第2章 自动控制系统的基本理论知识

1第二章

自动控制系统的基本理论知识2内容简介2.1自动控制系统的基本概念2.2连续系统的数学模型2.3拉普拉斯变换及其应用2.4传递函数2.5方块图2.6典型一阶和二阶闭环系统分析2.7系统稳定性和稳态误差分析重点：连续控制系统的数学模型、传递函数及方块图化简、典型一阶和二阶闭环系统的结构和原理、系统稳定性及稳态误差分析。难点：传递函数及方块图化简、系统稳定性及稳态误差分析。32.1自动控制系统的基本概念2.1.1自动控制系统自动控制自动控制系统由控制器、执行机构、被控对象等部件为了一定的目的有机的联结成的一个进行自动控制的总体，称为自动控制系统控制系统自动控制系统人工控制系统4自动控制理论是以自动控制系统为研究对象，用动力学的方法在运动中考察系统，揭示出所有类型或某些类型系统所共有的普遍规律，并在此基础上指出将理论用于工程实际的途径自动控制理论的任务就是采用数学的方法对自动控制系统进行分析与综合分析：系统模型

性能综合：性能

系统模型2.1.2自动控制理论5经典控制理论：研究单输入单输出（SISO）线性系统采用时域分析法、频率响应法和根轨迹法现代控制理论：研究MIMO、时变参数、非线性系统采用状态空间法延伸自动控制理论经典控制理论现代控制理论2.1.2自动控制理论62.1.3自动控制系统的分类按信号传递路径分类：开环控制系统和闭环控制系统按参考输入信号分类：恒值控制、随动控制和程序控制系统按系统数学性质分类：线性系统和非线性系统按时间信号分类：连续控制系统和离散控制系统按端口关系分类：单输入-单输出系统和多输入-多输出系统

71开环（前馈）控制系统控制器被控对象输入量扰动输出量系统的被控制量（输出量）对系统的给定量（输入量）没有影响，即被控制量只受控于给定量，而对给定量无反作用，这类系统称为开环系统，或前馈控制系统~220V调压变压器电热丝炉子8特点：作用信号由输入到输出单方向传递，不对输出量进行检测，或虽进行检测也不对系统起控制作用外部条件和系统内部参数保持不变时，对于一个确定的输入量，总存在一个与之对应的输出量控制精度取决于控制器及被控对象的参数稳定性，易受干扰影响，缺乏精确性和适应性92闭环（反馈）控制系统闭环控制系统是指系统的被控量经反馈装置反馈给控制器，并根据给定量与反馈量之间的偏差产生控制作用，并力图减小偏差，使被控量趋于给定量的系统反馈控制系统是在负反馈的基础上，用“检测误差用以纠正误差”这一原理组成的系统。由于此类系统信息的传递途径有一个自己闭合的环路，所以称为闭环控制系统执行机构电热器前置放大炉子功率放大给定电压热电偶M比较u调压变压器~220V减速器输入变换电压放大执行机构功率放大减速器电热器调压器炉子+热电偶期望温度实际温度-11特点：由负反馈构成闭环，利用误差信号进行控制对于外界扰动和系统内部参数的变化等引起的误差能够自动纠正系统元件参数配合不当，容易产生振荡，使系统不能正常工作，因而存在稳定性问题闭环控制系统与开环控制系统的主要区别在于闭环控制系统有一条从系统输出端经过测量元件到输入端的反馈通路输入量控制器被控对象扰动输出量反馈元件+-122.1.4自动控制系统的基本组成H输入变换元件串联校正放大变换元件执行元件被控对象并联校正反馈元件控制指令++--参考输入比较元件误差信号主反馈信号输出信号VCG0Gc1G1G2G3Gc2扰动信号13术语解释：输入变换元件：用于产生参考输入信号，是进行物理量大小和性质变换的元件反馈元件：是测量元件，用来测量被控制量的实际值，同时起着物理量大小和性质变换的作用比较元件：用来比较参考输入信号和主反馈信号，并产生反映两者差值信号的元件或电路放大变换元件：把误差信号放大并进行能量形式转换，使之达到足够幅值和功率的元件执行元件：根据控制信号直接对被控对象进行操纵的元件被控对象：控制系统所要操纵的对象，其输出量即为系统的被控制量前向通路：从输入端到输出端的单方向通路反馈通路：从输出端到输入端的反方向通路14术语解释：校正元件：为改善系统的控制性能而加入的元件。主反馈信号：由输出端反馈到输入端的信号。反馈信号可以是被控制量本身，也可以是它的函数或导数。误差信号：参考输入信号与主反馈信号之差。串联校正元件：串联在系统前向通路内的校正装置并联校正元件：与系统部分元件接成局部反馈的校正装置输入信号：包括参考输入信号和扰动信号参考输入：系统的给定输入信号，或称为给定值扰动信号：外界或系统内部影响系统输出的干扰信号输出信号：是其变化规律要加以控制的信号。输出信号应与输入给定信号间保持一定的函数关系15一个处于静止或平衡工作状态的系统，当受到任何输入的激励，就可能偏离平衡状态。当激励消失后，再经过一段暂态过程后，系统中的状态若能恢复到原先的平衡状态，则系统称为稳定的。一个控制系统必须是稳定的，而且必须满足一定的稳定裕量，以保证当系统参数发生某些变化时，也能够使系统保证稳定的工作状态。1稳定性2.1.5对控制系统的基本要求系统品质指标的基本要求为：系统的稳定性、动态特性和稳态特性16动态特性稳定的控制系统受到外加控制信号或扰动的作用后，系统要恢复稳定或达到一新的平衡状态。但由于系统内部各参数（如质量、惯性、电容、电感、电源、功率）的限制，使得系统的各状态不能瞬时变化，而要经过一个过程。系统状态随时间t变化的这一过程称为动态过程或过渡过程。动态特性即是反映在这一过程中，系统跟踪控制信号或抑制扰动的速度快慢，系统响应过程的振荡大小及平稳、均匀的程度等。一个动态特性好的系统既要过渡过程时间短，又要过渡平稳、振荡幅度小。2.1.5对控制系统的基本要求173稳态特性系统在过渡过程结束后，主反馈量与参考输入量的误差值，反映了系统的控制精度，两者的差值越小，则说明系统的控制精度越高。2.1.5对控制系统的基本要求182.1.5对控制系统的基本要求对于一个控制系统首要的要求就是系统的绝对稳定性。在系统稳定的前提下，要求系统的动态性能和稳态性能要好对于系统的性能要求可以概括为：响应速度要快动态过程平稳跟踪值要准确19由于控制系统的控制目的、要求和对象的不同，因而各系统的对动态特性和稳态特性的要求也不同对于同一个系统，稳定性、动态特性和稳态特性的稳定、快速、准确这三个要求是相互制约的提高过程快速性，则会使系统振荡性加强；改善系统相对稳定性，则又可能会使控制过程时间延长，反应迟缓；提高系统控制稳态的精度，则会引起动态性能（过渡过程时间及振荡性）的变化2.1.5对控制系统的基本要求202.1.6控制系统常用的典型测试信号

