2024年沪科版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高一数学上册阶段测试试卷921考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设函数集合设则（）A.B.C.D.2、若则对说法正确的是A.有最大值B.有最小值C.无最大值和最小值D.无法确定3、【题文】在同一平面直角坐标系中，函数的图像与函数的图像关于（）A.原点对称B.轴对称C.直线对称D.轴对称4、下列各式成立的是：()A.B.C.D.5、我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥、现有一正三棱锥P﹣ABC放置在平面上，已知它的底面边长为2，高h，边BC在平面上转动，若某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形；则h的取值范围是（）

A.（0，]B.（0，]C.（0，]∪[1]D.（0，]∪（1）6、P是△ABC所在平面内一点，若=λ+其中λ∈R，则P点一定在（）A.△ABC内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上7、已知函数f：A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系是（）A.M=A，N=BB.M⊆A，N=BC.M=A，N⊆BD.M⊆A，N⊆B8、两条平行线l1，l2分别过点P（-1，2），Q（2，-3），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是（）A.（5，+∞）B.（0，5]C.D.9、已知边长为23

的菱形ABCD

中，隆脧BAD=60鈭�

沿对角线BD

折成二面角A鈭�BD鈭�C

为120鈭�

的四面体ABCD

则四面体的外接球的表面积为(

)

A.25娄脨

B.26娄脨

C.27娄脨

D.28娄脨

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、函数y=log0.52x-log0.5x+2的单调减区间是____．11、【题文】已知若则____________．12、【题文】设若则____．13、且lg（1+cosα）=m，则lgsinα=______（用m，n表示）14、已知角α的终边经过点（），则cosα=______．15、数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1，n∈N*}，则数列{an}的通项公式an=______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)16、已知数列{an}的通项公式为an=3n．

（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；

（Ⅱ）若数列{bn}是等比数列，且b1=a2，b2=a4，试求数列{bn}的通项公式bn及前n项和Sn．

17、【题文】(本题满分14分)

已知点及圆

（Ⅰ）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

（Ⅱ）设过直线与圆交于两点，当时，求以为直径的圆的方程；

（Ⅲ）设直线与圆交于两点，是否存在实数使得过点的直线垂直平分弦若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．18、【题文】已知正方体中，分别为的中点，．求证：

（１）四点共面；

（２）若交平面于点，则三点共线．19、已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）在区间[1，7]上的最大值比最小值大求a的值．20、如图；在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，F分别是。

CD和AD上的点，且==1，==2，求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．21、在锐角鈻�ABC

中，abc

分别为角ABC

所对的边，且a2+b2鈭�c2=ab

．

(

Ⅰ)

求角C

的大小；

(

Ⅱ)

若c=7

且鈻�ABC

的面积为332

求a+b

的值．评卷人得分四、作图题(共2题，共20分)22、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．23、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、计算题(共4题，共28分)24、在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过____小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．25、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是____．26、已知等边三角形ABC内一点P，PA、PB、PC的长分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么∠APB为____．27、在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小．评卷人得分六、综合题(共4题，共16分)28、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．29、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．30、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．31、若记函数y在x处的值为f（x），（例如y=x2，也可记着f（x）=x2）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图所示，且ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，则下列结论成立的有____．

（1）ac＞0；

（2）；

（3）对所有的实数x都有f（x）＞x；

（4）对所有的实数x都有f（f（x））＞x．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】【解析】试题分析：由题意知，方程有5个实数根，由因为所以此时方程有根3，又所以另外4个根分别为1和5，2和4，所以所以考点：本小题主要考查二次方程根的情况的判断和二次函数根与系数关系的应用，考查学生的推理能力和对问题的转化能力.【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于说明x,y同号，则可知利用基本不等式可知当x=y时等号成立，故答案为B.考点：均值不等式【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】

试题分析：由题意得与关于轴对称；故选D．

考点：函数的图形与性质．【解析】【答案】D．4、A【分析】【解答】本题考查指数的运算性质.关于指数的运算性质的使用；主要两点：①性质本身的正确使用②注意使用对象的范围限制.

选项A，正确.

选项B，不正确.

选项C，不正确.

