专项培优14“等效重力场”模型（解析版）-2025版高三物理寒假精-品讲义

专题14“等效重力场”模型目录TOC\o"1-3"\h\u一.“等效重力场”模型解法综述 1二．“等效重力场”中的直线运动模型 1三．“等效重力场”中的抛体类运动模型 8四．“等效重力场”中的单摆类模型 19五．“等效重力场”中的圆周运动类模型 33一.“等效重力场”模型解法综述将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）“等效重力场”建立方法——概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二．“等效重力场”中的直线运动模型【运动模型】如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）EEABC因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示AABCg'“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角，大小：带电小球沿绳做初速度为零，加速度为的匀加速运动=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②两式解得“等效重力场”的直线运动的几种常见情况匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动θθv0mgqEθθv0mgqEF合θθv0mgqEF合1.如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大B．该微粒做匀变速直线运动C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgdD．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝eq\f(mg,E)【答案】C【解析】由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，微粒带负电，B、D错误；微粒从C点运动至D点，电场力做正功，电势能减小，A错误；此过程中电场力对微粒做的功为W＝Fx＝mg(d－0.3d－0.2d)＝0.5mgd，C正确．2.AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（

）

A．MC距离为 B．电势能增加了C．电场强度大小为 D．减小R的阻值，MC的距离将变大【答案】B【详解】A．根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示

根据几何关系可得联立解得剪断细线，小球做匀加速直线运动，如图所示

根据几何关系可得故A错误；B．根据几何关系可得小球沿着电场力方向的位移与电场力方向相反，电场力做功为则小球的电势能增加，故B正确；C．电场强度的大小故C错误；D．减小R的阻值，极板间的电势差不变，极板间的电场强度不变，所以小球的运动不会发生改变，MC的距离不变，故D错误。故选B。3.如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电场，带电量为q（q>0）、质量为m的小球受水平向右大小为F的恒力，从M匀速运动到N。已知MN长为d，与力F的夹角为，重力加速度为g，则

A．场强大小为B．M、N间的电势差为C．从M到N，电场力做功为D．若仅将力F方向顺时针转，小球将从M向N做匀变速曲线运动【答案】AC【详解】A．对小球受力分析，如图所示

根据受力平衡可得解得场强大小为故A正确；B．设MN与场强方向的夹角为，则M、N间的电势差为故B错误；C．从M到N，根据动能定理可得可得电场力做功为故C正确；D．因电场力和重力的合力与等大反向，则若仅将力方向顺时针转，小球受的合力方向沿NM的方向向下，大小为，则小球将从M向N做匀变速直线运动，故D错误。故选AC。4.如图所示，匀强电场的方向与水平方向间夹角为，电场强度大小为E。质量为m的带负电小球以初速度开始运动，初速度方向与电场线平行，重力加速度为g。求：（1）若小球所带电荷量，为使小球做匀速直线运动，则对小球施加的恒力的大小和方向；（2）若小球所带电荷量，为使小球做直线运动，现对小球施加一最小恒力，则小球的加速度为多大。

【答案】（1）mg，与水平方向夹角30°向左上方；（2）1.5g【详解】（1）欲使小球做匀速直线运动，必须使其合外力为0，如图所示

设对小球施加的力和水平方向夹角为，则解得方向与水平成斜向右上方；（2）为使小球做直线运动，则小球的合力必须与运动方向在同一直线上，故要求力和的合力和电场力在一条直线上，当电场力与此直线垂直时，施加的恒力最小，如图所示：

则小球所受合力为小球的加速度为5.如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量大小为q，从极板M的左边缘A处以初速度水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，重力加速度为g，求：（1）微粒到达B点时的速度大小；（2）两极板的电势差。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）对微粒受力分析，受重力和电场力，微粒在两个力作用下在电场中沿直线运动，则有合力方向沿水平方向，由此可知，电场力方向垂直极板斜向左上方，可知合力方向水平向左，如图所示，微粒做匀减速运动，由解析图可得