典型测试信号是简单的时间函数，便于对控制系统进行数学处理和实验分析选取典型测试信号的原则：选取输入信号的典型形式应大致反映系统的实际工作情况要从系统工作最不利的情况出发来选取典型测试信号选取的典型测试信号要尽可能简单211.阶跃输入函数该函数表示参考输入量的一种瞬变t0r(t)R阶跃输入函数式中：R为恒值；

u(t)为单位阶跃函数，即R=122u(t-

)表示一个经过延迟时间

的单位阶跃函数t0r(t)1

带延迟的单位阶跃函数232斜坡（速度）函数该函数表示一匀速信号，该信号对时间t的变化率是一常数，斜坡函数等于阶跃函数对t的积分。t0r(t)

tg=RRt式中：R为常数；为单位速度函数243抛物线（加速度）函数该函数表示匀加速信号，由等速函数对t积分而得。式中：R为常数；为单位加速度函数254脉冲函数式中：A为常数；h为脉冲宽度当A=1，h

0，1/h

时称为理想单位脉冲，其表达式为：单位脉冲函数可看作单位阶跃函数对时间的导数，u(t)只在t=0时有突变，所以u(t)在t=0的导数为，而在其它处为0。t0r(t)h265正弦函数式中：A为振幅；

为相位移；

为振荡角频率272.2连续系统的数学模型数学模型分类静态模型：在静态条件下，描述各变量之间关系的数学方程动态模型：用微分方程描述的各变量在动态过程中关系数学模型的表示方法图形表示：信号流图、方块图及频率特性图等微分方程：是最基本的形式，但求解困难

