2021年-2022年高中数学新高考高考真题两年合集

2021年一2022年高中数学新高考高考真题两年合集

2022年高中数学新高考试卷一原卷与答案

2022年高中数学新高考试卷二原卷与答案

2021年高中数学新高考试卷一原卷与答案

2021年高中数学新高考试卷二原卷与答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

］若集合用={*6<4},'={卅*.1},则知1"二

4.{削03<2}B•{叫"<2}

C{R3«x<16}。啊0<16}

2.若"（1）=1，则z+Z=

A-28.TC.1D.2

3.在48c中，点D在边AB上，30=2以记。4=/71,00=/1,则（78=

A3m-2nB.-2/n+3〃C.3m+2nD.2m+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知

该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MS。m2；水位为海拔157.5m时，相

1

应水面的面积为180.0七川•将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库

水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为“？・65)

93

A1.0xl0/nB.1.2X109W3G1.4X109/W3D.1.6X109/W3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

6.记函数I4)的最小正周期为T,若3则

)'='(")的图像关于点I2'1中心对称，则Uj

B.-C.-

A.122D.3

。=0.屹叫b=L=Tn0.9,

7.设9则

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.已知正四棱锥的侧棱长为,，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%，J1

3-Z-则该正四棱锥体积的取值范围是

27812764

43」D.“8,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知正方体ABCD-A旦GA，则

A.直线3与“所成的角为9。

2

B.直线与所成的角为90

C.直线BC,与平面阴A°所成的角为45

D.直线BCi与平面ABCD所成的角为45

10.已知函数/（"）="一"+1'则

A.f（x）有两个极值点B.f（x）有三个零点

c.点（0,1）是曲线丫="力的对称中心D.直线》=2”是曲线

尸的切线

11.己知o为坐标原点，点A（L1）在抛物线c：*=2，y（，°）上,过点8（°，T）的直线交c于

P,Q两点，则

A.C的准线为y=~1B.直线AB与C相切

C.\OP\\O&>\OAFD\BP\\8Q|>|BAF

12.已知函”*）及其导函数,a）的定义域均为R,记g（，）=r（x）•若I?J

屋2+”均为偶函数，则

A/（0）=0Bg卜£l=°c/（T）=〃4）Dg（-l）=g⑵

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.卜-26

VX）的展开式中的系数为（用数字作答）.

14.写出与圆/+9=1和（工一3）+（y_4）=16都相切的一条直线的方程

15.若曲线y=（"+"）〃有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

3

~■十>0）,pg-

16.已知椭圆C:〃~b~C的上顶点为A,两个焦点为心，△，离心率为2，过

且垂直于A层的直线与C交于D,E两点，l°®=6,则4。七的周长是

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

记邑为数列｛%｝的前n项和，已知'是公差为的等差数列.

⑴求｛%｝的通项公式：

111c

—+—++—<2.

（2）证明：444

18.（12分）

cos4sin28

记！ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1+sinAl+cos28

。=~7-»

⑴若3求B；

a2+b2

⑵求c的最小值.

19.（12分）

如图，直三棱柱ABC-44G的体积为4,!ABC,的面积为2夜.

⑴求A到平面AB。的距离；

B

4

（2）设D为A。的中点，M=A氏平面A'C，平面求二面角A-BO-C的正弦

值.

20.（12分）

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分

为良好和不够良好两类）的关系，在己患该疾病

的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时P(K2>k)0.0500.0100.001

在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为

对照组），得到如下数据：K3.8416.63510.828

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（I）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯大够良好”，B表

户（Bl4）P（Bl可

示事件“选到的人患有该疾病“，「（同与尸（闻'）的比值是卫生习惯不够良好对患该

疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

P（A\B）P（A\B）

①证明：甲闾

（ii）利用该调查数据，给出P（4⑻J（福）的估计值，并利月（i）的结果给出R的估

计值.

n(ad-bc)一

附：，K~=

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21.(12分)

x2,72

已知点A（2,1）在双曲线C：/一/二i"上，直线/交C于P,Q两点，直线

AP,AQ的斜率之和为0.

5

⑴求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2屁求PAQ的面积

22.（12分）

已知函数“到="9和g（"）=g1nx有相同的最小值.

