系统零状态响应求解对系统微分方程两边进行傅里叶变换，利用傅里叶变换的微分性质，可以将时域的微分方程，变换为频域的普通代数方程。通过在频域求解代数方程，即可得到系统响应的频域解。再进行逆变换，就可以系统的零状态响应。该频域信号通常表现为jω的有理分式，可以利用部分分式展开法求解，下面以一简单例子说明。【例3-29】设，求其逆变换。【解】可以分解为下列两个部分分式之和两边取傅里叶逆变换得

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1471/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.4周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换设周期信号xT(t)的周期为T，xT(t)的傅里叶级数展开式为两边同取傅里叶变换

代入F{ejω0t}=2πδ

(ω

–kω0)得

周期信号的傅里叶变换是由冲激函数构成的，这些冲激函数出现在kω0处，对应的冲激强度为2πck。ck为xT(t)的傅里叶级数系数3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1472/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.24周期方波信号(a)时域波形(b)傅里叶级数(c)傅里叶变换3.13.23.33.43.53.62025/1/1473/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-30】求图3.25左图所示周期冲激信号的傅里叶变换。【解】δT(t)的傅里叶级数展开系数为由前面周期信号傅里叶变换结论可知，δT(t)的傅里叶变换为

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.25周期冲激信号及其傅里叶变换3.13.23.33.43.53.62025/1/1474/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析周期信号傅里叶级数和非周期信号傅里叶变换之间的关系

设x(t)为非周期信号，其傅里叶变换为X(ω)。若x(t)将作周期为T的周期延拓，构成设周期信号xT(t)，如图3.26所示，显然有3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.26非周期信号的周期延拓3.13.23.33.43.53.62025/1/1475/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析周期信号xT(t)的傅里叶级数系数可以写为另一方面，x(t)的傅里叶变换为比较上述两式可以看出需要注意的是上式给出的关系不是同一个信号，它是图3.26所示两个信号之间的频谱关系

（非周期信号和其周期延拓得到的周期信号）。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1476/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-31】求图3.5(a)周期三角波的傅里叶级数展开式系数ck。【解】对于一些周期信号，直接根据傅里叶级数系数的定义式求，其积分过程往往很复杂。利用傅里叶变换和傅里叶级数的关系求会简便很多，因为我们对傅里叶变换更熟悉，有更多的已有结论可用。由例3-15知，单个三角波的傅里叶变换为

因此，周期三角波信号的傅里叶级数系数为为

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.5(a)周期三角波及其傅里叶级数3.13.23.33.43.53.62025/1/1477/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析周期信号傅里叶变换两种表达式的等价性

周期信号也可以用非周期信号的周期延拓表示，即上式两边取傅里叶变换，并应用傅里叶变换的时域平移性质可得同时

上述两种表达式，为同一信号的傅里叶变换，由傅里叶变换的一一对应特性，可知上述两种表达式等价3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1478/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析3.3.5傅里叶变换与信号频谱傅里叶变换的核心思想：非周期信号分解为无穷小正弦信号的叠加周期信号傅里叶级数：非周期信号傅里叶变换：

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1479/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析考虑到实信号x(t)幅相特性|X(ω)|为偶函数，相频特性

(

)为奇函数。上式虚部为奇函数在对称区间积分，积分为零。实部为偶函数在对称区间上的积分，积分为单边区间的2倍。所以

积分也是一种求和，为了便于概念的理解，可将上式改写为

：

因此从信号分析角度可以这样解释信号的傅里叶变换：一个能量有限的非周期信号可以看成是由无穷多个、频率连续变化的、各分量实际幅度为无穷小量|X(

)|d

/

、各分量幅度之间相对大小关系由|X(

)|确定、各分量相位由

(

)确定的正弦信号的叠加。图3.29示意了这一概念。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1480/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析

能量有限信号，其直流分量就是函数的均值，即

能量有限信号，直流分量的幅度必定是一个无限趋于零、但不等于零的无穷小量。其他各个频率分量类似3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.27能量有限信号的正弦波分解图3.28(a)方波信号的直流分量;(b)单边指数衰减信号的直流分量3.13.23.33.43.53.62025/1/1481/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析综上所述