数学表示传递函数或频率特性：适用于单输入单输出系统 状态变量表达式：适于多变量系统及最优控制问题数字计算机上的程序综合28建立数学模型方法

分析法：从系统或元件所依据的物理规律出发，通过分析和推导，建立数学模型，并通过实验验证实验法：加入一定形式的输入信号，求取输出响应的方法建立数学模型的原则分清主次，合理简化，建立适当的数学模型。既要便于对系统模型进行数学处理，又要保证分析研究的精确度由选定的系统分析方法建立相应的数学模型。经典控制理论常用：微分方程、传递函数或频率特性292.2.1控制系统的微分方程控制系统的运动规律，一般是以时间t为自变量，可采用线性常系数微分方程来描述的，表示如下：或者：式中：30建立系统微分方程的步骤：分析系统工作原理和系统中各变量之间的关系，将系统划分成若干个环节，确定系统和每一个环节的输入量和输出量环节是指可以组成独立运动方程的那一部分通过反映环节内在运动规律的基本物理或化学定律，依次列写各环节的原始运动方程式，在保证分析精度的条件下进行适当的简化。同时要考虑元件之间的相互影响，即所谓的负载效应简化的方法：忽略一些次要因素；使非线性函数线性化等常用的物理定律：牛顿定律；能量守恒定律；欧姆定律等若原始运动方程不能直接用分析法得到，应借助于实验数据，然后归纳出与实验数据相符的描述方程31消去中间变量，得到只含有输入量和输出量的方程式，并把与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边，即：由于一般物理系统中均有质量、惯性或滞后的储能元件，所以方程左边的导数阶次总比右边的高（有时两边相等），即：mn³322.2.2线性微分方程的性质可加性：同一线性系统对若干个输入共同作用时所引起的输出响应，等于各个输入单独作用于系统时输出响应的叠加。线性系统x1(t)y1(t)线性系统x2(t)y2(t)线性系统x1(t)+kx2(t)y1(t)+ky2(t)齐次性：线性系统的输入若变化k倍，则其输出响应也变化k倍参数定常性：系统的参数，或者说元件的参数均为常数，则称为定常系统。否则称为时变系统或变系数系统。332.2.3电学系统微分方程的建立在电学系统中，需要遵循元件约束和网络约束。在元件约束中只考虑集总参数的线性约束，在网络约束中只考虑电网络的基本约束1元件约束电路分析中的基本线性元件有三种，电阻R、电容C和电感L，它们的V-I关系必须遵循广义欧姆定律uRiRR电阻R34电容CuCiCCuLiLL电感L352网络约束电网络的基本约束为基尔霍夫的两个定律：回路电压定律：节点电流定律：例1

由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路如图所示，写出以ui为输入u0为输出的微分方程解：由电学基本定律得：输出变量最高阶导数为一阶，因此该微分方程为一阶微分方程消去中间变量i(t)uiu0RCi例2

由电阻R和电感L组成的串联电路如图所示。当外加电压变化时，回路电流发生响应变化，试写出微分方程式解：（1）确定输入量和输出量取电路的输入量为u1(t)，输出量为为i(t)（2）由回路电压定律得：规范化：iu1u2RL例3

上例中若以u1(t)为输入量，电感两端电压u2(t)为输出量，试写出微分方程式解：由基尔霍夫定律得：i(t)为中间变量，(1)式整理得：(3)式代入(2)式消去i(t)得：iu1u2RL例4

由两级RC网络组成滤波电路如图所示，写出以ui为输入，u0

为输出的微分方程。解：对于回路L1有：对于回路L2有：元件约束为：u0uii1i2R1R2C1C2i1-i2)()()(11tututuiCR=+0)()()(221=++-tututuCRC消去中间变量i1(t)，i2(t)

，uC1(t)得：设时间常数为：方程可写为：因为输出变量的最高阶导数为二阶，该微分方程为二阶微分方程，又由于各阶导数的系数都是常系数，所以该系统又称为二阶线性定常系统。412.3拉普拉斯变换及其应用2.3.1拉氏变换的定义一个实变量t的函数f(t)，其线性积分表达式如下：如果该线性积分存在，则称其为函数f(t)的拉氏变换。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[

f(t)]，即式中：F(s)称为象函数；f(t)称为原函数422.3.2常用函数的拉氏变换单位阶跃函数t0r(t)1单位阶跃输入函数其数学表达式为：其拉氏变换为：43t0r(t)单位斜坡函数其拉氏变换为：拉氏变换对照表拉氏变换的重要性质482.3.3拉普拉斯反变换如果已知象函数F(s)求原函数，称为拉氏反变换，其公式为：上式为复变函数的积分，显然用其求反变换极其复杂，因此常采用部分分式法求取拉氏反变换，即将F(s)分解成一些有理分式之和，然后利用拉氏变换对照表查出对应的f(t)49把上式用部分分式展开，利用查找拉氏变换表求出原函数在线性定常系统中，系统微分方程经拉氏变换后可写成下列一般形式：式中：分子中的-z1，-z2，

-zm称为F(s)的零点；分母中的-p1，-p2，

-pn称为F(s)的极点50F(s)的分母X(s)的各种不同情况分析

X(s)=0无重极点各极点均不相同，故F(s)可以分解成n个部分分式之和：Ai为常数，可由下式求得：或各项系数求出后，由拉氏变换表即可查得F(s)的反变换为：解：将F(s)分解成部分分式，则：式中：于是：的反变换求342)(

