2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解：专题14 统计 含解析

一.知识列表

高考要求

本讲模块高考考点

了解理解掌握

频率估计概率A

古典概型互斥事件与对立事件C

古典概型C

长度型几何概型B

几何概型面积型几何概型C

体积型几何概型B

回归宜线B

独立性检验C

统计

离散型随机变量的分布列及期望

C

方差

二.基础知识：

古典概型

1.频率和概率

(1)在相同条件S下重复〃次试验，观察某一事件4是否出现，则〃次试验中事件A出现的

次数根为事件4出现的频数，称事件A出现的比例力(A)=-为事件A出现的频率；

n

(2)如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率0(4)稳定在某个营数上，把这个常数记

为P(A),称为事件A的概率.简称为A的概率；

(3)频率和概率有本质区别，频率随试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；对于给定

的事件4,由于事件A发生的频率力(A)随着试验次数的增加稳定于概率尸(A),因此可以

用频率£(A)来估计概率P(A).概率的取值范围：0<P(A)<1

2.互斥事件：如果ACI8为不可能事件408=。，则称事件A与事件8互斥，即事件A与

事件B在任何一次试验中不会同时发生.互斥事件的概率加法公式：

尸(AUB)=P(A+B)=尸(A)+P(B)

P（AU&U…U4）=P（A）+尸（&）+…+尸（4）

3.对立事件：若Ap|B为不可能事件，而AUB为必然事件，那么事件A与事件3互为对

立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.

对立事件的概率：P（A）=1-P（A）

4.古典概型

（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.

基本事件的特点：

①任何两个基本事件是互斥.

②任何事件都可以表示成基本事件的和.

（2）古典概型的两大特点：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等.

5.古典概型的概率计算公式：

P（A）=，党磐言氏数二竺（〃为总的基本事件个数，》为事件A的结果数）.

,7总的基本事件个数〃

6.几何概型

（1）几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率

模型为几何概率模型，简称几何概型.

（2）几何概型的概率公式

zX构成事件A的区域长度（面枳或体积）

［厂试验的全部结果所构成的的区域的长度（面积或体积）

7.统计

1.抽样方法

（D抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的

情况，常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.

（2）简单随机抽样是指一个总体的个数为四（较小的有限数），通过逐个抽取一个样本，且每

次抽取时每个个体被抽取的概率相等.简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表

法.

（3）分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部

分所占比例抽样，其中所分成的各部分叫做层.

(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽

取.

2.总体分布的估计

(1)作频率分布直方图的步骤：

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)

②决定组距与组数

③将数据分组

④列频率分布表(下图)

分组频数频率累计频率

［仙八)弓/1

楂，G)r2f^fi

…•••••••••

4A£+&+…+£=1

⑤画频率分布直方图，将区间［〃，份标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组

距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得A个矩形，这样得到的图形叫频率

分布直方图.

频率分布直方图的性质：①第i个矩形的面积等于样本值落入区间4)的频率；②由于

工+人+…+£=1,所以所有小矩形的面积的和为1.

(2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量

的增加，折线图会越来越近似于一条光滑曲线，称之为总体密度曲线.

(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是中格中间的一列数，叶是从茎旁边

长出来的一列数.

用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信

息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示.

3.平均数和方差的计算

-1

(1)如果有〃个数据X],Xn,则1二—(3+/+…+工”)

n

2

叫做这组数据的平均数，/=A[(X1-X)2+(X2-X)2+...+(Xn-X)]

n

叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.

1—2

⑵公式/=—©J+1,2+-/?)-nx]

n

(3)当一组数据%,电，…，豆中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数〃，得到

112

x^=x-a,x2—x2—a,­,x^=x~a,则=_[(芭'2+12'2+...+工“2)一〃X]

n

4.利用频率分布直方图估计样本的数字特征

(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以

估计中位数值.

(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和.

(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标.

(4)极差=最大数一最小的数.

5.两个变量的相关关系

(1)如果两个变量之间没有函数关系所具有的确定性，它们的关系带有随机性，则称这两个

变量具有相关关系.

(2)有相关关系的两个变量，若一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也是由小到大，

这种相关称为正相关；反之，一个变量的值由小到大，另一个变量的值由大到小，这种相关

称为负相关.