非周期信号傅里叶变换的模值并不是信号分量的实际幅度大小实际幅度为无穷小不同频率点的取值反映的是它们之间的相对大小简言之，傅里叶变换X(

)是描述无穷小量的函数。

频域冲激函数表示的信号频谱由于傅里叶变换X(

)是描述无穷小量的函数，当信号x(t)中某个频率分量实际幅度大小不是无穷小，而是某个有限值时，它只能用无穷大来表示（有限值相对于无穷小量则为无穷大），即必须借助冲激函数才能表述。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1482/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析【例3-32】设下图是某个信号的傅里叶变换，试确定所含有的频率分量、各分量信号的实际幅度大小和信号的表达式。【解】从图可知信号含有三个频率分量：直流、10Hz和30Hz正弦波。各分量的幅度：直流幅度为1/2

=0.16；10Hz正弦分量幅度为2.5

2/(2

)=0.80；30Hz正弦分量幅度为1.5

2/(2

)=0.48。信号的频谱表达式为信号的表达式为3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1483/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析相频特性和附加相移

相频特性

(

)的物理含义：它是信号在

处频率分量的初相角。由傅里叶变换的时域平移性质可知因此，信号x(t)在时域中的延时会改变其相频特性，产生附加相移-

t0。类似的有式表明：x(t)在时域中整体延时t0就是每一个频率分量均延时t0。反之，如果x(t)的各频率分量在传输过程中时延不等，或附加相移和频率

不是负斜率线性关系-

t0

，信号波形就会产生失真。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1484/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的基本特点是连续谱，即

可连续取值。和周期信号类似，很多非周期信号的频谱也具有无限频带宽度和高频衰减的特征。非周期信号的幅频特性|X(

)|反映的是各分量幅度的相对大小，各分量的实际幅度是一个趋于零（但不等于零）的无穷小量。若信号在某个频率点上含有实际幅度不为无穷小的分量，则其傅里叶变换在该频率点上会出现频域冲激函数。

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1485/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析乘法调制的频谱分析

应用频域卷积定理可以分析通信系统中乘法调制信号的频谱。信号在无线发送前需要调制的主要目的是解决电磁波的有效辐射问题。乘法调制（图3.30(a)），其原理是将基带信号x(t)和高频载波信号cos

0t相乘即可。调制后信号频谱为

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1486/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.30(a)乘法调制;(b)未调制信号频谱X(

)

;(c)调制后信号频谱Xm(

)

3.13.23.33.43.53.62025/1/1487/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析相干解调如果再将xm(t)乘以cos

0t，即xd(t)=xm(t)cos

0t，则其频谱为

由图3.31可以看出，只要取出xd(t)中的低频部分，则可以得到话音信号的频谱X(

)

，这就是相干解调的基本原理。乘法调制与解调只是调制技术中的一种。3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.53.13.23.33.43.53.62025/1/1488/1453.3非周期信号的傅里叶变换分析

3.3.13.3.23.3.33.3.43.3.5图3.31相干解调及其频谱分析3.13.23.33.43.53.62025/1/1489/1453.4连续时间LTI系统的频域分析3.4.1连续时间LTI系统的频域表示系统的频率响应特性

由第2章时域分析知LTI系统的零状态响应为两边取傅里叶变换并应用时域卷积定理得因此，h(t)的傅里叶变换H(

)在频域中充分表征了一个LTI系统，称为系统的频率响应特性或频率响应函数。一般为复函数，写为模和幅角的形式：其中|H(

)|称为系统的幅频特性，称

(

)为系统的相频特性。3.13.23.33.43.53.63.4.13.4.23.4.32025/1/1490/1453.4连续时间LTI系统的频域分析为了理解H(

)的物理含意，现考察LTI系统在正弦信号激励下的响应。设激励为x(t)=Acos(

0t+

)，h(t)为实函数，系统输出y(t)=x(t)*h(t)可计算如下：

3.4.13.4.23.4.3[欧拉公式][h(t)为实函数H(

)共轭对称]3.13.23.33.43.53.62025/1/1491/1453.4连续时间LTI系统的频域分析因为傅里叶变换将任意信号分解为正弦信号的叠加这一分析具有一般性。由上式看到，LTI系统在正弦信号激励下的响应仍为一个正弦信号（复指数信号也一样），只是系统输出的正弦信号幅度和相位被进行了修正。