2+++=ssssF

例

X(s)=0有重极点设-p0为r阶重极点，-pr+1，-pr+2，…

，-pn为单根，则可展开成下式：式中Ar+1，…

，An的计算与单极点情况下求待定系数相同；而重极点项的系数Ar，Ar-1，…

，A1的计算公式如下：53求出待定系数后代入F(s)，再取反变换可求得：上式中各项系数为：于是：55

X(s)=0有共轭复数极点如果F(s)含有一对共轭复数极点-p1，-p2

，可以展开成：式中A1，，A2可按下式求解：因为-p1是复数值，故上式两边都是复数值，令两边的实部和虚部分别相等，即可求得A1，

A2

。三个极点分别为s1=0，s2,3=-0.5j0.866，上式中各项系数为：令两边的实部和虚部分别相等，则得下列方程组：582.3.4拉氏变换法求解微分方程求解微分方程的方法数学分析方法拉氏变换法拉氏变换法求解微分方程步骤如下：考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变化，将时域的微分方程变换为S域的代数方程求解代数方程得到微分方程在S域的解求S域的拉氏反变换，即可得到微分方程的时域解微分方程S域解代数方程拉氏变换

时域解拉氏反变换例：已知微分方程为：输入信号u=(t)，初始条件为y(0)=0，y’(0)=0，求系统的输出y(t)解：方程两边做拉氏变换：代入初值，得输出响应的拉氏变换为：作拉氏反变换，得时间响应为：utytyty=++)(2)('2)(''221)(2++=sssY1)1(12++=stetytsin)(-=例：

RC滤波电路如图所示，输入电压ui(t)=5V，电容的初始电压u0(0)分别为0V和1V时，分别求时间解u0(t)解：RC电路的微分方程为：方程两边做拉氏变换：由拉氏变换的线性定理得：由拉氏变换的微分定理得：)()()(00tutudttduRCi=+[])()()(00tutudttduRCiLL=úûùêëé+u0ui=10K=10

RC输出的拉氏变换为：（1）u

0(0)=0V时：代入，整理得：，，将ssUCKRi5)(1010===m)11.0(5)(0+=sssU1055+-=ss（2）u

0(0)=1V时：)11.0(51.0)(0++=ssssU1045+-=ss632.4传递函数2.4.1定义实例：在初始条件为零的情况下，上式进行拉氏变换得：取输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比得：在线性定常数系统中，当初始条件全为零时，系统或部件输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称为系统或部件的传递函数)()()(00tutudttduRCi=+)()()1(0sUsURCsi=+11)()(0+=RCssUsUiuiuoRC64设描述系统的微分方程为：式中：令所有的初始条件为0，即：输出信号及其各阶导数初始状态为0；输入信号及其各阶导数初始状态为065将方程两边做拉氏变换，得：取输出的拉氏变换Y(s)与输入的拉氏变换X(s)之比，得到系统或部件的传递函数的一般形式：66传递函数的零极点表达式为：式中：Kr为增益因子-zi为传递函数的零点（即分子多项式等于零的根），-pj为传递函数的极点（即分母多项式等于零的根）672.4.2传递函数的求取方法方法一：一般元件或系统的传递函数的求取方法列出元件或系统的微分方程；在零初始条件下对方程进行拉氏变换；取输出与输入的复变量之比。方法二：利用系统的冲击响应求系统的传递函数测量系统的冲击响应：当输入x(t)为脉冲信号

(t)时，系统输出y(t)为冲击响应g(t)；根据系统传递函数与冲击响应求系统的传递函数。方法三：利用频率特性法，以实验进行测定682.4.3传递函数的性质传递函数是物理系统在复域的动态数学模型，它只与系统或元件本身内部结构参数有关，与输入量、初始条件等外部参数无关实际系统的传递函数是复变数s的有理分式，传递函数的分母的阶次大于等于分子的阶次（即n

m），其所有系数均为实数传递函数不能反映系统或元件的物理组成，物理性质截然不同的元件或系统可以有相同的传递函数传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应；反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换就是系统的传递函数。两者有一一对应的关系传递函数仅适用于线性定常系统或元件692.4.4典型环节及其传递函数比例环节其传递函数为：式中K为增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟70惯性环节其传递函数为：式中T为时间常数特点：含有一个储能元件，对突变的输入，输出不能立即复现，输出无振荡71积分环节其传递函数为：特点：输出量与输入量的积分成比例，当输入消失。输出具有记忆功能72微分环节其传递函数为：特点：输出量正比于输入量的变化速度，能预示输入信号的变化趋势73振荡环节其传递函数为：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现震荡式中：为阻尼比（0<1，欠阻尼)

n为自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）74纯时间滞后环节其传递函数为：特点：输出量能准确复现输入量，但需延迟一固定的时间间隔式中：为延迟时间752.4.5复数阻抗电阻R线性元件的复数阻抗是依据线性元件的V-I关系而建立的。时域上的关系所遵循的是欧姆定律，在变换域中也有相同的形式。可以把复数阻抗所遵循的V-I关系称为广义欧姆定律，而且符合传递函数的定义uRiRR76电容CuCiCCiLLuL电感L例