(3)如果散点图中，具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，

则称这两个变量具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，方程为

人ZRM一欣A

其中石=々-----------a=y-bx

f七2一〃⑸2

(4)样本的相关系数

Z%y一欣.其

r=./=1------------

岳…)2$。「剪2

V/=1i=i

当，＞0时，表示两个变量正相关，当rvO时，表示两个变量负相关，|川越接近于1,

表明两个变量的线性相关性越强：|一|越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关

关系.通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.

6.独立性检验

(1)分类变量

用变量的不同“值”，表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：是否

吸烟，宗教信仰，国籍等.

(2)列联表：即列出两个分类变量的频数表：一般地，假设有两个分类变量［和亍，它们的

值域分别为｛石,4｝和｛%，％｝，其样本频数列联表(称为2X2列联表)为：

%合计

y2

*aba+b

X2Cdc+d

合计a+cb+dn

其中〃=a+Z?+c+d为样本容量.

(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种

判断的可靠程度，具体做法是：根据观测数据计算由公式犬2=^―__

(a+b\(a+c)(c+d)(b+d)

所给出的检验随机变量的观测值上并且女的值越大，说明“x与y有关系”成立的可能

性越大，同时可以利用以下数据来确定“x与丫有关系”的可信程度.

这种利用随机变量K?来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法

称为两个分类变量的独立性检验.

3.典例分析

例1.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排队等候的概率是多少;

(2)至少3人排队等候的概率是多少.

【答案】C

记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件“2人排队等候”为事件C,“3

人排队等候”为事件“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上徘队等候”为事件产，

则事件比F互斥.

(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则6=4+8+。，所以

尸(G)=P(4)+P(5)+P(Q=0.1+0.16+03=0.56.

(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件”，则〃=。+七+/，所以

P(H)=尸(。)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：记“至少3人排队等候”为事件〃，则其对立事件为事件G,所以

P(//)=1-P(G)=1-0.56=0.44.

练习1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.

(1)”3件都是二级品”是什么事件？

(2)“3件都是一级品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？

【答案】(1)不可能事件(2)随机事件(3)必然事件

(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不

可能事件.

(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.

(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有

一级品.

练习2.盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球.

(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

4

【答案】(1)0,(2)-(3)1

9

【解析】(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.

(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是：4.

9

(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2.已知〃力,c为集合4={1,2.3,4,5,6}中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算法

输出一个整数〃，则输出的数〃=5的概率是()

£

D.

5

【答案】A

根据框图判断，本框图输出的。为输入的一:个数。g,c•中的最大值

最大值是3的情况，输入的三个数为1,2,3,1种情况

最大值是4的情况，输入的三个数为1,2,3里两个以及4,3种情况

最大值是5的情况，输入的三个数为1,2,3,4里两个数以及5,6种情况

最大值是6的情况，输入的三个数为1,2,3,4,5里两个数及6,10种情况

〃二5的概率:

2

故答案为

练习1.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己

的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么,

没有相邻的两个人站起来的概率为

【答案】C

【解析】五个人的编号为12345

由题意，所有事件共有2,=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有

(1),(2),(3),(4),(5),(13),(1,4),(2,4),再力吐(25),(3,5)

没有人站起来的可能有1种，共11种情况,

所以没有相邻的两个人站起来的概率为二

32

故答案选。

练习2.一鲜花店一个月（30天）某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下:

日销售量

0〜4950〜99100〜149150〜199200〜250

（枝）

销售天数

3天3天15天6天3天

（天）

将日销售量落入各组区间的频率视为概率.

（1）试求这30天中日销售量低于100枝的概率；

（2）若此花店在日销售量低于1Q0枝的6天中选择2天作促销活动，求这2天的日销售量

都低于50枝的概率（不需要枚举基本事件）.

【答案】（1）（2）-

55

3|3I

(1)设日销售量为工，则尸(O«x<49)=3=一,P(50<x<100)=—=—

'73010'73010

由互斥事件的概率加法公式,

P（0<x<100）=P（0<x<49）+P（50<x<100）=y-+-p=1.

注：直接按照古典概型的计算公式，得尸（0<x<10（））=噤=（.同样给分.

（2）日销售量低于100枝共有6天，从中任选两天促销共有〃=15种情况；日销售量低于

50枝共有3天，从中任选两天促销共有6=3种情况.

