量子力学基础

量子力学基础1905年，爱因斯坦发表了著名论文《论运动物体的电动力学》，他在狭义相对性原理和光速不变原理的基础上建立了狭义相对论.狭义相对论适用于惯性参考系，它从时间和空间等基本概念出发，利用洛伦兹变换将力学和电磁学统一起来，建立了崭新的狭义相对论时空观，预言了时间延缓、长度收缩效应，并在此基础上修正和发展了牛顿力学，得出了质量-速度关系和质量-能量关系.狭义相对论在涉及高速运动情况时，与经典理论显示出明显的区别，但在低速情况下，该理论自然还原为经典理论，显示出它的兼容性和普遍性.狭义相对论是20世纪物理学最重要的发现之一，它对整个物理学都带来了极其深远的影响，从而成为近代物理学的主要理论基础之一.光是波还是粒子？牛顿把光看作一束粒子流，成功地解释了光沿直线传播和光的反射现象，却不能解释光的折射现象.之后，托马斯·杨的双缝干涉实验说明光具有波的特征，惠更斯-菲涅尔原理则完全用波动的观点解释了光的反射、折射、干涉和衍射现象.19世纪60年代的麦克斯韦电磁理论预言光是一种电磁波并在后来的实验中得到证实.至此，光是一种电磁波的概念就根深蒂固了.随着电磁理论的日臻完善，19世纪末的经典物理学大厦（包括牛顿力学、热力学与统计物理和电磁理论）已经非常宏伟，以至于当时的许多物理学家都认为物理学理论本身已经十分完美，剩余的工作就是如何应用它来解决具体的问题.黑体辐射一、19世纪末，由于冶金技术和天文学观测的需要，人们开始深入研究热辐射现象.所谓热辐射现象，就是指任何物体在任何温度下都不断地向外界发射电磁波的现象.物体在发射电磁波的同时，也在不断吸收周围其他物体发射出来的电磁波，这种现象称为热吸收.为了定量描述热辐射现象，需要引入以下几个物理量：（1）单色辐出度e(λ,T)：物体单位表面积上发射波长为λ的电磁波的功率.（2）辐出度E(T)：物体单位表面积上的辐射总功率.显然有吸收率A：物体吸收的热辐射能量和入射的热辐射总能量的比值.它用来描述物体对热辐射的吸收能力.其中，波长区间(λ,λ+dλ)的吸收率dA与区间宽度dλ的比值称为单色吸收率a(λ,T).（15-1）如果一个物体能够吸收投射到其表面的所有辐射，那么该物体就称为黑体.黑体的吸收率为1.黑体是一种理想模型，自然界中不存在绝对的黑体，但有许多近似的黑体.例如，楼房上的窗户，可以想象从窗户照射进去的光线再从窗户里发射出来的概率是很小的，因此，它就是一个很好的近似黑体.受此启发，物理学家就在空心容器上开一个小孔来近似地研究黑体的辐射行为，这就是黑体模型，如图15-1所示.图15-1黑体模型1859年，基尔霍夫首先发现，对于形状不同或者材料不同的两个物体，它们的单色辐出度和单色吸收率均不相同.但单色辐出度和单色吸收率的比值却与物体的材料和形状无关，它只是物体所处温度和所辐射电磁波波长的函数.这便是著名的基尔霍夫定律，其数学表达式为式中，e(λ,T)和a(λ,T)为任一物体的单色辐出度和单色吸收率，e

0(λ,T)为黑体的单色辐出度，注意黑体能够吸收所有辐射，即黑体的吸收率和单色吸收率都等于1.该定律说明对于热辐射而言，一个好的发射体也必定是一个好的吸收体.（15-2）1879年，斯特潘从实验数据总结得出，物体的辐出度和温度的四次方成正比，对于黑体为式中，σ0=5.67×10-8W·m-2·K-4，称为斯特潘常数.1884年，玻尔兹曼从理论上推得该式，因此，式（15-3）称为斯特潘-玻尔兹曼定律.（15-3）1894年，维恩从实验中发现黑体热辐射能谱分布曲线，如图15-2所示.峰值所对应的波长与物体所处温度的乘积是一个常数，这就是维恩位移定律，其数学表达式为λmT=b（15-4）式中，b=2.898×10-3m·K，称为维恩常量.图15-2黑体热辐射能谱分布规律若把太阳表面看成黑体，测得太阳辐射的λm约为500nm，试估算它的表面温度和辐射的辐出度.解：根据维恩位移定律λmT=b,可求出太阳表面的温度为【例15-1】另由斯特潘-玻尔兹曼定律，可计算出太阳表面辐射的辐出度为M(T)=σT4=5.67×10-8×57964≈6.4×107W/m2普朗克的能量量子化二、对于以上实验结果，人们希望能用当时的物理理论予以解释，这就需要从理论上计算黑体辐射的能谱公式.一旦知道了能谱公式，其他辐射规律就都可以推导得到.1896年，维恩假设黑体辐射能谱的分布规律与麦克斯韦分子速率分布相似，并结合实验数据得到一个经验能谱公式为（15-5）式中，c1、c2为两个经验参数，可由实验数据拟合得到.1900—1905年，瑞利和金斯将热辐射和物体中带电粒子的振动相联系，利用经典电磁理论，并结合统计物理中的能量按自由度均分定理，推导得到瑞利-金斯公式，即e0(λ,T)=2πcλ-4kT（15-6）式中，c为真空中的光速，k为玻尔兹曼常数.如图15-3所示，与实验数据比较可以发现，维恩公式在短波方向与实验结果符合得很好，在长波方向则差别较大.瑞利-金斯公式恰恰相反，在长波方向符合得很好，而在短波方向竟然得出无穷大的荒谬结果，这被形象地称为“紫外灾难”.图15-3维恩公式、瑞利-金斯公式、普朗克公式与实验结果的比较1900年，普朗克经过两个多月的探索，最后发现，如果假设频率为ν的振子所携带的能量是不连续的，即分立的，其取值只能是一个最小能量单元hν的整数倍，即假定频率为ν的振子的能量为ε=hν,2hν,3hν，…

（15-7）这一理论称为普朗克的能量量子化.在这个理论的基础上，就可以按照经典物理中的麦克斯韦-玻尔兹曼分布律和能量自由度均分定理推得（15-8）式（15-8）就是著名的普朗克公式，其中h=6.626×10-34J·s，称为普朗克常数.在长波方向，λ很大

，则

将其带入式（15-8）即可得到瑞利-金斯公式.在短波方向，λ很小，则ehc/λkT很大，此时略去分母中的1，则式（15-8）就回到了维恩公式.从图15-3中可以发现，普朗克公式在全波段都与实验结果相吻合.尽管普朗克的能谱公式在全波段都与实验结果十分一致，但是普朗克假定了振子的能量是一份一份的，是不连续的，即能量是量子化的，这与经典电磁理论对光波的描述相矛盾.经典电磁理论认为光是电磁波，起源于带电粒子的振动，其能量取决于振子的振幅，而振幅是可以连续变化的，因