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文档简介
【方法梳理】
一、有规律问题的解法口诀:和同加和,差同减差,余同取余,最小公倍加
(一)和同加和:如果不同被除数和余数的和相同,那么就把这个和,加到最小公倍数上。
(-)差同减差:如果不同被除数和余数的差相同,那么就把这个差,用最小公臂数减掉。
(三)余同取余:如果余数都相同,直接把余数加到最小公倍数上。
二、无规律问题的解法
一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出2个;如果按6个一堆放,最后多3个;如果按7个一堆放,还多出1个。
这筐苹果至少有几个?
(一)逐步约束法
5余2的最小数字是7,看看7除以6是余1不是3,所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。
通常的做法是,7+5=12,余0,不对;12+5=17,余5,不对;17+5=22,余4,不对;22+5=27,余3,对了!所以
是27。
27这个数字出来了,还没结束,下面考虑27除以7余6,不是余1。要在27上面加多少个30(5和6的最小公倍
数)才能余1?
同样的思路,要余1,相当于余8(1+7=8),由于30除以7余2,问题就转换为,要从余6变成余8,需要多少
个2,答案是1个,也就是27上面加1个30即可,最终数字是57。
(―)中国剩余定律
先找出6和7的公倍数,从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字,为42x3=126,用这个数乘以5的余数。
题目中除以5余2,所以126x3=252:
再找出5和7的公倍数,从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字,为35x5=175,用这个数乘以6的余数。
题忖中除以6余3,所以175x3=525;
再找出5和6的公倍数,从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字,为30x4=120,用这个数乘以7的余数。
题目中除以7余1,所以120x1=120;
252+5254-120=897,897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数,即为最终答案:897-210x4=57
-1-
同余定理1、如果a,b除以c的余数相同,那么我们说a,b对于c是同余的。并且我们说a,b之间的差能被c
整除。(a5c三个数都是自然数)
例L有一个大于1的数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数可能是多少?
举一反三:已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
同余定理2、a和b的根除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。
(abc均为自然数)
例2:31453x68765x987657的积,除以4的余数是多少?
例3:今有一类数,除以3余数是2,除以5余数是3,除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么?
-2-
举一反三:有一类数,除以7余2,除以8余4,除以9余3。问这类数中最小的是什么?
例4:有三个吉利数字,888,518,666,用他们同时除以一个相同的自然数,厅得的余数为a,a+7,a+10.试问这
个自然数是多少?
举一反三:140,225,293同时除以某一个自然数得到的余数相同,试问这个自然数是多少?余数又是多少?
-3-
例5:如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是点钟.
举一反三:1999年1月1日是星期五,试问2002年6月1日是星期几?
例6:节EI的街上挂起了长长的一排彩灯,共2013盏。从第一盏开始,按照5盏红灯,4盏黄灯,3盏蓝灯,2盏
绿灯不断地排下去。问:
⑴第1982盏灯的颜色是什么?
(2)蓝灯共有多少盏?
举一反三:甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏,规定,甲报1乙报2丙报3丁报4甲报5乙报6丙报7……,问报
2012的那个人是谁?、
-4-
例题7、一个三位数除以41余11,除以37余5,那么这个三位数是多少?
【巩固练习】
1.小东在计算除法时,把除数87写成78,结果得到的商是54,余数是8.正确的商是余数是
2、a-24=121……b,要使余数最大,被除数应该等于.
3、一个三位数被37除余”,被36除余3,那么这个三位数是.
4、31453*68765x987657的积,除以5的余数是.
【难题挑战】
1.自然数n除63,91,129所得余数之和为25,则n是多少?
•5-
2、韩信点兵:有兵一队,若列成五行纵队,则末行一人,成六行纵队,则末行五人,成七行纵队,则末行四人,
成十一行纵队,则末行十人.求兵数.
3、有一堆棋子,三个三个地数剩下2个,五个五个地数剩下4个,七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少
个?
4、一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个,三个三个地数剩下1个,五个五个地数剩下3个,七个七个地数剩
下3个.问这堆桃子最少是多少个?
5、有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够
分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果?
-6-
真题练习:
(2017麓山国际):
1、一篦苹果每人分4个少2个,每人分5个少2个,每人分7个少2个,这筐苹果至少个。
2、有若干个苹果和梨,如果5个苹果和3个梨装一袋的话,还余4个苹果,梨恰好装完;如果7个苹果和3个梨
装一袋的话,则还余12个梨,苹果恰好装完,请问苹果和梨各有多少个?
(2018中雅培粹):
3、某个三位数是2的倍数,除以3余2,除以4余2,除以5余2,除以6余2,那么这个数最小为
(2017怡雅中学):
4、有一堆西瓜,第一只猴子拿走了这堆西瓜的一半加半个,第二只猴子拿走剩下西瓜的一半加半个,第三只猴子
拿走最后剩下的西瓜一半加半个,西瓜正好被拿光。这堆西瓜原来有个。
5、六(1;班学生人数不足50人,排队时,每排3人,结果多一人;每排4人,结果多3人;每排7人,结果多1
人。六(1)班共O
(2017长郡双语):
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