由古典概型的概率计算公式，所求概率尸=±3=上1.

155

【防陷阱措施】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事

件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,

具体应用时可根据需要灵活选择.

例3.在区间[0,4]上随机地选择一个数p,则方程/一座+3P-8=0有两个正根的概率

为（）

A.-B.-C.-D.-

3324

【答案】因

A>0

Q

方程炉-px+3〃一8=0有两个正根，则有<西+/>0，即解得或5cpM4,

（中2>0

又p£[0,4],由几何概型概率公式可得方程Y―*+3〃-8=0有两个正根的概率为

)8

4—]

p=--------=—,故选0.

4-03

练习1.在棱长为〃的正方体中随机地取一点P,则点P与正方体各表面的距离都大于色的

3

概率为（）

A.—B.—C.-I）.一

271693

【答案】A

符合条件的点2落在棱长为-的正方体内，

3

葭

根据几何概型的概率计算公式得P---

a327

练习2.正方体43CO—AgGA中，点P在AC上运动（包括端点），则研与AR所成

角的取值范围是（）

717171717171471

A.B.C.D.

7,742『563

【答案】1）

【解析】以点。为原点，D4、DC、DD］分别为*y.z建立空间直角坐标系，设正方体棱长为b设点

P坐标为（％』一毛%）,则於=（x—L—%x）,属=（-LOJ）设丽函的夹角为a,所以

肉商二麻一423虚二瓦」三项＞所以当时，cosa取最大值

3)3

当x=l时，cosa取最小值」,a=工.

23

因为3CJ/AQ.

故选D.

例4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成

是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图

方法，在平面直角坐标系中，圆。被y=3sin^x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中

6

小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

【答案】B

设大圆的半径为R,则：/?=-=-x—=6,

22£

6

则大圆面积为：y=4氏2=36笈，小圆面积为：§2=4x/x2=2/r,

2乃1

则满足题意的概率值为：p=—=—.本题选择B选项.

36418

练习1.北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓

酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：“我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦

练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.2。〃的圆，中间有边长为0.4c机的正方形孔，

你随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(油滴的大小忽略不计•)正好落入孔中的概率为()

4151

A.—B.—C.—D.—

9兀9冗6乃67r

【答案】B

0421

概率为几何概型，测度为面积，概率=-^=——，选B.

1.2~49兀

练习2.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地

到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是()

(91八7

A.—Bn.-C.—D

16216-I

【答案】@

【解析】设甲到达的时刻为x,乙到达的时刻为则所有基本事件构成的平面区域为

Q={(x,y)|0<x<24,0<j<24},设“这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”为事件4则

事件X包含的基本事件构成的平面区域为A={{xty)|0<x<24,0<j<24;|x-y|<6},如图中阴影部分

所

乙

船

到

达

时

间

t

18x187

由几何概型概率公式得P(A)=—,即这两艘船中至少有一艘在停靠

24x2416

泊位时必须等待的概率为工，选口.

16

【防陷阱措施】求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从

而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解.

几何概型应注意：

(1)求与长度有关的儿何概型的方法，是把题中所表示的儿何模型转亿为线段的长度，然后

求解；

(2)依据几何概型的特点判断基本密件应从“等可能”的角度入手，选择恰当合理的观察角

度；

（3）求与角度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转亿成角度，然后求解.

例5.双十一网购狂欢，快递业务量猛增.甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数

量的茎叶图如图所示.

（I）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）；

（II）求甲送件数量的平均数；

（III）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率.

甲乙

64245

43I2526

8226359

277

【答案】（I）乙快递员的平均送件数量较多（II）工=254（III）—

（I）由茎叶图知甲快递员11月12日到18FI每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左.上方

偏多,

,乙快递员的平均送件数量较多.

（II）甲送件数量的平均数：

x=1（244+246+251+253+254+262+268）=254

（III）从乙送件数量中随机抽取2个，基本事件总数九=21，

至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的2个送件量都不大于254,

・•・至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率：

,120

p=1——=——,

2121

练习1.在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元

1个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往

统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示.食堂某天购进了90个面

包，以x（个）（其中60VXW110）表示面包的需求量，T（元）表示利润.

0.02S

0.020

0.015

(1)根据直方图计算需求量的中位数；

(2)估计利润了不少于100元的概率；

【答案】⑴85个;(2)0.75;(3)142.

