2021中考数学冲刺专题训练 12个专题训练【附答案】

2021中考数学冲刺专题训练12个专题训练

目录

2021中考数学冲剌专题训练：掾作型问我（附答案）

2021中考数学冲刺专题训练：方程与不等式（附答案）

2021中考数学冲刺专置训练：规律探索型问独（附答案）

2021中考数学冲剌专题训练：函数（附答案）

2021中考数学冲剌专题训练：三角形与四边形（附答案）

2021中考数学冲剌专题训练：数与式（附答案）

2021中考数学冲刺专期训练：统计与1赃（附答案）

2021中考数学冲剌专及训练：图形与辘（附笞案）

2021中考数学冲剌专题训练：压轴氨（附答案）

2021中考数学冲剌专题训练：应用题（附答案）

2021中考数学冲剌专题训练：圆（附答案）

2021中考数学冲剌专题训练：阅读理解问围（附答案）

操作型问题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

I.如图，直线〃?，〃相交于。，所夹的锐角是53。，点P,。分别是直线〃?，〃上的点，将直线〃按照

下面的程序操作，能使两直线平行的是

A.将直线用以点O为中心，顺时针旋转53°

B.将直线〃以点Q为中心，顺时针旋转53°

C.将直线机以点P为中心，顺时针旋转53。

D.将直线m以点P为中心，顺时针旋转127。

【答案】C

【解析】将直线机以点。为中心，顺时针旋转53。，有交点不平行，故错误;

将直线〃以点。为中心，顺时针旋转53。，有交点不平行，故错误；

将直线机以点P为中心，顺时针旋转53。，平行，正确；

将直线加以点尸为中心，顺时针旋转127。，同位角不相等不平行，故错误，故选C.

2.在6x6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的立移方法中，正确的是

图①图②

A.向下移动1格B.向上移动1格C.向上移动2格D.向下移动2格

【答案】D

【解析】

由图可知，图①中的图形N向下移动2格后得到图②。故选D。

3.把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图

所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）

■

j卜LLjfni

d）②③

A.⑷了之；0|B.旧[>C.|<1：>;<]；>|D.]»；<1；0W

・■•・■・•••

【答案】C

【解析】

重新展开后得到的图形是C,

故选C.

4.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,。3组成，两根棒在。点相连并可绕0转动，C点固定，

OC=CD=DE,点。，E可在槽中滑动，若NBDE=75。,则NCOE的度数是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】

•••OC=CD=DEt

：.Z.0=ZODC,NDCE=/DEC,

设NO=NOOC=x,

・•・/DCE=/DEC=2x,

・•・ZCDE=180O-ZDCE-/DEC=180°-4x,

■:NBDE=W,

•••/ODC+ZCDE+/BDE=180°,

BPx+180o-4x+75o=180°,

解得：x=25°,

ZCDf：=180°-4x=80°.

故答案为：D.

5.如图，R/AOCB的斜边在y轴上，OC=5含30。角的顶点与原点重合，直角顶点c在第二象限,

将Rt\OCB绕原点顺时针旋转120。后得到AOCB',则B点的对应点B'的坐标是()

A.(73,-1)B.(1,-V3)C.(2,0)D.(73,0)

【答案】A

【解析】

如图，

在Rt\OCB中，NBOC=30°,

/.BC=—OC=—x^3=\,

33

RtbOCB绕原点顺时针旋转120。后得到M）CE,

：.OC=OC=6,BC=BC=1,ZBVO=ZBCO=90。，

•••点B'的坐标为

故选：A.

6.用一条直线机将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分.图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对

于两人的作法判断正确的是

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

【答案】C

【解析】如图2中，直线机经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长

方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确：

图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的

一半减去添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确.故

选C.

7.将一条宽度为2cvn的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为43,重叠部分为&48C（图中阴影部分），

若N4CB=45。，则重叠部分的面积为（）

【答案】A

【解析】

解：如图，过5作8Z)_L4C于O,则N8OC=90。，

ZACB=45°,

・♦・ZCBD=45°,

BD=CD=2cm»

:.RtABCD中,RC=y/F+27=2五(rw).

・•・重叠部分的面积为gx2应x2=2&(加)，

故选：A.

