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线性变换的对角化线性变换的对角化对应矩阵的可对角化，线性变换也存在可对角化的概念.定义6-6设V是数域F上的一个线性空间，σ是V上的一个线性变换.如果σ在V的一组基下的矩阵表示是可对角化的，则称σ是可对角化的.根据矩阵可对角化的定义，以及第五章的定理5-7，上面的定义可以表述为如下形式.定义6-6′设V是数域F上的一个线性空间，σ是V上的一个线性变换.如果σ在V的某组基下的矩阵表示为一个对角矩阵，则称σ是可对角化的.设线性变换σ是可对角化的，由定义6-6′，存在V的一组基α1,α2,…,αn，使得σ在这组基下的矩阵表示为根据矩阵表示的定义，得到于是，σ可对角化时，σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示的主对角线上的元素δ1,δ2,…,δn，即为σ的全部特征值，αi为σ属于特征值δi的特征向量.也就是说，V存在一个由σ的特征向量组成的基.反之，如果V存在一个由σ的特征向量组成的基，那么σ在这组基下的矩阵表示为对角矩阵，从而σ是可对角化的.于是，对应于矩阵可对角化的定理，有下面的定理.定理6-18设V是数域F上的一个线性空间，σ是V上的一个线性变换.那么σ是可对角化的充分必要条件是σ存在n个线性无关的特征向量.同样，根据定理6-9，得到下面的推论.设V是数域F上的一个n维线性空间，σ是V上的一个线性变换.如果σ存在n个互不相同的特征值，那么σ是可对角化的.推论6-2

定理6-19设λ1,λ2,…,λs是线性变换σ的s个互不相同的特征值，βi1,βi2,…,βiri是σ属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1,2,…,s.那么向量组β11,β12,…,β1r1;β21,β22,…,β2r2;…;βs1,βs2,…,βsrs

是线性无关的.事实上，上面的结论与矩阵中的结论对应，就是在给定的一组基下，n维线性空间上的线性变换和n阶方阵之间一一对应的体现.设V是数域F上的一个3维线性空间，α1,α2,α3是V的一组基，σ是V上一个线性变换，满足【例6-15】判断σ是否为可对角化的；如果是可对角化的，求相应的基及在此基下的矩阵表示.解σ在基α1,α2,α3的矩阵表示为方阵A的特征多项式为因此，σ的特征值为λ1=－1（二重），λ2=3.对于特征值λ1=－1，求解线性方程组(-E-A)X=0，可以得到A属于λ1=－1的两个特征向量从而得到σ属于λ1=－1的两个特征向量根据定理6-19，这三个向量ξ1,ξ2,ξ3线性

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