由几何关系可得

由匀变速直线运动的速度位移关系公式，可得微粒到达B点时的速度大小（2）在竖直方向由平衡条件可得解得因微粒带负电，电容器两极板间电场方向由M指向N，由匀强电场的电场强度与电势差的关系公式，可得两极板的电势差则有三．“等效重力场”中的抛体类运动模型【运动模型】如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为竖直向上发射一个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．vv0E建立等效重力场如图所示，等效重力加速度θθxyg'v）g设与竖直方向的夹角为θ，则其中则小球在“等效重力场”中做斜抛运动当小球在y轴方向的速度减小到零，即时，两者的合速度即为运动过程中的最小速度1.如图所示，平面直角坐标系处于竖直平面内，O为坐标原点，x轴水平且上方处于匀强电场中。质量为m、带电量为q的微粒在竖直平面内以初速度从x轴上的A点进入电场，初速度方向与x轴负方向成45°角，两点间的距离为L。若x轴上方的匀强电场竖直向上，微粒恰能沿初速度方向做匀速直线运动。重力加速度为g，求：(1)微粒带正电还是负电？(2)匀强电场的场强大小；(3)若保持电场强度大小不变，只将方向改为水平向左后，让微粒再以原初速度从A点进入，微粒在匀强电场运动的过程中，经过多长时间离x轴最远；(4)在（3）的条件下，微粒再次经过x轴时的位置坐标。【答案】(1)正电(2)(3)(4)【详解】（1）微粒恰能沿初速度方向做匀速直线运动，则微粒受力平衡，电场力方向应向上，x轴上方的匀强电场竖直向上，故微粒带正电。（2）电场竖直向上时，因微粒在电场中能做匀速直线运动，故由平衡条件可得即（3）对竖直方向的运动，微粒上升的时间故离轴最远的时间为。（4）再次到达轴的时间为上升时间的2倍，故微粒到达轴时沿轴负方向运动的距离为解得故微粒再次经过轴时的位置坐标为。2．人类为了开发外太空，需要模拟各种等效重力场下的逃生方式。如图所示，水平面xOy和竖直面yOz内分别固定着两个半径均为R的半圆形光滑绝缘轨道OMN和OPQ，整个空间存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，质量分别为0.5m、m的逃生球A、B套在轨道上，其中绝缘的A球不带电，B球的电荷量为。已知匀强电场的电场强度大小为（g为重力加速度），B球从OMN轨道进入OPQ轨道时无能量损失，初始时B球静止在OMN轨道的中点处，A球以大小为的初速度从N点滑上轨道，A、B两球之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞过程中B球的电荷量不变，A、B两球均可视为质点，碰后A球被锁定。求：(1)B球到达O点的速度大小；(2)B球在OPQ轨道上的最小动能；(3)B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标。【答案】(1)(2)(3)（，，）【详解】（1）A、B球碰撞过程，设碰撞后A、B球的速度分别为、，根据动量守恒和机械能守恒可得解得从M点到O点，设B球到O点的速度为，对B球，根据动能定理可得解得（2）对B球，当动能最小时在图中K点从O点到K点，根据动能定理可得解得（3）设B球经过Q点时的速度为，从O点到Q点，有解得B球离开Q点后，设到达y轴所需要的时间为t，则有解得即经过y轴上时的坐标为（，，）。3.如图，一质量为m、带电量为的小球从距地面高度为h处以一定的初速度水平抛出，在距离抛出点水平距离为L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，管的上端距离地面高度为，为使小球能无碰撞地通过管子，在管子上方的整个区域内加一个方向水平向左的匀强电场，求：(1)小球运动至管上口的时间；(2)匀强电场的场强大小；(3)小球落地时的动能。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向做自由落体运动，在水平方向上做匀减速直线运动到零，小球运动至管上口的时间由竖直方向的运动决定，由解得（2）在水平方向，小球做匀减速运动，至管上口，水平方向速度为零，由运动学公式解得水平方向上有，解得（3）由题意可知，小球最终在水平方向的速度为零，在竖直方向始终做自由落体运动，设落地时的速度大小为v，则解得所以，落地时的动能为4.如图，abc是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab水平，bc是与ab相切于b点且半径为圆弧．所在空间有方向平行于ab向右的匀强电场。面轨道上P点由静止释放个质量为m、电荷量为的小球，小球飞出轨道后达到的最高点为Q（图中未画出）。若小球可视为质点，重力加速度大小为g，电场的场强大小，Q与c点的高度差为，求：(1)Pb之间距离；(2)Q点与c点之间距离；(3)小球对轨道的最大压力。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）从c到Q的过程中，竖直方向上有从P到c的过程，根据动能定理可得联立解得Pb之间距离为（2）从c到Q的过程中，竖直方向上有水平方向有，联立解得cQ的水平距离为则Q点与c点之间距离为（3）根据题意可知重力与电场力大小相等，则轨道上等效物理最低点位于bc圆弧的中点，该点轨道所受压力最大，根据动能定理可得根据牛顿第二定律可得联立解得根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的最大压力为5.如图所示，竖直平面（即纸面）内存在范围足够大的匀强电场，其大小和方向未知。一质量为m、带电量为的小球从O点以初速度水平向左抛出，小球运动到抛出点正下方A点时的速度大小为，已知两点间距离为，重力加速度为g，不计空气阻力，在小球从O点运动到A点的过程中，求：（1）电场力对小球做的功；（2）电场强度E的大小和方向；（3）小球的最小速度。【答案】（1）；（2），方向为与OA成60°角斜向下；（3）【详解】（1）小球由O运动到A过程，由动能定理有代入数据得电场力对小球做功为（2）设电场力方向与OA的夹角为θ，则小球由O运动到A过程，电场力做功可得小球在水平方向做匀变速直线运动，加速度大小为在竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小为则，联立得，电场强度大小为且即电场强度的方向为与OA成60°角斜向下。（3）经过时间t，小球的速度大小为整理可得可见当，即时，小球的速度最小，为6.如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为、带电量分别为和的两小球同时从点以速度斜向右上方射入匀强电场中，方向与水平方向成，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A点的速度大小仍然为，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（）