8.如图，一张三角形纸片ABC,其中NC=90。，AC=4,BC=3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点4

落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点8落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点4落在8处.这

三次折叠的折痕长依次记为。，b,c,则a,A,c的大小关系是

A.c>a>bB.h>a>cC.c>b>aD.h>c>a

【答案】D

【解析】第一次折叠如图1，折痕为OE,由折叠的性质得：AE=EC=；AC=2,DELAC,VZACfi=90°,/.

DE//BC,：.a=DE=-BC=-x3=-.

222

1i3

第二次折叠如图2,折痕为MN,由折叠的性质得：BN=NC=-BC=-x3=-MN±BC,VZACB=90°,A

222f

MN//AC,.\b=MN=-AC=-x4=2.

22

第三次折叠如图3,折痕为GH,由勾股定理得：AB=历不=5,由折叠的性质得：G=BG=1Afi=1x5=|,

5

AJr'c

GHJ_AB,；・NAGH=90°,VZA=ZA,ZAGH=ZACB.J.AAGH^AACB,A—=——，・O，

ACCB43

/.c=—.b>c>a,故选D.

8

二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）

9.如图，点A、B、C、。都在方格纸的格点上，若△AOB绕点。按逆时针方向旋转到△CO。的位置，则

【解析】•••△4OB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，，对应边。8、。。的夹角NBO£>即为旋转

角，，旋转的角度为90。.故答案为：90°.

10.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网

格线的交点）上.以原点O为位似中心，画△4SG，使它与ZVIBC的相似比为2,则点8的对应点&的

坐标是__________

【解析】符合题意与△A8C相似，且相似比为2的三角形有2个，如图所示，△48G和夕C均与△A8C

的相似比为2,点B的对应点8的坐标是：（4,2）,点8的对应点&的坐标是：（Y,-2）,故答案

为：：4,2）或（Y,—2）.

11.在RtZXABC中，ZC=90°,cosB=0.6,把这个直角三角形绕顶点。旋转后得到其中点8正

好落在AB上，AE与AC相交于点D,那么B'D:CD=.

【答案】0.35

Be3

【解析】作CHL4B于H,先在RtAABC中，根据余弦的定义得到COSB=F=0.6;二，

AB5

设BC=3x,则48%,再根据勾股定理计算出AC%,

9

在R3H8C中，根据余弦的定义可计算&BH=.x,

接着根据旋转的性质得CA=CA=4x,CB，=CB,NA，=N4

97

所以根据等腰三角形的性质有377=8〃=则

7

然后证明再利用相似比可计算出夕。与DC的比值==0.35,故答案为：0.35.

12.已知：RtZXABC中，ZB=90°,AB=4,BC=3,点M、N分别在边A8、4C上，将沿直线MN折

叠，点A落在点P处，且点尸在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为

‘公安】20寸20

【答案】w或7

【解析】在RtZXABC中，N4BC=90。，AB=3,BC=4,

•*,AC=V32+42=5,

设AN=PN=x,则CN=5=xt

①当NNPC=90。时，如图1,

图1

VZAPC=ZB=90°,ZC=ZC,

:•△NPCsMBC,

PNCNx5-x

：.——=——,・”=------

ABAC45

②当NPNC=90。时，如图2,

图2

•:NPNC=/ABC=90°,ZC=ZC,:,△NPCs^ABC,

PNNCx5-x20

••---=----，・•一=-----，x——，

ABAC437

2020202020

即PN=亍.综上，PN的长为《■或亍，故答案为：亍或万.

三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

13.如图，AO是△A8C的角平分线.

（1）作线段A。的垂直平分线£尸，分别交A8、AC于点£、尸；（用直尺和圆规作图，标明字母，保

留作图痕迹，不写作法.）

（2）连接。E、DF,四边形AEOb是形.（直接写出答案）

【答案】（1）见解析；（2）菱形.

【解析】

（1）如图，直线EF即为所求作的垂直平分线.

（2）根据A。是△ABC的角平分线，且Er是AO的垂直平分线，可知四边形尸的对角线互相垂直,

因此为菱形.

