第4章 动量定理

第4章动量定理◆本章学习目标理解动量定理是力在时间上的积累效应。能够利用动量守恒定律解决力学问题。理解动量守恒定律在碰撞中的应用。◆本章教学内容动量定理；动量守恒定律；火箭的运动；碰撞。◆本章教学重点动量定理的应用；动量守恒定律的应用；碰撞过程中的量的关系。◆本章教学难点动量守恒定律的应用；弹性碰撞及非弹性碰撞。◆本章学习方法建议及参考资料重在加强学生对时间积累效应的理解；加强讲练结合，注重学生对力学条件的分析。参考教材：东南大学等七所工科院校编，《物理学》，高等教育出版，1999年11月第4版

§4.1动量定理一、动量为了描述质点的运动状态，除了上一章讲座的动能之外，我们将再引进一个物理量—动量。从实际经验可知，质点运动的动量的大小不仅与其运动速度大小有关，而且与质点的质量大小有关。设一质点的质量为m,速度为v，我们把质点的质量与速度的乘积定义为质点的动量，通常用表示，即(1)动量是矢量，其方向与速度方向相同。牛顿第二定律的一般表述形式应为(2)上式表明，从动力学角度看，要使质点的运动状态发生变化，亦即要使质点的动量发生变化，就必须对质点施以力的作用。在经典力学条件下，质量m不随时间变化，则上式可以写成(3)实验表明，当质点的质量随时间变化时，虽然(3)式表示的牛顿定律不再成立，但(2)式依旧成立。可见，用动量形式表示的牛顿第二定律具有更大的普遍性。二、冲量由式说明，质点动量随时间的瞬时变化率与所受力的关系，如果我们要进一步研究质点在力的作用下，经过一定时间间隔动量是如何变化的，将上式改为(4)此式说明，质点动量要发生变化，不但要有力的作用，而且这个力还必须持续作用一段时间，亦即力必须在时间上发生一定的累积作用。在低速运动的牛顿力学中，质点的质量可视为不改变，故可以写成。此外，由于质点的力随时间改变，即力是时间的函数，则对上式在定时间内求积分我们将力对时间的积累称为力的冲量，用表示。则给定时间内，外务作用于质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量，这就是质点的动量定理。是个矢量，它的方向与的方向相同。对于动量定理的分量式如下：三、质点系的动量定理在系统S中有两个质点1和2，它们的质量分别为m1和m2，系统外的质点对它们的作用力叫做外力，系统内的质点间的相互作用力则叫做内力。如图所示其中，和均为外力，为内力，则对于1和2质点，就有将以上两式相加，则得由于则上式变为上式表明，作用于两点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统的动量的增量。如果将其推广到由n个质点组成的系统，则由于内力总是成对出现，且大小相等方向相反，故则或上式表明，作用于系统的合外力的冲量，等于系统动量的增量，这就是质点系的动量定理。举例一个质量为0.05kg，速率为10m/s的钢球以与法线呈450角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来，设球与钢板的碰撞时间为0.05要，求钢板受到的平均撞击力。解：以钢球为研究对象，根据质点的动量定理 则其分量式为则根据牛顿第三定律，钢球对钢板的作用力大小等于钢板对钢球的作用力，故钢板所受到的平均作用力为负号表示与所规定的方向相反。

§4.2动量定理一、动量守恒定律根据n个质点所组成系统的动量定理当系统的合外力为零时，即 时，系统的总动量的增量亦为零，即这时的总动量保持不变，即这就是动量守恒定律，它有如下表述：当系统的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。分量式如下这里的C1、C2、C3均为常量。二、注意问题1．系统的总动量不变是指系统内各物体的动量的矢量和不变，而不是指其中的某一个物体的动量不变。2．各物体的动量都应相对于同一惯性系。3．系统的动量守恒是有条件的，这个条件就是系统所受的合外力必须为0，以下情况要注意：(1)如果外力＜＜内力，则可以忽略外力对系统的作用，可以认为系统的动量是守恒的。(2)如一般的外力可以忽略，则碰撞过程前后，可以认为参与碰撞的物体系统的总动量是守恒的。4．如果系统所受到的外力的矢量和并不为0，但是合外力在某个坐标轴的分矢量为零，此时，该坐标轴的分动量是守恒的。5．动量守恒定律比牛顿运动定律更加基本，它与能量守恒定律一样，是自然界最普遍的最基本的定律之一。6．动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立，因此，运用它来求解，要选定一惯性系作为参考系。举例一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块，已知其中两块在水平面内各以80m/s和60m/s的速率沿互相垂直的两个方向飞开，求第三块的飞行速度。解：以整个装置为研究对象，由于炸裂过程中内力远大于外力，故可认为动量守恒，则必有因为原来静止，故=0，且，则必有题意表表，两个碎块的动量都处于xy平面内，第三个碎块的动量也必定处于xy平面内，设其方向与x轴成θ角，于是可将上式写成如下分量式两式联立，可解得