A．两小球同时到A、B两点B．带负电的小球经过点的速度大小也为C．两小球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为D．与水平距离之比为【答案】C【详解】A．由题可知，将带电小球的运动分解成水平方向和竖直方向的运动，由受力可知，两小球在竖直方向只受重力，故在竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向的初速度大小均为上升到最高点时，竖直方向速度为零，由此可知，两球到达A、B两点的时间相同，A正确，不符合题意；B．水平方向只受电场力，故水平方向做匀变速直线运动，水平方向的初速度为由题可知，带正电的小球有带负电的小球有解得带负电的小球经过点的速度大小也为，B正确，不符合题意；C．由B解析可知，到达最高点时两小球的速度大小相等，水平方向只有电场力做功，由动能定理可知，两球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为，C错误，符合题意；D．由上分析可知联立解得故代入数据解得即与水平距离之比为，D正确，不符合题意。故选C。7.如图所示的坐标系，在第一象限内存在水平向右的匀强电场，一带电小球由y轴上的P点以水平速度抛出，经过一段时间小球刚好落在坐标原点。已知小球的质量为m、带电荷量为q，电场强度，重力加速度为g。(1)判断小球所带电荷的电性并求出小球从P到O的过程中中间时刻的坐标值；(2)求小球动能的最小值。【答案】(1)负电，(2)【详解】（1）由题意可知，小球在水平方向只受电场力，且开始时向右运动，但最终落在坐标原点，故小球应受向左的电场力，小球应带负电。