对不同的输入信号频率

0，|H(

0)|和

(

0)的取值不同，则输入正弦信号的幅度和相位会受到不同的修正。因此，|H(

)|和

(

)描述了LTI系统对不同频率输入信号的幅度增益和相位延迟，或者说H(

)描述了系统的频域特性。3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1492/1453.4连续时间LTI系统的频域分析H(

)的一般形式

很多系统都可以用微分方程描述，例如上式两边取傅里叶变换，并应用时域微分性质，则有整理得不难推知，对于阶微分方程系统有

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1493/1453.4连续时间LTI系统的频域分析【例3-33】本例考察一阶微分系统和一阶积分系统的频率响应特性。

【解】一阶微分系统为y(t)=x’(t)，两边取傅里叶变换得Y(

)=jX(

)，即所以一阶微分系统的幅频响应和相频响应分别为3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1494/1453.4连续时间LTI系统的频域分析对于一阶积分系统为，由傅里叶变换的时域积分特性知

上式右端δ

(

)表明系统在

=0处的输出为无穷大，即系统增益H(0)=∞

。当

≠0时有所以一阶微分系统的幅频响应和相频响应分别为3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1495/1453.4连续时间LTI系统的频域分析3.4.13.4.23.4.3图3.32(a)微分系统频率特性；(b)积分系统频率特性3.13.23.33.43.53.62025/1/1496/1453.4连续时间LTI系统的频域分析互联系统的频率响应函数串联系统由于Z(

)=H2(

)Y(

)=H2(

)H1(

)X(

)

，所以总频率响应为并联系统由于Y(

)=H1(

)X(

)+H2(

)X(

)

，所以总频率响应为

混联系统利用上面的两个结论，可知混联系统的总频率响应为反馈系统在系统输出端列方程，则有Y(

)=[X(

)+H2(

)Y(

)]H1(

)，可得反馈系统的总频率响应为3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1497/1453.4连续时间LTI系统的频域分析3.4.2理想传输系统和滤波器理想传输系统与线性相位条件对于任意信号的理想传输系统，其输入输出关系应为两边取傅里叶变换后可得理想传输系统的频率响应特性为其幅频特性和相频特性分别为

|H(

)|=1和

(

0)=

-t03.4.13.4.23.4.3图3.33理想传输系统的频率特性3.13.23.33.43.53.62025/1/1498/1453.4连续时间LTI系统的频域分析上述结果给出两个重要的概念：

如果要实现理想传输，系统必须具有线性相位特性。

线性相位特性反映的直观观念就是：对输入信号的所有频率分量，系统的延时必须是相等的。对于可实现的连续时间系统，

(

)应该具有负斜率特性。如果是正斜率曲线，则系统具有“时间提前”功能，显然是不可实现的。

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/1499/1453.4连续时间LTI系统的频域分析理想滤波器的概念从前面对H(

)的物理概念讨论可知，若对某个频率

0有H(

0)=0，那么系统在该频率上的输出将为零。因而设计不同特性的H(

)，可以让系统抑制或阻止信号中的某些频率分量通过系统，这就是滤波器的概念。

根据允许通过的信号频率范围，可以将滤波器分为低通、高通、带通和带阻滤波器。所谓的“理想滤波器”有两个含义：

幅频特性是理想化的“方波型”函数。相频特性是理想化的线性相位特性（理想传输要求线性相位特性）。

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/14100/1453.4连续时间LTI系统的频域分析

3.4.13.4.23.4.3图3.34理想滤波器的特性3.13.23.33.43.53.62025/1/14101/1453.4连续时间LTI系统的频域分析理想低通滤波器理想低通滤波器要求在通带内，系统对所有的输入信号频率分量具有单位增益，并且具有负斜率线性相位特性，因此其频率响应H(

)应为

即：

理想低通滤波器的冲激响应函数为

3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/14102/1453.4连续时间LTI系统的频域分析3.4.3因果稳定系统的频率响应特性稳定性：稳定系统的冲激响应满足绝对可积条件，其傅里叶变换积分一定收敛。因此，稳定系统的H(

)一定是普通意义下的函数（即不会含有类似的δ

(

±

0)频域冲激函数）。

因果性：假设h(t)是一个因果系统的冲激响应，其频率响应函数H(

)的直角坐标表示为

由因果性知一定是单边信号。因此，因果系统的h(t)满足3.4.13.4.23.4.33.13.23.33.43.53.62025/1/14103/1453.4连续时间LTI系统的频域分析两边取傅里叶变换