14.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

（1）如图1,A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线

相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）

作图：

①如图2,在口488中，E为CD的中点，作BC的中点F;

②图3,在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作aABC的高AH

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.

【解析】

（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；

②如图所示，AH即为所求.

15.如图，点E,尸分别在正方形48CD的边CO,BC上，且OE=CF,点P在射线BC上(点P不

与点尸重合).将线段石尸绕点E顺时针旋转90。得到线段EG.过点E作GQ的垂线。H,垂足为点〃，

交射线BC于点Q.

(1)如图1,若点E是CO的中点，点P在线段8尸上，线段BP,2C,EC的数量关系为.

(2)如图2,若点£不是CO的中点，点P在线段8尸上，判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立，请

写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)正方形A8CO的边长为6,AB=3DE,QC=\,请直接写出线段BP的长.

【答案】(1)BP+QC=EC；理由见解析；(2)(1)中的结论仍然成立，理由见解析；(3)线段的长

为3或5.

【解析】

(1)BP+QC=EC；理由如下：

四边形ABCQ是正方形，

:.BC=CD,/BCD=90°,

由旋转的性质得：NPEG=90。，EG=EP,

NPEQ+NGEH=90。,

QH1GD,

ZH=90°,ZG+NGEH=90°,

NPEQ=NG,

又NEPQ+NPEC=90。，NPEC+NGED=90。,

/EPQ=/GED,

NEPQ=NGED

在APEQ和AEGD中，＜EP=EG,

/PEQ=NG

・•.\PEQ=^EGD(ASA),

..PQ=ED,

:.BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC,即BP+QC=EC：

故答案为：BP+QC=EC.

(2)U)中的结论仍然成立，理由如下：

由题意得：NPEG=90。,EG=EP,

/.NPEQ+NGEH=90。,

QH±GD,

N"=90°,ZG+ZG£//=90°,

NPEQ=/G,

四边形A3co是正方形，

z.ZZ)CB=90°,BC=DC,

NEPQ+NPEC=90°,

Z.PEC+NGED=90°,

/.NGED=NEPQ,

ZEPQ=NGED

在"EQ和AEGD中，•EP=EG,

NPEQ=NG

"EQ二^EGD(ASA),

:.PQ=ED,

8P¥QC=BC-PQ=CD-ED=EC,即BP+QC=EC；

⑶分两种情况：

①当点尸在线段B尸上时，点。在线段BC上，

由⑵可知：BP=EC-QC,

AB=3DE=6,

DE=2,EC=4,

3P=4-1=3；

②当点P在射线产C上时，点。在线段BC的延长线上，如图3所示:

同(2)可得：^PEQ^^EGD(AAS),

PQ=EDt

BC=DC,DC=EC+DE,

BP=BC+PC=DC+PC=EC+DE+PC=EC+PQ+PCEC+QC,

:.BP=QC+EC=\+4=5.

综上所述，线段8尸的长为3或5.

一、选择题.

1.已知四个实数a,b,c,d,若a>b,c>d,则（）

ab

A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.—>—

cd

【答案】A

【解析】

A.1.a>b,c>d，.=a+c>b+d,正确;

B.如a=3,b=1,c=2,d=-5时，a-c=1,b-d=6,此时a-c<b-d,故不正确;

C.如a=3,b=1,c=-2,d=-5时,ac=-6,bd=-5,此时ac<bd,故不正确

D.如a=4,b=2,c=-1,d=・2时，曰=一4,§二一1,此时,故不正确

caca

故选A.

2.一元二次方程（x+D（x—l）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【解析】

原方程可化为：X2-2X-4=0,

\a=1,b=-2,c=-4,

/.A=(-2)2-4x1x(-4)=20>0,

二•方程由两个不相等的实数根.

故选：A.

x=3[ax+by=2

3.已知个是方程组人,的解，贝ijo+b的值是()

y=-2\bx+ay=-

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】A

【解析】

x=3[ax+by=2

将一代入L2

y=-2[bx+ay=-3

3a-2b=2

可得:AO，

H3b-2a=-32

两式相加：a+b=-\,

故选A.