小球在竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀变速直线运动。水平方向上受力有P点和O点的横坐标相同，由匀变速直线运动规律可知，小球在从P到O的过程中中间时刻在水平方向的速度为零，该过程运动时间为又解得则从P到O的过程中中间时刻小球的横坐标为纵坐标为则中间时刻小球的坐标值为（2）将小球的水平速度沿合力方向和垂直于合力方向分解，如图所示。当沿合力方向的速度为零时，小球的速度最小。设合力与水平方向的夹角为，此时根据力的几何关系知联立解得所以小球动能的最小值为四．“等效重力场”中的单摆类模型【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m的绝缘细绳把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放：OOABCEθL+建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”，θg'OAθg'OABCθA'C'+由A、C点分别做绳OB的垂线，交点分别为A'、C'，由动能定理得带电小球从A点运动到C点等效重力做功代入数值得m/s当带电小球摆到B点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为，绳上的拉力为，则=1\*GB3①=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②两式子得N1.如图甲所示，可视为质点的小球用长为、不可伸长的轻绳悬挂于点。现对小球施加水平恒力使其从静止开始运动，轻绳拉力大小随绳转过的角度变化的曲线如图乙所示，图中为已知量，重力加速度为，下列说法正确的是（）A.小球到达最高点时的机械能最大B.小球到达最高点时的加速度大小为C.小球运动过程中轻绳拉力的最大值为D.小球从开始运动到最高点，增加的机械能为【答案】BC【解析】水平恒力与重力合成出一个新力场（因为两个力的方向和大小都不变），得到力场，力场为等效重力场模型，受力分析如图所示A．除重力之外只有在做功，当小球到达水平位置时，做功最多，所以当小球到达水平位置时机械能最大（绳子拉力与小球速度垂直，不做功），故A选项错误；B．小球到达最高点时，速度为，设其加速度为，据牛二定律得解得，据加速度的合成与分解得故B选项正确；C．由图可知，当时，轻绳拉力达到最大值，轻绳的拉力与的合力为小球运动提供向心力，则有由动能定理得其中联立上式，解得因为刚开始时小球是静止的，则有故故C选项正确；D．小球运动到最高点时，增加的机械能为水平恒力所做的功，即故D选项错误。故选BC。2.如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长的不可伸长的绝缘细线，一端连着一质量的带电小球，另一端固定于O点。把小球拉起至A点，此时细线水平，把小球从A点由静止释放，小球经最低点B后到达B的另一侧C点时速度为零，与夹角为，g取。则（）A．小球一定带负电B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，机械能先增加后减小C．细线所受的最大拉力为D．小球到达B点时的动能为【答案】D【详解】A．对全过程，重力做正功，可知电场力做负功，可知电场力方向向右，则小球带正电，A错误；B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，电场力一直做负功，可知小球的机械能一直减小，B错误；C．对全过程根据动能定理可得解得重力和电场力的合力与水平方向夹角的正切值可得如图所示此时合力方向与圆弧的焦点为等效最低点，此时绳子的拉力最大，根据动能定理在等效最低点，根据牛顿第二定律联立解得细线所受的最大拉力C错误；D．从A到B根据动能定理可得D正确。故选D。3.如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（）A．匀强电场的电场强度B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大【答案】A【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球进行受力分析，如图所示由平衡关系可知解得故A正确；B．小球静止时细线与竖直方向成角，则A点为小球绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等效最高点A点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知动能联立解得故B错误；C．由机械能守恒定律可知，机械能的变化量等于除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功，此处即电场力做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与O点等高时，电场力做负功最多，机械能最小，故C错误；D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做负功后做正功，所以电势能先增大后减小，故D错误。故选A。4．如图水平向右的匀强电场中，用长为L的不可伸长的轻质绝缘细线系住一质量为m，带电量为（q>0）的小球。小球从竖直位置A点静止释放，可绕着悬点O在竖直平面内摆过最大角度为。在小球右侧还有一足够长的斜面，斜面倾角为，O点距斜面垂直距离为H，忽略空气阻力的影响，重力加速度为g。(1)求电场强度；(2)换用另一根长度也为L的绝缘细线，当绳中拉力达到4mg时，绳会断开。求从A点静止释放小球，细线断后小球还能上升的最大高度（此时未落到斜面上）；(3)使用相同材质的细线，改变（2）问中的细线长度，仍从A点静止释放小球，求当细线长度为多少时，小球在斜面上的落点最高。