RCL网络如图所示，试采用复数阻抗法求取该网络的传递函数。解：由复数阻抗法可以写出分压公式为：代入各复数阻抗的：求得传递函数为：uiu0CRL782.5方块图控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构的信号流向的图解表示，在每个方块中写入该环节的传递函数，以箭头和字母标明其输入量和输出量，按照信号的传输方向把各方块连接起来，就构成了方块图，或称为结构图2.5.1方块图基本单元元部件传递函数方块：用传递函数来描述输入输出的函数关系信号流线：标有信号流通方向的信号输入输出通路信号流线方块79比较点：又称合成点或综合点，是指两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。进行加减时要统一量纲++ABA+B+-ABA-B+C+-ABA-B+C分支点：又称引出点或分离点，表示信号测量或引出的位置，同一位置的信号大小和性质完全一样G1(s)G2(s)802.5.2方块图的绘制绘制依据系统各环节的动态微分方程式及其拉式变换（传递函数）绘制方法选取系统的有关变量（信号）后，按照变量的传送顺序与变换关系，从输入信号到输出信号直接用基本单元组成系统的方块图81一阶RC网络

解：利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：例：画出下列RC电路的方块图。822.5.3方块图的化简法则一个实际的控制系统的动态方块图通常是比较复杂的，它往往具有多条反馈通道，各个闭合反馈通路之间往往有交叉与重叠，对于这样复杂的系统，一般总是把动态方块图化简成如下的形式。G1(s)G2(s)+++H(s)-X(s)B(s)E(s)N(s)Y(s)G

(s)+H(s)-X(s)B(s)E(s)Y(s)83保持信号传递过程中的数学关系不变前向通道中传递函数的乘积不变回路中传递函数的乘积不变为了求取系统的各个传递函数，从而分析研究系统。不同的系统,化简的步骤不尽相同，但在化简时必须遵循如下的原则：84基本连接方式的化简

在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。85特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量

1）串联连接结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积n为相串联的环节数

87

环节的并联连接

特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和2）并联连接88结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和

n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况

893）反馈连接

特点：存在反馈回路(a)90结论：具有负反馈结构环节传递函数等于前向通道的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积(a)912.信号比较点和信号引出点的等效变换

对于一般系统的方块图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号比较点或信号引出点作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可92变换比较点+-A++BCA-B+C++A+-CBA-B+C+-A++BCA-B+C比较点分解+-A+BCA-B+C93比较点前移GAAGAG

BB+

+

AB/GG

A

B/GAG

B1/GB+

AG

A

BAG

BGB比较点后移GAAGAG

BGB+

G94引出点前移GAAGAGAG

AGG

AG引出点后移GAAGAAG

AG1/G

A95交换比较点，引出点+-ABA-BA-B-++-ABA-BA-BB交换相邻引出点G1G2ACBBBG1G2ACBBB96例1求C(s)/R(s)要点：从内到外根据负反馈法则逐一求取闭环负反馈传递函数k+f-R(s)C(s)+-2.5.4动态方块图化简实例例2求C(s)/R(s)+-R(s)C(s)+-G1G2G3G4要点：区别是闭环还是并联例3求C(s)/R(s)要点：解决反馈环之间的交连+-R(s)C(s)--G1G2G3G41/G11/G4要点：从内到外逐一求取负反馈传递函数+-R(s)C(s)--G1G2G3G4ADBC比较引出例4求C(s)/R(s)要点：确定输入、输出；找到前向通道；将动态方块图画成输入在左输出在右的习惯形式+-R(s)C(s)+-G1G2G3G4G5G6G7++1002.5.5基本概念和术语前向通路传递函数：打开反馈环后，输出Y(s)与输入X(s)之比反馈通路传递函数：主反馈信号B(s)与输出Y(s)之比)()()(sHsYsB=G1(s)G2(s)+++H(s)-X(s)B(s)E(s)N(s)Y(s)打开反馈101开环传递函数：打开反馈环后，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。闭环传递函数：输出信号Y(s)与输入信号X(s)之比。102误差传递函数：误差信号E(s)与输入信号X(s)之比。103输出对扰动的传递函数：为了了解干扰对系统的影响，需要求出输出信号与扰动信号之间的关系，当X(s)=0时，输出信号Y(s)与扰动信号N(s)之比为输出对扰动的传递函数。此时，系统的方块图如下：G2(s)+H(s)-N(s)Y(s)G1(s)104误差对扰动的传递函数：当X(s)=0时，系统的方块图如下：G2(s)+H(s)+N(s)E(s)G1(s)-1105系统的总输出(系统总输出的象函数)：根据线性系统的叠加原理，当X(s)0，