【解析】(1)需求量的中位数三3=85(个)(其它解法也给分)

2

(2)由题意，当60WXW90时，利润丁=5X+L(9O—X)-3x90=4X-180,

当90<XW110时,利润丁=5x90—3x90=180,

4X-180(60<X<90)

即T={

180(90<T<110)

设利润7不少于100元为事件A,利润T不少于100元时，即4X-180N100,

AX>70,即70<X<110,由直方图可知，当70Kx<110时，

所求概率：P(A)=1-P(A)=1-0.025x(70-60)=0.75

练习2.2017年“十一”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型

汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调

查，将他们在某段高速公路的车速(bn/t)分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),

[75,80),[80,85),[85,90),后得到如图的频率分布直方图.

0.010

(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；

(2)若从车速在［60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在［65,70)的车辆恰有辆的概率.

Q

【答案】(1)77.5,77.5.(2)P=—.

15

【解析】(D众数的估计值为最高的矩形的中点'艮除数的估计值等于77.5,

设图中虚线所对应的车速为X,则中位数的估计值为：

0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06x(x-75)=0.5,解得x=77.5.

即中位数的估计值为77.5.

(2)从图中可知，车速在［60,65)的车辆数为：g=0.01x5x40=2(辆)，

车速在［65,70)的车辆数为：色=0.02x5x40=4(辆)，

设车速在［60,65)的车辆设为。，b,车速在［65,70)的车辆设为c,d,ef，，则

所有基本事件有：(。,8)，(a,c),(〃J)，("c)，(b,d),(0,c),

(bj)，(c,d)(c,e),(cj)(d,e)，(dJ),(ej)共15种,

其中车速在［65,70)的车辆恰有一辆的事件有：(a,c),(a,d),(a,/),

Q

伍,d),(b,e),(力J)共8种.所以，车速在［65,70)的车辆恰有一辆的概率为尸=宜.

例6.某媒体为调查喜爱娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女

性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：

o

•gII育欢节目X

o•s

or•

o•6II不喜欢节目X

o•5

o•二

o■

，

o•・

•2

O1

O

(1)根据该等高条形图，完成下列2x2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错

误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关。

喜欢节目A不喜欢节目A总计

男性观众

女性观众

总计60

(2)从性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查.从这5名

中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目4的概率.

附：

P[K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

产二〃(皿"J

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)列联表见解+析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A

2

与观众性别有关；(2)y.

(1)由题意得2x2列联表如表：

喜欢节目A不喜欢节目4总计

男性观众24630

女性观众151530

总计392160

假设“。：喜欢娱乐节目A与观众性别无关,

60(24x15—15x6)2540

则A：z的观测值女=二---------L=—«5.934>3.841

39x21x30x3091

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关.

(2)利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目4的人数为

24乂9=4,不喜欢节目A的人数为6x』=l.

3030

被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为a,b,c,d；不喜欢节目A的1名记为B.

则从5名中任选2人的所有可能的结果为：{a,。},{a,c},{a,d},{5耳，{九c},

他力，他周,{c,d[{b.c},{d,3}共有10种,其中恰有1名喜欢节目A和1

名不喜欢节目A的有{a,8},他8},{b,c},材,研共4种，

42

所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是一=一.

105

练习1.假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有以下统计资料:

使用年限了23456

维修费用y24567

若由资料知y对x呈线性相关关系.试求：

（1）求茏9；（2）线性回归方程y=H+〃；（3）估计使用10年时，维修费用是多少？

附：利用“最小二乘法”计算〃力的值时，可根据以下公式：

人工王切_就;人

b=^----------a=y-hx

基：一〃（无产

i=l

【答案】（1）x=4,y=4.8（2）y=1.2x（3）维修费用为12万元

AA

试题分析：（1）利用焉》的计算公式即可得出；（2）利用力的计算公式得出结果，再求°；

（3）利用第（2）问得出的同归方程，计算x=10时的结果.

试题解析：

,、_2+34-4+5+6_2+4+5+64-7.

（1）x=----------------=44,y=-----------------=4.8o

55

（2）

2Xy1=2x2+3x44-4x5+5x64-6x7=108,呻=5x4x4.8=96>

i-l

届、…/=繇

2>/=22+32+42+52+62=90542

i-l

之=》一短=4.8-12x4=0,所以，线性回归方程为y=1.2%.

