微分中值定理

微分中值定理一、罗尔中值定理

如图3-1所示，函数y=f（x）（x∈［a，b］）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线．如果用数学语言把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔中值定理(简称罗尔定理)．

罗尔定理如果函数f（x）满足下面三个条件：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在闭区间［a，b］端点的函数值相等，即f（a）=f（b）.那么在（a，b）内至少有一点ξ（ξ∈（a，b）），使得函数f（x）在该点的导数等于零，即f′（ξ）=0.一、罗尔中值定理值得注意的是，罗尔定理要求f（x）应同时满足三个条件，若函数f（x）满足定理的三个条件，则曲线y=f（x）在开区间（a，b）内，至少有一条水平切线；若函数f（x）不能同时满足定理的三个条件，则曲线y=f（x）在开区间（a，b）内，可能就没有水平切线．例如,函数f（x）=|x|，x∈［-1，1］,函数在点x=0处不可导,不满足定理中可导的条件,如图3-2所示,显然,曲线没有水平切线.一、罗尔中值定理又如函数g（x）=x，x∈［0，2］,因为g（0）=0，g（2）=2,如图3-3所示,两个端点处函数值不相等,显然,曲线也没有水平切线.由于罗尔定理的结论相当于确定方程f′（x）=0在（a，b）内有根，故常常利用罗尔定理来证明方程的根的存在性．一、罗尔中值定理

设f（x）在［1，e］上连续，在（1，e）上可导，且f（1）=0，f（e）=1．证明方程f′（x）=1/x在（1，e）上至少有一个实根．

证

因为（lnx）′=1x,不妨构造函数F（x）=f（x）-lnx，显然F（x）在［1，e］上也连续，在（1，e）上可导，且F（1）=f（1）-ln1=0，F（e）=f（e）-lne=0.即F（1）=F（e）.由罗尔定理得，存在一点ξ∈（1，e），使得F′（ξ）=0，而F′（ξ）=f′（ξ）-1/ξ=0.即存在一点ξ∈（1，e），使得f′（x）=1/x成立．【例1】一、罗尔中值定理罗尔定理表明，若连结曲线两端的弦是水平的，则曲线上必有一点，该点的切线也是水平的．如果将曲线转一个角度，这时弦与切线的水平性虽被破坏了，但它们相互平行的性质仍保持，进而得到下面的定理．一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足下面两个条件：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）内可导.那么在（a，b）内至少有一点ξ（ξ∈（a，b）），使得或f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立.拉格朗日中值定理的几何意义是:如果在连续曲线y=f（x）的图形上，除端点外具有不垂直于x轴的切线，那么在曲线上至少有一点，使得曲线在这一点处的切线平行于两个端点连结起来的直线，如图3-4所示．二、拉格朗日中值定理

容易看出，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特殊情况，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广．由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论：推论设函数f（x）在区间I内恒有f′（x）=0，那么在区间I内函数f（x）=C，其中C为常数．二、拉格朗日中值定理

事实上，在区间I内任意取两个点x1，x2，不妨设x1<x2，应用拉格朗日中值定理，有f（x2）-f（x1）=f′（ξ）（x2-x1），ξ∈（x1，x2），由于函数f（x）在区间I内恒有f′（x）=0，则f′（ξ）=0，故等式右端为零，即f（x1）=f（x2），这表明在区间I内任意两点处的函数值都相等，也就是说，函数f（x）在区间I内是一个常数．二、拉格朗日中值定理

证明恒等式arcsinx＋arccosx=π/2，|x|≤1．证设函数f（x）=arcsinx＋arccosx，|x|≤1，则函数f（x）在［-1，1］上连续，在（-1，1）内可导，且【例2】二、拉格朗日中值定理由推论知，当|x|<1时，f（x）=arcsinx＋arccosx=C，其中C为常数．令x=0，则C=f（0）=arcsin0＋arccos0=π/2，从而arcsinx＋arccosx=π/2，x∈（-1，1）.当x=±1时，上式仍然成立.故当|x|≤1时，arcsinx＋arccosx=π/2.二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理

下面考虑由参数方程x=g（t），给出的曲线，两个端点为A（g（a），f（a）），B（g（b），f（b））．连结端点的弦AB（见图3-5）。其斜率为f（b）-f（a）g（b）-g（a）．又曲线的切线斜率为f′（t）g′（t），根据曲线上总存在一点ξ∈（a，b），该点的切线与弦平行，可得把上面的结论写成定理即柯西中值定理．

柯西中值定理如果函数f（x）及g（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且g′（x）≠0，则存在一点ξ∈（a，b），使得很明显,如果g（x）=x,那么g′（x）=1,g（b）-g（a）=b-a,上式就可以写成这就是拉格朗日中值定理,这说明,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.三、柯西中值定理

设