⑴求a；

⑵证明：存在直线其与两条曲线＞=〃*）和＞=g（"）共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

6

绝密☆启用前试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案于解析

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号

和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答

在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

I.若集合M={x|石v4},N={x|3%Nl},则()

A.1x|0<x<21B.<x^<x<2>C.1x|3<x<161D.

1〃

<x—<x<16>

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

详解】M={xl0<x<16),^={xlx>^),故〃riN=，

故选：D

2.若i(l-z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

7

【解析】

【分析】利用复数的除法可求Z,从而可求Z+2.

[•

【详解】由题设有l-z=；=m=-i,故z=l+i，故z+5=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

3.在eABC中，点。在边44上，BD=2DA.记CA=〃z,CO="，则C3=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3/n+2〃D.

2m+3〃

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边4B」:，加=2八4,所以应5=2加，即CD—CB=2(C4—C。)，

所以CB二3CD-2CA=3n-2m=-2利+3n.

故选：B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔1575m时，相应水面

的面积为180.0101?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(J7=2.65)()

A.1.0x109m3B.].2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即为楼台的

体积V.

棱台上底面积S=140.0km2=140xl06m2，下底面积S'=180.0km2=180xl06m2，

V=1A(S+S,+V557)=-X9X^140X106+180X1064-7140X180X1012)

8

=3x(320+60x/7)xl06«(96+18x2.65)xl07=1.437xl09«1.4xl09(m3).

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

1112

A.-B.-C.~D.一

6323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质,不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

21-72

故所求概率P=-----=-.

213

故选：D.

6.记函数/（x）=sin（@x+伙。＞0）的最小正周期为T.若与＜丁＜〃，且y=

的图象关于点（技,2）中心对称，则/（］）=（）

3一

A.IB.-C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期7满足二乃，得二f＜上＜乃，解得2v3v3,

33co

9

又因为函数图象关于点W,2对称，所以空口+巴=左肛&£2,且6=2,

I2)24

125

所以----1—k、kwZ,所以刃二—»f(x)—sin—xH—I+2,

632

所以f(］)=sin；%+?)+2=1.

故选：A

7.设。=O.le°」,b=§,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数〃x)=ln(l+x)-工，导数判断其单调性，由此确定大小.

1y

【详解】设/(x)=ln(l+x)-x(x>T),因为/'")=-----1=------,

1+X1+X

当xe(—l,O)时，r(x)>0,当X£(0,+oo)时r(x)v。，

所以函数f(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)单调递减，在(一1,0)上单调递增，

所以f(")v/(O)=O,所以In与一gvO,故寺>111与二一1110.9,即b>c,

1919--1-1

所以/(一一)</(0)=0,所以in—+一<0,故二<e］。，所以-!-6。<上，

10101010109

故a<〃，

l

设g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<l),则g\x)=(x+l)e+^-j-=~.，

令h(x)=ev(x2-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-l),

当0<x<及一1时，人'。)<0,函数力(%)=©］，一1)+1单调递减，

当应一1<%<1时，〃'")>。，函数力。)=4角一1)+1单调递增,

又力(0)=0,

10

所以当0<xv近一1时，h(x)<0,

所以当0cx</—1时，g'(x)>0,函数g(x)="'+ln(17)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即Oleg>—ln0.9，所以〃>c

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%，且

3W/W3JL则该正四棱锥体积的取值范围是()

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥的高为力，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,

由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•・•球的体积为36万，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2〃，高为力，

则『=242+力2,32=2a2+(3-A)2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

I]2/4Z2If/6

所以正四极锥的体积V〃—彳x4a2x/2_qx(12_o)x”=xI4_

3333669136,

所以="y卜冲)

当3V/W2加时，Vz>0,当2«</W3后时，V'<0，

所以当/=2几时，正四棱锥的体积丫取最大值，最大值为程，

27«1

又/=3时，V=T，/=3百时，V=—,

44

27

所以正四棱锥的体积V的最小值为七，

11

所以该正四棱锥体积的取值范围是—.