N(s)0时，系统的总输出应等于它们各自单独作用时的输出之和。根据叠加原理，当X(s)0，

N(s)0时，系统的总误差为：由于干扰信号极性的随机性，不能简单的认为干扰引起的误差可以部分或全部的抵消给定输入引起的误差，而且从最恶劣的情况考虑,两者引起的误差的幅值很可能是相加的。系统的总误差(系统总误差的象函数)：1062.6典型一阶和二阶闭环系统分析2.6.1典型时间响应初始状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。单位阶跃响应系统在单位阶跃信号u(t)作用下的响应，称为单位阶跃响应，常以h(t)表示。设系统的闭环传递函数为

(s)，则单位阶跃响应的拉氏变换式为：故单位阶跃响应为：107单位斜坡响应系统在单位斜坡信号t·u(t)作用下的响应，称为单位斜坡响应，常以ct(t)表示。则单位斜坡响应的拉氏变换式为：故单位斜坡响应为：108单位脉冲响应系统在单位脉冲信号

(t)作用下的响应，称为单位脉冲响应，常以

k(t)表示。则单位脉冲响应的拉氏变换式为：故单位阶跃响应为：和传递函数一样，单位脉冲响应只由系统的动态结构及参数决定，k(t)也可以认为是系统的一种动态数学模型1092.6.2阶跃响应的性能指标控制系统追踪或复现阶跃输入，一般认为是较为恶劣、严格的工作条件，故常以阶跃响应衡量系统控制性能的好坏时间响应可以划分为暂态和稳态两个阶段，暂态是指系统响应从开始到接近终了平衡的状态；稳态是指时间延续较长(t)后的平衡状态。评价系统的响应，必须对两个阶段的性能给以全面考虑110单位阶跃响应曲线和性能指标峰值时间tp：指h(t)曲线中超过稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。超调量

：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。即：调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近±5

h(

)[或±2

h(

)]误差带而不再超出的最小时间。ts也常称为过渡时间。稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。111峰值时间tp表征响应的初始段快慢，而调节时间ts则表明系统响应的过渡阶段的总持续时间，从总体上反映了过程的快速性。超调量

反映了系统响应阶段的平稳性。稳态误差ess

表征的是系统响应的最终（稳态）精度。控制工程中，常以

、ts及ess

三项指标评价系统的稳、快、准。1122.6.3典型一阶闭环系统分析所谓一阶是指系统闭环传递函数分母的最高次幂为1开环传递函数为：闭环传递函数为：C(s)R(s)积分环节惯性环节数学模型T：一阶系统的时间常数；（一阶系统闭环传递函数分母常数项为1，s一阶项的系数即为时间常数T）C(s)R(s)－113单位阶跃响应h(t)单位阶跃函数输入的拉氏变换为：将上式展开为部分分式：故单位阶跃响应为：稳态分量暂态分量114性能指标在t=0时，响应曲线的初始斜率为：即系统如果能保持初始响应速度，则在t=T时就能达到稳态值（减小T可以提高响应的初速度）。所以，如果已知系统的单位阶跃响应，那么单位阶跃响应曲线的初始斜率与稳态值相交处所对应的时间就是系统的时间常数Th(t)h(t)在t=T时，h(T)=1–e-1=0.632。说明此时系统的输出已达到稳态值的63.2%h(t)一阶系统的阶跃响应没有超调，其动态性能指标主要是调节时间ts此值与稳态值仅差5%，在工程中此时常看作过渡过程已结束由于T愈大，阶跃响应曲线上升斜率愈小，因而在一定条件下，一阶系统可近似看成为积分环节当t=3T时：116单位阶跃响应其它输入函数的响应仅需改动R(s)便可求出C(s)例：设一阶系统的前向通道传递函数为，即积分环节。要求当反馈系数为0.1时，系统闭环单位阶跃响应的ts不大于0.1s，问原参数能否满足此要求？若不能满足，而主通道参数又不能改变，应如何解决？解：已知系统的闭环传递函数为：系统时间常数T=0.1s，故ts=3T=30.1=0.3s不满足对ts的要求欲使ts减小可采用：改变主通道的积分时间常数改变反馈系数不符合题意设改变后的H(s)=Kt使系统闭环输出稳态值变化不会改变阶跃输入响应的稳态值通过以上分析增大反馈系数，可以使ts减小，但却使系统对单位阶跃响应的稳态值也发生了变化。如没有前向通道传递函数不能改变的限制，修改前向通道传递函数，也可以达到改变ts的目的，且稳态值也不会改变。设kg为前向通道系数，则：1202.6.4典型二阶闭环系统分析所谓二阶是指系统闭环传递函数分母的最高次幂为2闭环传递函数为：数学模型开环传递函数为：