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）对带电小球受力分析，如图所示由题分析，可知小球从A点静止开始最多摆到B点，根据几何关系可得根据动能定理有解得（2）利用等效重力场原理，则等效重力为方向为与竖直方向夹角向下。当小球经过等效最低点时，小球速度最大，细线张力最大，根据牛顿第二定律有根据动能定理有解得，即恰好在等效最低点细线断开。分解运到到竖直和水平方向，竖直方向只受重力作用，故还能上升的最大高度（3）通过第二问分析可知，改变细线长度，但小球经过等效最低点时细线张力仍为而断开，设细线长度为l，断开时小球的速度。此后在等效重力场中做类平抛运动，设沿斜面上抛的距离为x，则有，解得故当时，小球在斜面上的落点最高。5．如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为的绝缘细线把质量为，带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时离地的竖直高度为，细线与竖直方向的夹角为。已知两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，则：（g取）(1)求匀强电场的电场强度E的大小和两点间的电势差；(2)若小球静止在B点时突然剪断轻绳，求小球的加速度a和小球落地的速度大小v；(3)将小球拉至左边水平位置，使细线水平拉直后由静止释放，求小球通过最低点C时细线对小球的拉力F的大小（结果保留两位有效数字）。【答案】(1)，(2)，(3)【详解】（1）带电小球在B点静止受力平衡，根据平衡条件得解得由可得（2）若小球静止在B点时突然剪断轻绳，小球的合外力指向OB方向，小球沿OB方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律解得小球下落过程中，根据运动学公式解得（3）小球由左边水平位置释放后，小球先沿与竖直方向夹角为方向做匀加速直线运动，直到细线绷直，运动轨迹如图因为，由几何关系可知设此过程的位移为x，则解得根据运动学解得此时小球沿细线方向的速度消失，只剩垂直细线方向的分速度此后，小球运动到最低点，根据动能定理解得小球通过最低点C时，根据牛顿第二定律解得6．如图所示，足够大的匀强电场水平向右，用一根长度为L的不可伸长绝缘细绳把一可视为质点且带正电的小球悬挂在O点，小球的质量为m、电荷量为q，小球可在B点保持静止，此时细绳与竖直方向的夹角为。现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，重力加速度大小为g（，），规定O点为电势能零点。求：(1)电场强度E的大小；(2)求小球在A点的电势能；(3)小球在运动过程中所受细线拉力的最大值。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）小球受到电场力、重力和绳的拉力T的作用下处于静止，根据共点力的平衡条件有可得（2）由功能关系有又可得（3）由题意可知小球在B点速度最大，A到B的过程中，根据动能定理有在B点，由牛顿第二定律联立可得7.一长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中。开始时，将细线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点，速度恰好为零。（已知重力加速度为g，答案可以带根号），求：（1）A、B两点间的电势差和电场强度大小；（2）判断小球的电性和小球到达B点时，细线对小球的拉力大小。（3）小球由A到B过程中，细线对小球的最大拉力。【答案】（1），；（2）正电，；（3）【详解】由动能定理可得解得A、B两点间的电势差又由可得，A、B两点间的电场强度大小（2）小球由A到B过程电场力做负功，小球在B点受到水平向右的电场力,与电场方向相同,故小球带正电；小球在A、B间摆动，由对称性得知，B处细线的拉力与A处细线的拉力大小相等，而在A处由水平方向受力平衡有故小球到达B点时，细线对小球的拉力大小（3）由单摆运动的对称性可知，重力与电场力的合力方向与A、B两点连线垂直，即等效的复合场沿OC方向，且在B点受力分析，重力与电场力的合力方向与OC平行，如图所示小球在复合场中受的合场力为小球由A到B过程中，细线对小球的最大拉力即在等效复合场中等效最低点，由于小球做圆周运动，等效最低点线速度最大，绳子拉力也最大，则由A点做圆周运动至最低点由动能定理有解得等效最低点的线速度为则在等效最低点由牛顿第二定律有解得等效最低点的最大拉力为8．如图所示，长为l的绝缘细线一端固定在O点，另一端系一质量为m电荷量为q的小球。现将此装置放在水平向右的匀强电场中，小球处于静止状态，此时细线与竖直方向成37。重力加速度为g，sin37=0.60，cos370.80。(1)判断小球的带电性质；(2)求该匀强电场的电场强度E的大小；(3)将小球向右拉起至与O点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，静止释放，求：a.小球运动到最低点时的速度v的大小；b.及此时细线对小球的拉力F的大小。【答案】(1)小球带正电(2)(3)a.；b.1.5mg【详解】（1）由题意可知，小球受到的电场力方向向右，电场方向向右，所以小球带正电。（2）小球受三个力作用处于平衡状态，有mgtanθ=qE解得（3）a.小球从水平位置到竖直方向的过程中重力和电场力做功，根据动能定理得解得b.由牛顿第二定律，可知解得F=1.5mg五．“等效重力场”中的圆周运动类模型【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m的带正电，电量为小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？