选项D,不正确，选A.5、C【分析】【解答】解：在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE=

当时△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合；

P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=1⇒PE=＞1；

又PE=＞1；

∴h2＞∴

h＞

有选项可知C符合；

故选C

【分析】有选择题的特点可知，我们可以借助与题中答案的端点值来判断，答案是否成立．6、B【分析】【解答】解：∵=λ+

∴=λ+则

∴∥即与共线；

∴P点一定在AC边所在直线上；

故选B．

【分析】根据代入=λ+根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．7、C【分析】解：由函数的定义可知；定义域M=A，值域N⊆B；

故选：C

根据函数的定义和集合的关系进行判断即可．

本题主要考查函数定义的理解，比较基础．【解析】【答案】C8、D【分析】解：当PQ与平行线垂直时，|PQ|为平行线之间的距离的最大值，|PQ|==．

∴则l1，l2之间距离的取值范围是（0，]．

故选：D．

当PQ与平行线垂直时；|PQ|为平行线之间的距离的最大值，即可得出．

本题考查了平行线的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】D9、D【分析】解：如图所示，隆脧AFC=120鈭�隆脧AFE=60鈭�AF=32隆脕23=3

隆脿AE=332EF=32

设OO隆盲=x

则。

隆脽O隆盲B=2O隆盲F=1

隆脿

由勾股定理可得R2=x2+4=(32+1)2+(332鈭�x)2

隆脿R2=7

隆脿

四面体的外接球的表面积为4娄脨R2=28娄脨

故选：D

．

正确作出图形；利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．

本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】

令t=log0.5x，x＞0，则函数y=t2-t+2，显然当t≥时，函数y单调递增，当t≤时；函数y单调递减．

再由t≤可得log0.5x≤解得x≥

函数y=log0.52x-log0.5x+2的单调减区间是[+∞）；

故答案为[+∞）．

【解析】【答案】t=log0.5x，x＞0，则函数y=t2-t+2，显然当t≤时，函数y单调递减．再由t≤可得log0.5x≤解得x的范围，可得函数y的减区间．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：由得则

考点：指数幂的运算性质的应用。【解析】【答案】412、略

【分析】【解析】

试题分析：由得:

考点：函数的解式析及求解函数值.【解析】【答案】213、略

【分析】解：由lgsinα=lg（）=lg（1-cos2α）=lg（1+cosα）+lg（1-cosα）

∵lg（1+cosα）=m，即lg（1-cosα）=

∴lgsinα=m+×=（m+）

故答案为：（m+）

同角三角函数的基本关系式把sinα用cosα表示出来．利用对数的运算法则化简计算即可．

此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数的基本关系是解本题的关键．同时考查了对数的化简计算能力．【解析】（m+）14、略

【分析】解：∵角α的终边经过点（）；

∴x=y=

∴r==1；

∴cosα==x=

故答案为：

由题意可得x=y=r==1，由此求得cosα=的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【解析】15、略

【分析】解：当n≥2时，an+1=2Sn+1（n≥1），an=2Sn-1+1；

∴an+1-an=2an；

∴an+1=3an．

当n=1时，a2=2a1+1=3．

∴数列{an}为等比数列．

∴an=3n-1．

故答案为：3n-1．

当n≥2时，an+1=2Sn+1（n≥1），an=2Sn-1+1，两式相减可得an+1=3an．利用等比数列的通项公式即可得出．

本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．【解析】3n-1三、解答题(共6题，共12分)16、略

【分析】

（I）∵an+1-an=3（n+1）-3n=3，a1=3；

∴数列{an}是以3为首项；3为公差的等差数列；

（II）由（I）可知：b1=a2=3×2=6，b2=a4=3×4=12．

∴数列{bn}的公比==2；

∴

∴Sn=3（21+22++2n）=3×=6（2n-1）．

【解析】【答案】（I））利用已知和等差数列的定义：只有证明an+1-an是常数即可；

（II）利用（I）即可得出数列{bn}的公比q；即可得出其通项公式及其前n项和．

17、略

【分析】【解析】

【解析】【答案】略18、略

【分析】【解析】如图．（１）是的中位线，．

在正方体中，．

确定一个平面，即四点共面．

（２）正方体中，设确定的平面为又设平面为．

．又．

则是与的公共点，．

又．

则．

故三点共线．

。【解析】【答案】证明见解析19、略

【分析】

通过对a＞1与0＜a＜1分别判断函数的单调性；求出函数的最大值与最小值的差，然后求出a的值．

本题考查对数函数的单调性的应用，对数的基本运算，考查计算能力与分类讨论思想的应用．【解析】解：当a＞1时，f（x）=loga（x+1）在区间[1；7]上单调递增。

∴f（x）max=f（7）=loga8，f（x）min（1）=loga2；

∴loga8-loga2=loga4=

所以a=16．

当0＜a＜1时，f（x）=loga（x+1）在区间[1；7]上单调递增。

∴f（x）max=f（1）=loga2，f（x）min（8）=loga8

∴loga2-loga8=loga=

所以a=．

综上得，a=16或20、略

【分析】

先证P为两个平面的公共点；利用两个平面的公共点在两个平面的公共直线上，证线共点．

本题考查了用公理2证明点共线问题，考查平行关系的转化，考查了学生的空间想象能力和推理论证能力，本题较好的体现了线线、线面平行关系的转化．【解析】解：连接EF；GH；