L43J

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知正方体48。。一446；口，则()

A.直线8G与。A所成的角为90。B.直线BG与CR所成的角为90。

C.直线8G与平面8旦口。所成的角为45。D.直线8G与平面ABCD所成的角为

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接8。、BC,,因为。4//8C，所以直线8a与BC所成的角即为直线

3G与所成的角，

因为四边形为正方形，则与C_L8G，故直线BG与0A所成的角为90。，A正确：

连接A。，因为4片，平面BBCC，BC]U平面BBCC，则A4_L8G，

因为BC_LBG，ABICBC=BI，所以8G_L平面AB。，

又ACu平面A与C,所以5GJ_CA，故B正确：

连接AG，设AGP)与。=。，连接8。,

12

因为_L平面AMGR，GOU平面AMGA，则GO~LB/,

因为GO_LqR,B\D、cB\B=B],所以C0_L平面BBQ。，

所以NC^。为直线BC、与平面BBQQ所成的角，

设正方体棱长为1，则GO=4Z，8G=0,sinNG5O=g?=〈,

12oC)2

所以，直线BG与平面BBiRD所成的角为30,故C错误；

因为GC_L平面ABC。，所以NG3C为直线8G与平面ABC。所成的角，易得

ZC,BC=45,故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/(x)=V—x+i,则()

A.f(x)有两个极值点B./(工)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切

线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合了Or)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断

C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3f-1,令小)>0得%邛或“<_冬

令尸")<0得一走<x<息,

33

所以/*)在(_曰，¥)上单调递减，在(_8,一乎)，(理,+8)上单调递增，

所以x=±立是极值点，故A正确；

3

因『(-*)=1+亭>0，/(y)=l-^>0./(-2)=-5<0,

13

所以，函数在上有一个零点,

当xN点时,乎

0,即函数在+8上无零点,

综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误;

令人(x)=d—x,该函数的定义域为R,/z(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h[x),

则6。)是奇函数，(0,0)是〃。)的对称中心,

将〃(幻的图象向上移动一个单位得到/(%)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

令/'(刈=3*2_1=2,可得；V=_L1,又/(1)=〃_1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x—1,当切点为(T,l)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误.

故选：AC

11.己知O为坐标原点，点A(1,D在抛物线c：f=2p)，(〃>0)上，过点5(0,—1)的直线

交C于P,Q两点，贝iJ()

A.C的准线为丁二-1B.直线AB与C相切

C.|OP|-|oe|>|OA|2D.\BP\\BQ\>\BAI2

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立48与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公

式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2”,所以抛物线方程为/=),,故准线方程为

y=--7>A错误；

4

口8=上2=2,所以直线A5的方程为>=2］一1,

14

联立<2，可得d—2x+l=0,解得x=l，故B正确；

x~=y

设过3的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为>="一1,2（斗，弘）,。*2，％），

[y=Ax-1、

联立〈,得依+1=0，

[厂2=y

△二公-4>0

所以，x1+x2=k,所以%>2或&<一2,乂%=（工/2）2=1，

x}x2=1

又|CP|==Jy+y；，|OQI=+£=尿+£'

所以|OP|*|OQJ%%。十M）（l十（2）—Jgk辰2TkA2TOA|2>故C正确；

2

因为13Pl=J1+公1%i，|Bg\=y]\+k\x2\>

所以13Pl4301=（1+公）|不也上1+公>5,而|BA|2=5,故D正确.

故选：BCD

12.已知函数〃幻及其导函数f（x）的定义域均为R,记g（x）=ra）,若/（|一2上

g（2+x）均为偶函数,则（）

A./(0)=0B.^1--1=0C./(-1)=/(4)D.

g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质

逐项判断即可得解.

【详解】因为gQ+幻均为偶函数，

=/f|+2xjBp/l|-xj=/(|A：

所以+g(2+x)=g(2—x),

12/

15

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则f(T)=/(4),故C正确：

3

函数/*),g(x)的图象分别关于直线r=一,工=2对称，

2

又g(x)=r*)，且函数，*)可导，

所以g-二。送(3-力=一g"),

所以g(4-x)=g(©=—g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

所以g一;)=g=g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确,D错误；

若函数满足题设条件，则函数/(幻+C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定f(x)

的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数

与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13,，)8的展开式中*“的系数为(用数字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】11一9)x+y)8可化为(x+y)8-?(x+y)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为(i-q)(x+y)8=(x+y)8-?(x+y)8,

所以(l一工］(x+)，)8的展开式中含x2y6的项为c；x2y6一上c；dy5=一28x2y6,

kX)X

1一上］(工+y)8的展开式中_y6的系数为.28

IX)

故答案为：-28

16

14.写出与圆炉+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程

35725

【答案】y=__x+_或丁=二元一二或x=—l

442424

【解析】

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】圆/+）,2=］的圆心为。（o,0）,半径为1，圆（工-3）2+（尸4）2=16的圆心。|为

(3,4),半径为4,

两圆圆心距为J32+4?=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图,

433

当切线为/时，因为％=§,所以仁=一^，设方程为丫=一日1+9>。）

“、解得所以，的方程为广一九十H

。至的距离

444

当切线为机时，设直线方程为"+>+〃=0,其中〃>0,左<0,

旦T7

7

।历出1，解得.25

一

由题意《24y=X-一

25

阳+4+P」一2424

p=

Jl+F24

当切线为〃时，易知切线方程为x=-l,

35725

故答案为：y=一一x+一或y=不X一丁或x=-l.

