四川省德阳市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/2德阳市高中2023级第一学期教学质量监测考试数学试卷说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效：考试结束后，将答题卡交回，2．本试卷满分100分，120分钟完卷．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义求解即可.【详解】易知既满足，又满足的数只有，故，显然B正确.故选：B2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.故选：A.3.下列函数中与是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出每个选项对应函数的定义域和解析式即可判断.【详解】对于A：，合题意；对于B：定义域为，不合题意；对于C：当为偶数时，，不合题意；对于D：当偶数时，定义域为，不合题意；故选：A.4.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可.【详解】.故选：C5.方程的解所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，根据零点存在定理即可判定.【详解】令，当时，，所以，当时，易知严格增，又，，根据零点存在定理得方程的解所在的区间为，故选：B.6.若，则（）A或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】把化为，再利用齐次式进行弦化切代入求解.【详解】.故选：D7.当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（）．（精确到百年，参考数据：）A.3800年 B.4200年 C.4600年 D.5000年【答案】C【解析】【分析】设该生物的死亡时间为t，根据题意列出关于t的方程，利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案．【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则，这头大象大约生活在距今约4600年，故选：C.8.已知：，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根据指数和对数函数的单调性，借助0，1和帮助判定即可得出答案.【详解】由题可知，所以，，因为，所以，则，所以，所以，故，即.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握指数和对数函数的单调性，从而得解.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．）9.若，则可以为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据选项逐个求解正弦值即可判断.【详解】对于A，，符合题意；对于B，，不合题意；对于C，，不合题意；对于D，，符合题意；故选：AD10.若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用幂函数在第一象限内，的右侧部分的图象的特点，确定出的大小关系.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.故选：BC11.下列选项中，的充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由充分必要条件的概念，结合指数函数、对数函数、幂函数单调性，对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若，则，得，又函数的定义域为，当，时，无意义，即不满足，故是的充分不必要条件，满足题意；对于B，若，则，但由得不到，例如，但，当时，有，故是的必要不充分条件，不合题意；对于C，若，由函数在定义域上单调递增，所以，但由得不到，例如，但，反之，若，则，从而，故是的必要不充分条件，不合题意；对于D，若，则，有，当，时，无意义，即不满足，故是的充分不必要条件，满足题意.故选：AD12.定义在上的函数，能断定4是周期的是（）A.满足 B.满足C.奇函数满足 D.奇函数满足【答案】BCD【解析】【分析】根据每个选项的恒等式和奇偶性，赋值变形即可判定.【详解】对于A：，所以8是的周期，不能判定4是函数的周期，故A错误；对于B：，故合题意；对于C：因为为奇函数，，所以，故合题意；对于D：因为为奇函数，，所以，故合题意；故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共64分）三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．将答案直接填在答题卡上）13.若，则__________．【答案】2【解析】【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因为，所以或，若，，不满足互异性；若或2，又，所以，故答案为：2.14.已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为______.【答案】1【解析】【分析】表示出扇形的面积，利用二次函数的单调性即可得出.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，，即，该扇形的面积，当且仅当时取等号.该扇形的面积的最大值为.故答案：.【点睛】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.15.若角的终边过点，则角的终边与单位圆的交点坐标为______.【答案】【解析】【分析】由三角函数定义得，，根据诱导公式求得，，即可求得角的终边与单位圆的交点坐标.【详解】因为三角函数定义及角的终边过点，，所以，，所以角的终边与单位圆的交点坐标为.故答案为：16.函数有零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先求出定义域，然后将零点问题转化成方程有解问题，最终转化成求值域的问题，构造函数，根据函数的单调性即可求解.【详解】由题得，函数有零点，即在有解，即在有解，令，因为与都是递增的，所以增，所以，又当时，，所以，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）17.化简求值：（1）；（2）已知：，求的值．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据指数、对数、幂的运算性质化简求解；（2）对数化成指数，然后根据指数运算性质求解.【小问1详解】原式．【小问2详解】，，故．18.若集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集运算求解即可；（2）根据交集运算得，然后根据和分类讨论求解即可.【小问1详解】当时，集合，又集合，所以.【小问2详解】因为，所以，①当，即时，；②当，即时，要使，则必须，解得.综上，的取值范围是.19.已知．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）当，求的值域．【答案】（1）最小正周期，（2）【解析】【分析】（1）根据余弦函数的周期以及单调性，即可求得答案；（2）根据时，确定，结合余弦函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意知，故函数的最小正周期，令，解得，故的单调递减区间为．【小问2详解】当时，，则，故时，的值域为.20.已知函数（为常数）.（1）若函数在定义域内单调递增，求的值；（2）若函数是奇函数，求证：在上单调递增.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）按照、及分类讨论，根据单调性的定义及性质即可求解；（2）先由函数是奇函数求得，再根据单调性的定义结合指数函数的单调性按照步骤证明即可.【小问1详解】函数的定义域为，①当时，在上显然单调递增；②当时，取，因为，所以在上不可能单调递增；③当时，取，因为，所以在上不可能单调递增；综上，若函数在定义域内单调递增，则.【小问2详解】令，函数定义域为，若是奇函数，则，所以，当时，，定义域为R，因为，所以是奇函数，，设，因为且在上单调递增，所以，则，所以，即，所以在上单调递增.21.连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元．（1）若2024年投入10百万元，求值；（2）若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）列出方程，求出答案；（2）求出的解析式，需当时单调递增，考虑当，和两种情况，结合特殊点的函数值，得到不等式，求出答案.【小问1详解】由题意，即，，解得；【小问2详解】设第年投入百万元，则由题意，必须当时单调递增，①当时，显然单调递增，②，③接下来，只需当时单调递增，，当且仅当时取等，，因为，解得，综上，的取值范围为．22.对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：（1）求三次函数的对称中心；（2）若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）6（3）【解析】【分析】（1）法一：利用因式分解将函数解析式变为，利用函数平移及奇函数性质求得对称中心；法二：利用待定系数法将函数解析式变为，利用函数平移及奇函数的性质求得对称中心；（2）根