（3）当x=10时，y-12,所以该设备使用10年，维修费用为12万元.

练习2..在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁、为了

考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下联表：

感染未感染总计

服用104050

未服用203050

总计3070100

参考一公式：/、=（.+以n二（ad州-bc/\0）仅+〃）

P[K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫

苗由预防埃博拉病毒感染的效果”.

【答案】5%

、100x（10x30-20x40）

由题意可得，k2=------------------4.762>3,841,参照附表，可得：在犯错

50x50x30x70

误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答

案为5%.

【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）

n^ad-bcy

根据样本数据制成2x2列联表；（2）根据公式K?计算K?

(a+b)(a+d)(〃+c)(b+d)

的值；（3）查表比较K?与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立

性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

【防陷阱措施】1.频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中

位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值;平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩

形的底边中点的和等知识.把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起

重视.

2.求解回归方程问题的三个易误点：

①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是

一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴

随关系.

②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过GJ）点，可能所

有的样本数据点都不在直线上.

③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值（期望值）.

类型7.两点分布

1,正面向上/、

例7.抛掷一枚硬币，记X={心।，则七（戈）=（）

-L反面向上、）

瓯回［包

2

【答案】因

E（X）=lxl+（-l）x-=O,a@

练习1.设某项试验的成功率是失败率的0倍，用随机变量因描述1次试验的成功次数，则因的

值可以是_______.

【答案】篁

这里“成功率是失败率的0倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故因可能

取值有两种，即位1

练习2.篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中的。分.已知某运动员罚球命中率为0.7,求

他一次罚球得分的分布列及均值.

【答案】

001

0.30.7

E（X）=0x0.3+lx0.7=0.7

类型8超几何分布

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X1•••Xj…

Xx2

pPlP2•••Pi・・・Pn

则称

E(X)"P[+X2p2+…+%化+…+M

为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

若y=〃x+〃，其中。力为常数，则y也是随机变量，因为

尸(y=%+b)=P(X=%),i=L2「.,〃

所以，y的分布列为

……

Yaxx+bax2+baxi+b"“+b

……

PPiPiPiPn

于是

E(Y)=(叫+加巧+(ax2+力科+…+a5+b)p：+…+a(x“+b)pa

=。(玉Pl++•••+XiPi+…+ZP〃)+b(P[+必+…+Pi+…+%)

=aE(X)+h

方差DX=£a_Exyp「

i=l

方差刻画了离散型随机变量与均值的平均偏离程度.

离散型随机变量分布列的性质：(1)>0(/=1,2,3,......〃)；(2)£々=1.

i=l

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则

P(X=k)=M?*#=0」,2,…八

CN

其中相=min{M,〃},且"N,M£N、N,M,nwN”,如果随机变量具有:

X01…m

厂1厂〃一1

^的・"w・

P•••

则称随机变量X服从超几何分布.

例8.一个摊主在一旅游景点设摊，在不透明n袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个

红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸

出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获

得的利润（单位：元）的期望值是（）

【答案

C；+C；「2

游客摸出的2个小球同色的概率为,所以摊主从每次游戏中获得的利润分布

Cl5

列为,

X-11

23

p

55

23

因此EX=—lxW+lx'=0.2

55

所以选回

练习1.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，

这三个关卡他能够通关的概率分别为2（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过

234

上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个

这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为_________,设X表示他能够通过此游戏

的关卡的个数，则随机变量X的数学期望为_________.

113

【答案】--.

412

随机变量X的所有可能取值为I速1

又P（X=2）=（l—g11If11I

X—X—+—X——I——x—x

342134234

\_

P（X=O）=II-1x

344

P（X=1）=

1111

P（X=3）=—x—x—=——

23424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

1111

P

424424

随机变量X的数学期望仪X）=Ox%x导2亭3$*

练习2.一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品.月户先对产品进行随机

抽检以决定是否接受.抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检•件产品（抽检后不放回）,

只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱

产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是一

【答案】—

10

根据题意用户抽检次数的可能取值为|1,2,太那么可知

Q

尸(>1)磊尸(3)=4['「（『）=篇=2,故根据期望公式可知

10

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