4.不等式组］口的解集，在数轴上表示正确的是（）

I（入।，WU

【答案】A

【解圻】

2T>1①

2x+4N0②'

解不等式①，得xv1；

解不等式②，得x>-2;

二.不等式组的解集为・2«xv1,

在数轴上表示为：4,太

故选：A.

5.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足’中有题译文如下：今有人合伙买羊，每

人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为

X人,所列方程正确的是（）

..__c__.__八十45八+3—x—45x—

A.5x-45=7x-3B.5x+45=7x+3C.---------=--------D.---------=—

5757

【答案】B

【解析】

设合伙人数为工人，依题意，得：5J+45=7X+3.

故选：B.

6.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做

150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）

120150120150120150120150

A-----=--------R-------=------c-------=------D-----=--------

,xx-8.x+8x.x—8xxx+8

【答案】D

【解析】

,•甲每小时做x个零件，，乙每小时做（x+8）个零件，

•・甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，,

故选D.

x+1x

------V-----1t

7.若不等式组J32无解，则加的取值范围为（）

x<4小

A.m<2B.m<2C,m>2D.m>2

【答案】A

【解析】

Y4-IY

解不等式等,得：x>8,

•J4

•.不等式组无解，

.,.4m<8,

解得m<2,

故选A.

8.已知关于x的分式方程一\-2=f的解为正数则出的取值范围为（

x-\1-x

A.-2v&<0B.%>—2且kw—1C.k>—2D.女＜2且女w1

【答案】B

【解析】

xk、

.•号2,

x-[

x=2+k,

该分式方程有解，

2+Z/1,

x>0,

二.2+Z>0,

:.k>-2,

k>—2Zw—I,

故选：B.

二、填空题.

9.分式方程」7-2=0的解是_____.

x-1x

【答案】一二2

【解析】

X—2（x-1）八

原式通分得：FF=°

去分母得：％—2（1_1）=0

去括号解得，1二2

经检脸，X=2为原分式方程的解

故答案为工=2

10.已知关于”的方程组1x+22y=kf—\+4的解满足”5,则攵的值为

【答案】2

【解析】

x+2y=k-l®

2x+y=5攵+4②'

②x2-①，得3x=9依9,解得x=3依3,

把x=3依3代入①，得3A+3+2y=%1,解得y=-k-2,

:x+y=5,

:.3k+3-k-2=5,

解得k=2.

故答案为：2

11.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年

收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率

为.（用百分数表示）

【答案】40%

【解析】

设该地区居民年人均收入平均增长率为X,

20000（1+4=39200,

解得，％=04,w74（舍去），

.•.该地区居民年人均收入平均增长率为40%,

故答案为：40%.

x-3y=4/n+3

12.若关于X、）'的二元一次方程组/<的解满足厕机的取值范围是

x+5y=5

【答案】m<-2

【解析】

x-3y=4m+3①

[x+5），=5②’

①+②得2x+2y=4m+8,

贝iJx+〉=2m+4,

根据题意得2m+4W0,

解得出4-2.

故答案是：加4-2.

三、解答题.

x-a>0

13.已知关于x的不等式组lc।的整数解共有5个，则a的取值范围

3-2xNT

是.

【答案】-3<a<-2

【解析】

•・解不等式组得:a4xM2,

•.不等式组的整数解有5个，

.・整数解为:2,1,0,-1,-2,

..-3va<-2.

故答案为・3va$・2.

x-3(x-2)>-4

14解不等式组：।2x+l

x-\<-------

3

【答案】x<4

【解析】

解不等式X—3(X—2)NT,得：x<5,

2x+1

解不等式X-lv一t，得：x<4,

则不等式组的解集为x<4.

15.辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间.按现有定价：若全部入住,

一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元.

(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？

(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全

部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲.如果游客居住房间，

度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房

每天的利润，〃最大，最大利润是多少元？

【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；(2)每间房间定价为240元

时，乙种风格客房每天的利润加最大，最大利润是2560元.

【解析】

解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、元，

15x+20y=8500

根据题意，得：

10x+10y=5000

x=300

解得

j=200'

答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；

(2)设每天的定价增加了。个20元，则有2〃个房间空闲，

根据题意得：m=(20-2«)(200+20A-80)=-40«2+160«+2400=-40(^-2)2+2560,

-_-40<0,

.•・当〃=2时，机取得最大值，最大值为2560,此时房间的定价为200+2x20=240元.

