第05讲-空间向量及其应用(精讲)(原卷版)

第05讲空间向量及其应用目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 6第三部分：高频考点一遍过 6高频考点一：空间向量的线性运算 6高频考点二：共线、共面向量定理的应用 8高频考点三：向量数量级及其应用 9角度1：求空间向量的数量积 9角度2：利用数量积求长度 11角度3：利用数量积求夹角 12角度4：利用向量解决平行和垂直问题 14角度5：向量的投影和投影向量 16高频考点五：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 17高频考点六：数量积最值（范围） 18高频考点七：求法向量 19高频考点八：利用空间向量证明平行与垂直 22温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背知识点一：空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量知识点二：空间向量的有关定理1、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中2、共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使（1）空间共面向量的表示如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．（2）拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得知识点三：空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）（2）范围：．特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量的投影3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.5、数量积的运算：（1），.（2）(交换律)．（3）(分配律).知识点四：空间向量的坐标表示及其应用设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积共线（平行）垂直（均非零向量）模，即夹角知识点五：直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即2、平面法向量的概念如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量.知识点六：空间位置关系的向量表示1、空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔2、空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔第二部分：高考真题回归1．（2021·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面第三部分：高频考点一遍过高频考点一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2023·全国·高三对口高考）（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（

）

A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高三对口高考）如图，棱柱的底面是平行四边形，分所成的比为2∶1，分所成的比为1∶2，设，试将表示成的关系式．

练透核心考点1．（2023·全国·高三对口高考）已知，则（

）A． B．1 C．0 D．22．（多选）（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高二课时练习）如图，在正方体中，M，N分别是的中点，O为的中点.设，用表示下列向量：①________；②_________.

高频考点二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2023春·高一课时练习）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，是棱上的点，且，若，且满足平面，则（

）

A． B． C． D．

例题2．（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）已知向量,若三个向量共面,则实数等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10例题3．（2023春·安徽·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知空间向量，，，若，，共面，则______．练透核心考点1．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知空间向量，，（其中x、），如果，则（

）A．1 B．2 C．-2 D．-12．（2023·全国·高三对口高考）已知，若三向量共面，则等于（

）A． B．9 C． D．3．（2023·全国·高三对口高考）设点在点确定的平面上，则实数_________．高频考点三：向量数量级及其应用角度1：求空间向量的数量积典型例题例题1．（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体的棱长为1，点，分别是，的中点．求下列向量的数量积：(1)(2)(3)例题3．（2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考期末）若，，则等于（

）A．5 B．－5 C．7 D．－1例题4．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）已知向量与向量平行()，则的值为______.练透核心考点1．（2023春·贵州遵义·高二校考阶段练习）如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（

）A． B． C．1 D．22．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知向量，则_____.3．（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知向量，，求和.5．（2023春·高二课时练习）已知，，则________.角度2：利用数量积求长度典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（

）A．2 B．C． D．6例题2．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.例题3．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）设，向量=()，=，=，且，，则||=（

）A． B．3 C．3 D．9例题4．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知.则__________．练透核心考点1．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.

3．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）若三棱锥的棱长都为为的中点，为棱上一点，且，则的长为__________.4．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知点，若点P满足，则（

）．A．37 B． C．57 D．5．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）设空间向量，，若，则＝______．角度3：利用数量积求夹角典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为，设，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体棱、的中点，则______．例题3．（2023·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________．例题4．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且．求．练透核心考点1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）空间四边形中，，，则的值是（

）A．0 B． C． D．3．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．5．（2023春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．(1)求的距离；(2)求的值．角度4：利用向量解决平行和垂直问题典型例题例题1．（2023春·高二课时练习）已知向量，，且，则实数的值为（

）A． B．C． D．例题2．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知向量，且与互相垂直，则实数__________.例题4．（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，设，．(1)设，，求；(2)求与的夹角；(3)若与互相垂直，求．练透核心考点1．（2023秋·高二课时练习），若，则（

）A．0 B． C． D．2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量，，．(1)若，求；(2)若与相互垂直，求．3．（2023春·高二课时练习）已知直线的方向向量分别为和，若，则__________.4．（2023秋·高二单元测试）已知向量，若，则__________；若，则__________．角度5：向量的投影和投影向量典型例题例题1．（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知空间向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（

）A． B． C． D．练透核心考点1．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．3．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．高频考点五：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数典型例题例题1．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______.练透核心考点1．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）若与的夹角为钝角，则的取值可能是（

）A．5 B．4 C．3 D．62．（2023秋·安徽安庆·高二安徽省怀宁县新安中学校考期末）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．高频考点六：数量积最值（范围）典型例题例题1．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．1 D．0例题2．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高二专题练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.练透核心考点1．（2023春·高二课时练习）已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______．3．（2023春·高二课时练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______高频考点七：求法向量典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，，则平面的一个法向量可以是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.

例题3．（2023·江苏·高二专题练习）正方体中，、分别为棱、的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：（1）平面的一个法向量；（2）平面的一个法向量．练透核心考点1．（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．2．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面的一个法向量；(2)平面的一个法向量.3．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量