因为==1，==2；

所以EF∥AC；HG∥AC且EF≠AC（2分）

所以EH；FG共面，且EH与FG不平行，（3分）

不妨设EH∩FG=P（4分）

则P∈EH；EH⊂面ABD；

所以P∈面ABD；（6分）

同理P∈面BCD（8分）

又因为平面ABD∩平面BCD=BD；所以P∈BD，（10分）

所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P．（12分）21、略

【分析】

(

Ⅰ)

在锐角鈻�ABC

中，由条件利用余弦定理求得cosC=a2+b2鈭�c22ab=12

可得C

的值．

(

Ⅱ)

由鈻�ABC

的面积为332

求得ab

的值，再根据c=7a2+b2鈭�c2=ab

求得a2+b2=13

从而求得a+b

的值。

本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．【解析】解：(

Ⅰ)

在锐角鈻�ABC

中，隆脽a2+b2鈭�c2=ab

隆脿cosC=a2+b2鈭�c22ab=12C=60鈭�.

(

Ⅱ)

由S鈻�ABC=12absinC=34ab=332

得ab=6

．

又由a2+b2鈭�c2=ab

且c=7

得a2+b2=13.

隆脿(a+b)2=a2+b2+2ab=25

隆脿a+b=5

．四、作图题(共2题，共20分)22、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、计算题(共4题，共28分)24、略

【分析】【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解析】【解答】解：如下图所示；

设经过x小时后；观测站及A；B两船恰成一个直角三角形；

则BC=3x；AC=12x；

在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；

在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；

在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；

∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2；

解得：x=2或-2（舍去）．

即经过2小时后；观测站及A；B两船恰成一个直角三角形．

故答案为：2．25、略

【分析】【分析】将x的值进行分段讨论，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出a的范围．【解析】【解答】解：当①x＜-时；原不等式可化为：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②当-≤x＜时；原不等式可化为：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此时可解得a＞-2；

③当x≥时；原不等式可化为：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

综合以上a的三个范围可得a＞2；

故答案为：a＞2．26、略

【分析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形；

∴BA=BC；

将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；

连EP；如图；

∴BE=BP=4；AE=PC=5，∠PBE=60°；

∴△BPE为等边三角形；

∴PE=PB=4；∠BPE=60°；

在△AEP中；AE=5，AP=3，PE=4；

∴AE2=PE2+PA2；

∴△APE为直角三角形；且∠APE=90°；

∴∠APB=90°+60°=150°．

故答案为150°．27、略

【分析】【分析】先作出点A关于x=1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x=1代入即可得．【解析】【解答】解：作点A关于x=1的对称点A'（-1；-2）；

连接A'B交x=1于C，可求出直线A'B的函数解析式为y=；

把C的坐标（1，n）代入解析式可得n=-．六、综合题(共4题，共16分)28、略

【分析】【分析】（1）首先将两函数联立得出ax2+2bx+c=0；再利用根的判别式得出它的符号即可；

（2）利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．【解析】【解答】解：（1）联立方程得：ax2+2bx+c=0；

△=4b2-4ac

=4（b2-ac）

∵a＞b＞c，a+b+c=0；

∴a＞0；c＜0；

∴△＞0；

∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x1，x2；则。

|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2；

=（-）2-==；

=4[（）2++1]；

=4[（+）2+]；

∵a＞b＞c，a+b+c=0；

∴a＞-（a+c）＞c；a＞0；

∴-2＜＜-；

此时3＜A1B12＜12；

∴＜|A1B1|＜2．29、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如图2；∵△AGC∽△HAB；

∴=；

∴=；

∴y=；

②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9；

∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9-x）；

∴z=+x-9；

（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的顶角；

如图；∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9；

由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9；

∴BG=HC；

∴CG=x=9；

即当x=9时；AG=AH．

故答案为：△HGA，△HAB．30、略

【分析】【分析】（1）设C（x；-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；

（2）作BE⊥AC于E；求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE；BE，求出∠A即可；

（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根据圆周角定理求出∠AO'B，证△AO'B≌△ACB，推出R=AC，根据三角形的面积和扇形的面积公式求出即可．【解析】【解答】解：（1）设C（x；-x）；

∵AC=BC；

根据勾股定理得：（x+4）2