答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润加最大，最大利润是2560元.

规律探索型问题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

1.观察下列等式：70=1,7'=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,,根据其中的规律可得

7。+71+72++7239的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【解析】

•・•7°=1,7'=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,,

・•・个位数4个数一循环，

・•.（2019+1）+4=505,

.,.1+7+9+3=20,

A7°4-7'+72++7239的结果的个位数字是：0

故选A.

2.我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正方形数”（如

1,4,9,16...）,在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为（）

■

•••

••••・•

....................................

三角形数

••••

•••••••

・••••••••

・・•••••••

A.33B.301C.386D.571

【答案】C

【解析】

由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n="（"+l），第n个正方形数为n2,

2

当n=l9时，"（"+1）=190<200,当n=20时，仆+1）=2[0>200,

22

所以最大的三角形数m=190；

当n=14时，n2=196<200,当n=15时,n2=225>200,

所以最大的正方形数n=196,

则m+n=386,

故选C.

3.已知有理数。工1,我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，=-1,-1的差倒数是

\-a1-2

—^=-.如果4=-2,a?是山的差倒数，a3是a2的差倒数,34是a3的差倒数……依此类推，那么

1一（一1）2

q+4++400的值是（）

A.-7.5B.7.5C,5.5D.-5.5

【答案】A

【解析】

=-2,

.a=1J%=1=9%=?=2

,21-（-2）3，2，1--，

32

1313I

・・・这个数列以-2,不依次循环，且一2+二十二二一二，

32326

71004-3=331,

:.a\+a2++a\00=33x^-i^-2=-y=-7.5,

故选：A.

4.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是（）

••••

•・••・•

上上

••••

•11••

【答案】C

【解析】

由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10,

符合此要求的只有：

故选C.

5.将正整数1至2018按一定规律排列如下表:

12345678

910111213141516

1718192021222324

2526272829303132

......

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是()

A.2019B.2018C.2016D.2013

【答案】D

【解析】

设中间数为X,则另外两个数分别为X-1、X+1,

，三个数之和为(x-I)+x+(x+1)=3x,

根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013,

2

解得：x=673或x=672—(舍去)或x=672或x=671,

3

7673=84x8+1,

・・・2019不合题意,舍去;

7672=84x8,

•••2016不合题意,舍去;

7671=83x7+7,

・•・三个数之和为2013,

故选D.

6.下面撰放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90。得到，第2019个图案中箭头的指

向是()

®G®©©G•…

A.上方B.右方C.下方D.左方

【答案】C

【解析】

如图所示：每旋转4次一周，2019:4=504...3,

则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方，

故选C.

7.观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2：2+2?+2?+24=2$-2…已知按一定规律排列的

一组数：25°、2》、2虫、…、2"、2Mo.若2$。=。，用含。的式子表示这组数的和是()

A.2a2-2aB.2a2-2a-2C.2a2-aD.2a2+a

【答案】C

【解析】

25O+251+252++299+2100

=a+2a+22a+...+250a

=a+[2十2?十…十2'°)a,

•••2+22=23-2,

2+2:+23=24-2，

2+22+23+24=25-2，

•••>

r.2+22+...+250=25l-2,

A250-1-251+252+...4-299+2100

=a+(2+224-...+250)a

=a+(25,-2)a

=a+(2a—2)a

=2a2—a.

故选C.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分)

9.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有

个。.

OOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1个第2个第3个第4个

【答案】6058

【解析】

由图可得，

第1个图象中。的个数为：14-3x1=4,

第2个图象中。的个数为：l+3x2=7,

第3个图象中。的个数为：1+3x3=10：

第4个图象中。的个数为：1+3x4=13：

・•・第2019个图形中共有：1+3X2019=1+6057=6058个。,

故答案为：6058.

10.将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵

1

47

101316

19222528

3134374043

LLLL

则第20行第19个数是______________________

【答案】625

【解析】

由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+...+19+20=210

个数，

・•・第20行第20个数是：1+3（210-1）=628,

工第20行第19个数是:628-3=625,

故答案为：625.