n称为二阶系统的自然振荡角频率为二阶系统的阻尼比式中：R(s)C(s)－121单位阶跃响应h(t)单位阶跃函数输入的拉氏变换为：系统的特征方程（系统闭环传递函数的分母多项式等于零）该方程的两个特征根（即闭环极点）为：122欠阻尼(0<<1)状态0<<1时根的分布s1，s2是一对共轭复根此时，输出C(s)的表达式为：两个特征根为：令，上式变为：式中

d称为阻尼振荡角频率稳态分量0<<1时根的分布暂态分量124系统的误差信号是输入量与输出量之差，即系统单位阶跃响应的第二项反映的是系统误差信号的大小变化，误差信号是一个振荡角频率为

d的阻尼振荡，并以的速率在衰减稳态时，亦即t=

时，输入量与输出量之间没有误差)()()(tctrte-=125右图是二阶系统单位阶跃响应曲线，图中采用

nt作横坐标，量纲为弧度，这时单位阶跃响应曲线只是

的函数。图中给出了对应

不同取值的曲线h(t)126无阻尼(=0)状态h(t)=0时的二阶系统根的分布和单位阶跃响应曲线此时系统呈不衰减的等幅振荡，振荡频率

n称为自然振荡角频率其特征根为：当

=0时，可看成欠阻尼的一个特殊情况，将=0代入欠阻尼系统单位阶跃响应式中得：127临界阻尼(=1)状态=1时的二阶系统根的分布和单位阶跃响应曲线上式表明，临界阻尼时二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的单调上升曲线，整个响应特性不再出现振荡h(t)当

=1时，特征根为s1,2=-

n

是负实重根128过阻尼(>1)状态T1、T2称为过阻尼二阶系统的时间常数，其中T1>T2令129当输入为单位阶跃函数时，输出为：h(t)>1时的二阶系统单位阶跃响应曲线稳态值随时间增长而衰减到零整个过程不存在振荡从以上四种情况分析，说明阻尼比

越小，则超调量越大，上升时间越短。在非振荡响应曲线中，临界阻尼具有最短的上升时间h(t)在实际工程中。要兼顾过渡过程和超调量时，阻尼比应选择在0.4~0.8之间。

值太小（如<0.4），超调太大。故应适当选择来满足超调量和过渡过程时间在工程实际中，通过调整系统的开环放大系数K来获得较理想的值131过渡过程的性能指标由于0<<1和1时系统具有不同形式的响应曲线，因此性能指标的计算方法亦有所不同欠阻尼(0<<1)状态输出响应为：峰值时间tp

：将上式对时间求导，并令其等于零，即可求出峰值时间tp即：在n=1时，第一次达到峰值，所以已知欠阻尼状态下：bpzzpbw+=-+=+narctgntpd21超调量

：代入到因为超调量发生在峰值上，所以将得：已知超调量的定义为：故在单位阶跃输入下：阻尼比越小超调量越大调节时间（过渡过程时间）ts：在欠阻尼情况下，系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应呈衰减阻尼振荡，其包络线函数为：135从调节时间的定义可得ts是过渡过程曲线到达并永远保持在规定的允许误差带（

=±5

）内所需的最小时间。即：因此可求得时间ts：调节时间与阻尼比的近似关系图136二阶系统超调量与阻尼比关系曲线∴在设计系统时，阻尼比

通常由超调量决定∴调节时间ts由

n决定过阻尼(1)状态在过阻尼情况下，不存在超调量，仅讨论调节时间ts即可从下式来看，要直接求解ts比较困难，需借助于计算机求解，计算结果如右图所示在工程上可进一步简化计算，当T1≥4T2时，ts=3T1已满足工程上的需要了综上所述，在过阻尼条件下，当系统中两个不等的负实根相差4倍以上时，系统可近似等效为一个一阶系统，其ts=3T1（误差小于10%）。从图中可以看出，在1~1.25范围内取值时，可从图中查出ts

；当＞1.25时，系统可等效为一阶惯性环节一般用右式估算：1384.结论阻尼比：二阶系统的一个重要参量，值决定超调量

0＜＜1时，%

＞1时，无超调调节时间ts

0＜＜1时，与n

成反比，确定后，通过改变

n

来改变ts

1时，ts

在工程上，要兼顾ts及

%，常取在0.4~0.8之间，这时

%在25%-1.5%之间阶跃输入稳态误差ess=0例一角位置随动系统为单位负反馈系统，其开环传递函数如下所示：假设系统中前向通道中放大器的增益KA可调，试计算KA=200情况下，系统被控制量的单位阶跃响应性能指标：峰值时间tp