§4.3火箭的运动一、火箭的运动简述作为动量守恒定律的一个应用，我们在本节中讲座一下火箭的运动规律，火箭是一种利用燃料燃烧后喷出气体产生反冲推力的发动机。它自带燃料与助燃剂，因而可以在空间任何地方发动。设火箭在自由空间飞行，即它不受引力或空气阻力的作用。在t时刻，火箭体的总质量为M，速度为v，总动量为Mv，经过dt时间后，火箭喷出质量为dm的气体，相对于箭体的速度为u，火箭体速度增加到v+dv，则此时系统沿x方向的总动量为由于喷出气体的dm等于火箭质量的减小，即-dM，所以上式可以写成由于内力远大于外力，可认为动量守恒，故将上式展开，则得或者设火箭点火时质量为M0，初速度为v0，燃烧完后火箭的质量为Mt，达到末速度vt，则可以对上式积分由此得此式表明，火箭在燃料燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比，出现的始末质量比的自然对数成正比。如果只以火箭本身作为研究的系统，以F表示喷出气体对火箭体的推力，则根据牛顿第二定律，应有将代入上式，可得此式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率以及喷出气体的相对速度u成正比。为了提高火箭的末速度以满足发射地球人造卫星或其他航天器的要求，就得提高喷射速度和质量比，但喷射速度和质量比由于实际条件的限制，并不能无限制地提高。一般火箭的喷射速度最大只能达到2.5km/s左右，质量比只能达到6左右，相应地火箭能达到的速度是4.5km/s，我们知道，要使人造地球卫星到达地球轨道，必须达到的第一宇宙速度是7.9km/s，因此，我们往往利用多级火箭来完成发射任务。

§4.4碰撞一、碰撞及其分类1．碰撞的定义在力学中，具有相对接近速度的两个或两个以上的物体，在短时间内宏观上直接接触并且发生形变的现象叫做碰撞。碰撞会使这些物体或其中的某个物体的运动状态发生明显的变化。由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，所以碰撞系统的总动量是守恒的。即=常矢量2．碰撞的分类(1)从有无能量损失上分类弹性碰撞如果碰撞过程中物体的动能完全没有损失，则这样的碰撞叫做弹性碰撞。非弹性碰撞如果在碰撞过程中物体的动能有损失，这样的碰撞叫做非弹性碰撞。如果碰撞后两物体以相同的速度运动，这种碰撞称为完全非弹性碰撞。(2)从运动方向与质心连线的关系上分类正碰如果两物体碰撞前速度在两物体的连心线上，那么碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞称为对心碰撞或正碰。斜碰如果两物体碰撞前的速度与两物体的连心线有一定的角度，则碰撞后两物体的速度也将有一定的角度，即速度的方向不在连心线上，这种碰撞称为斜碰。二、几种特殊形式的碰撞1．弹性碰撞两个小球的质量分别为m1和m2，沿一直线分别以速度和运动，两球发生弹性对心碰撞，设碰撞后的速度分别为和，由于是弹性碰撞，故总动量和总动能保持不变，即(1)(2)将以上式两联立，可得从上两式中即对心碰撞中，两球碰撞后相互分离的速度等于碰撞前相互趋近的速度。讨论：(1)若则，即碰撞后，两小球交换速度。(2)其且则，即碰撞后，大球几乎不动而小球以原来的速率返回。2．完全非弹性碰撞如果两小球的质量分别分m1和m2，发生完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为和，设碰撞后合在一起的速度为v，则由动量守恒定律可得由此速度值为两小球碰撞前的动能为碰撞后的动能为其能量损失为这些损失的能量变为永久形迹中耗散的能量。3．非弹性碰撞一般的碰撞，即不是弹性的，也不是完全非弹性的，碰撞后形迹部分恢复，两物体具有不同的速度，但系统动能不再守恒。牛顿总结了各种碰撞实验的结果，引进了恢复系数的概念，在对心碰撞中被定义为可以看出，在弹性碰撞中，=1；在完全非弹性碰撞中，=0，在一般的非