EER300mgqENR300EOB3R300O运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力，大小，，得，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重力”当好提供向心力即：假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：解得：1．如图所示，水平绝缘光滑轨道AB的B端与处于竖直平面内的圆弧形光滑绝缘轨道BCD平滑连接，圆弧的半径，轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度。现有一质量的带正电小球（可视为质点）放在水平轨道上与B端距离的位置，由于受到电场力的作用，带电体由静止开始运动。已知带电体所带的电荷量（取，，，，）。(1)带电小球运动到何处时对轨道的压力最大；最大值为多少？(2)带电小球到达圆弧最高点D时受到轨道的作用力大小。【答案】(1)与O点的连线与竖直方向的夹角为时，速度达到最大；5N(2)【详解】（1）小球在电场中受到的电场力和重力的合力大小为方向与竖直方向的夹角满足可得当小球在圆弧轨道所在位置与圆心O连线沿着的方向，即与竖直方向的夹角为时，速度达到最大；设此位置为P，小球从A到P的过程，由动能定理得在P点，由牛顿第二定律得联立解得根据牛顿第三定律可知，最大压力为。（2）设小球能到达D点的速度为，从A到D过程，由动能定理得解得在D点，根据牛顿第二定律可得解得可知带电小球到达圆弧最高点D时受到轨道的作用力大小为。2．如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电的小球用长为L的绝缘细线悬挂在天花板上，空间存在水平向右的匀强电场，小球静止时位于P点，此时细线与竖直方向的夹角α=37°，不计小球的大小，重力加速度为g。(1)求匀强电场的电场强度大小；(2)若把小球向右移到与O点等高的位置且细线刚好拉直，由静止释放小球，运动过程中小球速度最大值是多少？此时细线的拉力是多少？(3)若在（2）问中，小球运动到P点时细线刚好断开，求从细线断开到小球运动到P点正下方时小球到P点的距离。【答案】(1)(2)，(3)【详解】（1）对小球进行受力分析，如图所示根据受力平衡可得解得匀强电场的电场强度大小为（2）小球由释放做圆周运动，到达P点时速度达到最大，由动能定理得解得由牛顿第二定律得解得此时细线的拉力大小为（3）小球运动到P点时细线刚好断开，小球运动到P点时水平方向的分速度大小和竖直方向速度分别为，水平方向的加速度大小为方向水平向右；从细线断开到小球运动到P点正下方，水平方向根据对称性可得所用时间为竖直方向有代入数据解得3．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场，现将一质量为m、电荷量为的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场，已知P点在A点的正上方，整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B间的距离为2R，重力加速度为g。求：(1)匀强电场的电场强度E的大小；(2)轨道对小球支持力的最大值；(3)小球在水平轨道上的落点到A点的距离。【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）设小球过C点时的速度大小为，小球从A运动到C的过程中，根据动能定理有小球离开C点后做平抛运动，小球从C运动到P的过程中，水平方向有竖直方向有联立解得（2）小球运动到等效最低点D时速度最大，设最大速度为，OD与竖直线OB夹角为，由于，则，小球从A点运动到D点的过程中，根据动能定理有即解得最大速率由于小球在D点时速度最大且静电力与重力的合力恰好背离半径方向，故小球在D点时受到半圆轨道的支持力最大，设此支持力大小为F，在D点对小球进行受力分析，并建立如图所示的直角坐标系则有即半圆轨道对小球支持力的最大值为（3）小球通过P点时水平方向速度大小为竖直方向速度大小为进入电场后，水平方向加速度大小为竖直方向加速度大小为故小球在水平方向做匀减速运动，在竖直方向做匀加速运动，水平方向有竖直方向有联立解得4.如图所示，光滑水平面上固定一半径的光滑半圆弧轨道ABC，圆弧轨道与水平面相切于A点，O为圆弧轨道的圆心，AC竖直，B点与圆心O等高。在AC的右方存在水平向右、电场强度大小的匀强电场，一质量、电荷量的带正电滑块（可视为点电荷）从P点以一定的速度向右匀速运动，滑块进入半圆弧轨道后恰好能到达C点，已知滑块所带的电荷量始终不变，取重力加速度大小。求：(1)滑块运动到B点时受到的支持力大小；(2)滑块在半圆弧轨道上的最大动能。【答案】(1)(2)【详解】（1）设滑块到达B点时的速度大小为，滑块到达C点时的速度大小为，有解得（2）滑块进入圆弧轨道后相当于受到与水平方向的夹角为θ、大小的等效重力而做圆周运动，其中滑块到达等效最低点时动能最大，则有解得5．如图所示，在水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN平滑连接，半圆形轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径。一带电荷量的小滑块质量为，与水平轨道间的动摩擦因数，滑块从水平轨道上离N点的距离处由静止释放，小滑块恰好运动到半圆形轨道的最高点C。g取，求：(1)小滑块在圆形轨道C点的速度大小；(2)小滑块运动至竖直轨道最低点N点时的速度大小和在N点时受到轨道的支持力大小；(3)匀强电场的电场强度大小；(4)小滑块在圆轨道上运动时的最大速率。【答案】(1)(2)，(3)(4)【详解】（1）由题意知，小滑块在圆形轨道C点，仅由重力提供向心力，则有解得（2）滑块从N点运动到C点过程，根据动能定理有解得在N点，根据牛顿第二定律有解得（3）滑块从开始运动到N点，根据动能定理有解得（4）设小球运动到圆周B点时速度最大为，此时OB与竖直线CN夹角设