II.数轴上。,A两点的距离为4,一动点尸从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到40的中点4处,

第2次从A点跳动到4。的中点4处，第3次从4点跳动到4。的中点A处.按照这样的规律继续跳动

到点4，A，A，，4（〃23,〃是整数）处，那么线段的长度为（〃23,〃是整数）.

p

O44

【答案】4-/

【解析】

由于OA=4,

所有第一次跳动到OA的中点A］处时，OAI=?OA=!X4=2,

同理第二次从A1点跳动到A?处，离原点的（1）2x4处，

同理跳动n次后，离原点的长度为（；）84=击，

故线段AnA的长度为4.击（应3,n是整数）.

故答案为4-9.

12.如图，在AC。中，AG=AO=2,ZAOC,=30°,过点A作垂足为点。2,过点

G作G4GA交于点&，得到4GG；过点4作4G，oc,垂足为点G，过点作

G4G4交04于点43,得到A3GG：过点4作A3c4,0G，垂足为点°4,过点。4作GAGA

交于点4,得到4c4G；……按照上面的作法进行下去，则4用GmG的面积为.（用含正

整数〃的代数式表示）

【答案】B

4n

【解析】

由等腰三角形的性质得出由含。角直角三角形的性质得出

OG=GG，30A.C2

解：AG=AO=2，\Pz-LOC],

oc2=c2G»

幺OG=30。,

A]C2=goA=1,

.•.GG=>/ACI2-AC22=V22-i2=6,

G&GA,

OA2GsOAG,

A2c2_OC2

AG-OU

••%2=^AG=1.

同理，4c3=gAG=g，

・•.S%GG=；C£4G=?6十日,

同理，C2c3=he；-4c3?=『=与,

A3G=；A2c2=p

••・S4GC2=]C2G3c4=5X5X4二不，

同理，c3c4=J43G2-4。：==乎’

41c4=—。3=；,

4。5=；4。4=:,

Zo

•O”」G1_V3

-S=2CiC4,A4C5=2X~A~Xi=~^"'t

・s-正，

,,°uq一不

故答案为：

4〃

三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

13.观察以下等式：

第1个等式：；=；+；，

第2个等式:?=:+4，

326

第3个等式:,=（+、，

第4个等式:5V+上，

第5个等式:打+营

……按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明.

211211

【答案】（1）-=-+（2）—7=-+—r―，见解析•

116662/2-1n〃（2〃-1）

【解析】

解：(I)笫6个等式：一二!+上■

11666

--2=-11----1--

2n-lnn(2n-l)

证明：・・•右边=L+1_2n-l+l_2

=左边.

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

，等式成立

14.(阅读理解)

用10anx20c7n的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cs的图案.已知长度为20cm.

30。〃的所有图案如下：

20cm

10cm30cm30cm30cm

(尝试操作)

(1)如图，将小方格的边长看作10cm,请在方格纸中画出长度为40c7〃的所有图案.

(归纳发现)

(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整.

图案的长度10cm20cm30cm40c旭50cm60cm

所有不同图案的个数

123———

【答案】⑴见解析；⑵4,5,6.

【解析】

(1)如图：

根据作图可知40。九时，所有图案个数4个;

(2)50“〃时・，如图所示，所有图案个数5个;

同理，60c〃z时，所有图案个数6个，

故答案为4,5,6.

15.问题提出:

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一米〃xb的方格纸("b的方

格纸指边长分别为mb的矩形，被分成〃xb个边长为1的小正方形，其中a>2,b>2,且小b为正

整数).把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

•;;;II

图①

Idzt［二口

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的

结论.

探究一：

把图①放置在2x2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2x2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法.

田田田田

图③

探究二：

把图①放置在3x2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3x2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2x2方格，依据探究一的结论可知，把图①放

置在3x2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2x4=8种

不同的放置方法.

n~nn~n

图④

探究二：

把图①放置在ax2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在ax2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2x2方格，依据探究一的结论可知，把图

①放置在ax2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.

图⑤

图⑥

探究四：

把图①放置在4X3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在4X3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把图

①放置在ax3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.

问题解决：

把图①放置在axb的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？