2-4-2-圆的一般方程(导学案)-(原卷版)

班级：姓名：日期：2.4.2圆的一般方程导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章直线和圆的方程2.4圆的方程学习目标：1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.学习重难点：重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题自主预习：本节所处教材的第页.复习——圆的定义：②圆的标准方程：3.预习——圆的一般方程：轨迹方程的求法：新课导学学习探究（一）新知导入《古朗月行》唐·李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的一般方程【思考1】圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展开可得到一个什么式子？【思考2】把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？◆圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).【做一做1】(教材P88练习2改编)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k>1 B．k<1C．k≥1 D．k≤1【做一做2】(教材P88练习1改编)已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是()A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9（三）典型例题1.圆的一般方程的识别例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋xy＋1＝0；(3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；(4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.【类题通法】二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D2【巩固练习1】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径的取值范围．2.圆的方程的求法例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．【变式探究】若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．【类题通法】用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为eq\r(2)，求圆的一般方程．3.求轨迹方程例3.已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．（四）操作演练素养提升1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m<eq\f(1,2) B．m<0C．m>eq\f(1,2) D．m≤eq\f(1,2)2.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1 B．1C．3 D．－33.当点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4πC．8π D．9π课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差【建议】你对本节导学案的建议：