、调节时间ts及超调量

%

。如果增益提高到1500或减小到10，试问对系统的响应有何影响？解：1.KA=200系统为单位负反馈，故得闭环传递函数：代入KA=200

，则：对照标准形式：得：根据指标计算公式得：2.KA=1500同法可得：则：提高增益将使响应初始段加快但振荡强烈，平稳性明显下降

减小n增大，调节时间并无多大变化3.KA=10算得：系统具有过阻尼：响应虽然无超调，但过程偏于缓慢1425.改善二阶系统响应性能的措施从上例中不难发现，系统响应的平稳性和快速性对系统的结构参数的要求往往是矛盾的为提高响应速度而加大开环增益，结果阻尼比又偏小，使振荡加剧反之，减小增益能显著改善平稳性，但过程又偏于缓慢可见仅通过调整系统原有部件的有限个参数，有时很难全面满足性能指标。因此只能另辟新径来改善系统的品质。可以采取在原反馈系统中加入校正环节，来着重改善系统响应某一方面的性能比例-微分控制的二阶系统1++Tds-R(s)E(s)C(s)闭环传递函数为：系统同时受误差信号和误差微分信号双重控制，Td称微分时间常数（微分系数）系统开环传递函数为：称等效阻尼比Tds的设置等效于阻尼比加大，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。甚至在原系统阻尼比很小的情况下，可实现等效阻尼比大于1，完全消除振荡微分控制是一种超前控制，能在实际超调出现之前，就产生一个适当的修正作用例1：某单位负反馈系统如图，求系统单位阶跃输入的σ%和ts解：系统闭环传递函数：)6.0(1+ssr(t)=1(t)-c(t)例2：若在上例中的前向通道串入一比例微分校正环节，求系统单位阶跃输入的σ%和ts。解：系统闭环传递函数：系统的单位阶跃响应:-c(t)14.0+sr(t)=1(t))6.0(1+ss(1)例3：若在例1中的系统采用反馈校正环节，求系统单位阶跃输入的σ%和ts解：系统开环传递函数：-c(t)s4.0)6.0(1+ssr(t)=1(t)-闭环传递函数1502.7系统稳定性、稳态误差分析如果系统受外界或内部的扰动（包括给定值的变化），偏离了原平衡状态，而当扰动消失后（包括给定值恢复到原状态），系统的输出仍能逐渐恢复到原状态，则称系统是稳定的或具有稳定性稳定性是扰动消失后系统自身的一种恢复能力，是系统的一种固有特性，稳定性只取决于系统的结构参数，而与初始条件及外作用无关稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。分析系统的稳定性是控制系统设计的基本任务之一2.7.1系统稳定性分析151稳定的数学条件闭环系统特征方程为：系统稳定的数学条件为：闭环系统所有特征根均具有负实部（或所有特征根均位于s左半平面），即：Resi

<0(i=1，2，，n）系统闭环传递函数：系统稳定性特征根的性质特征方程结构参数∴系统的稳定性只取决于自身而与扰动及其形式以及初始条件无关152代数稳定判据根据稳定条件Resi

<0判断系统稳定性，需要知道系统所有特征根实部的正、负，求解工作量较大（尤其是高阶系统）可采用一种不必解出特征根，而直接判别特征根是否满足Resi

<0的代数方法，称为代数稳定判据系统的特征方程为：则系统稳定的充分必要条件为：特征多项式中各项系数大于零，即：153特征多项式各系数构造的n阶行列式中，各奇数子行列式或各偶数子行列式大于零，即：或其中：例1

系统特征方程为试判断系统的稳定性解由特征方程知各项系数均大于零不满足各奇数子行列式大于零的条件，系统不稳定例2

单位负反馈系统的开环传递函数为试求保证系统稳定增益K的可调范围。解系统闭环特征方程为：展开得：根据稳定条件：

ai>0：则由闭环特征多项式看出，应有K>0

D2>0得:为保证闭环系统稳定增益K的可调范围是:增大开路增益对系统的稳定性不利156结构不稳定问题仅靠调整各元部件参数无法保证稳定的系统，称结构不稳定系统K1--HrUHKPL1Q1Q2Q其系统闭环特征方程为：令:则：展开得：缺少s项，即a2=0，系统不稳定。调整Tm及K均构造不出s项，该系统为一结构不稳定系统有两个1/s环节串联，且传递函数分子中无s项，造成s一次项系数为零某控制系统的结构图如下所示：157改变结构不稳定可以采用两种方案：改变1/s环节的性质（减少闭合回路积分环节的数目）由比例反馈KH包围两个1/s环节中的任一个HKH-