44'2424

17

15.若曲线y=(x+a)e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

【答案】(y,T)u(0,+8)

【解析】

【分析】设出切点横坐标与，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于方的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】•.•y=(x+a)e',.•.y'=tx+l+〃)e',

设切点为(如％),则y0=(/+〃)e”,切线斜率％=(/+1+a)e*,

切线方程为：y-(％+4)e"=&+l+a)e-"(/一/o),

•・•切线过原点，，一($+a)e%=(^+14-6/)6^(-^),

整理得：XQ+a¥o-a=O,

・・♦切线有两条，•••♦=々2+4〃>(),解得或。〉o,

:.a的取值范围是(y,-4)D(0,+8),

故答案为：(—，―4)D(0,+8)

16.已知椭圆C:1+^=l(a>6>0),。的上顶点为4,两个焦点为人，F-离心率为

ab-

18

过耳且垂直于AB的直线与。交于o,E两点,|。七|=6,则“IDE的周长是

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为二+与=1,即3/+4,，2-12/=0,根据离心

4c23c2

率得到直线AF2的斜率，进而利月直线的垂直关系得到直线。上的斜率，写出直线。石的

方程：”=百丁一。，代入椭圆方程3丁+4/一12。2=0,整理化简得到：

]313

13y2-6bcy-9c2=0,利用弦长公式求得c=—,^a=2c=­f根据对称性将^ADE

84

的周K转化为5?DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a—13.

【详解】•・•椭圆的离心率为《=£=?，・・・〃=①，・・・/=/一。2=3。2,・••椭圆的方程

a2

22

为」+与=1,EP3x2+4y2-12c2=0,不妨设左焦点为6,右焦点为人，如图所示，

4c~3c~

VAF2=afOF2=C,〃=2%.・./AgO=?,・・・△/1丹玛为正三角形，・.•过耳且垂直

J'-4K的直线与C交于E两点，OE为线段AF2的垂直平分线，，直线DE的斜率为正,

3

斜率倒数为J5，直线。E1的方程：x=Gy—c,代入椭圆方程3幺+4y2-12。2=0,

整理化简得到：13y2—6j5cy—9c2=0,

判别式♦=仅6c)+4x13x9c2=62x16xc2/

・・・|C*J+(可|y「力|=2x^^-=2x6x4x—=6»

1313

八上得"2c=2

84

YOE为线段人马的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=EK，・・・上4）后的周长

等于△耳。£的周长，利用椭圆的定义得到△耳。£周长为

19

周+|E周+|£)同=|DF21+|即|+|DF、|+|Ef；|=|。用+|DF21+|班|+|%卜屈+2a=4a=13

故答案为：13.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

51

17.记S”为数列｛q｝的前〃项和，已知是公差为§的等差数列.

(1)求｛叫的通项公式；

111'

(2)证明：一+—++一<2.

4〃2an

【答案】(1)」——-

〃2

(2)见解析

【解析】

S1/1、〃+2(〃+2)。

【分析】⑴利用等差数列的通项公式求得j=1+三(〃-1)=一^,得到3=^——5

an33"2

(〃+2)凡+进而得:

利用和与项的关系得到当〃22时，a=S-S,

ltn33

a/7+1〃(〃+1),、

—n,利用累乘法求得4二」一上,检验对于〃=1也成立，得到｛q｝的通项公

n-12

20

式

“2

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到'…+」-=2(1——进而证得.

a

4a2nI〃+11

【小问1详解】

S

*：q=1,；・£=q=1,；・-1二21,

a\

又•・•2是公差为2的等差数列，

・S・."7=.1+1/(〃[7、)=n+2♦..s—(〃+2)凡

“〃JJJ

・・・当〃N2时，5“=5+1)%,

13

._e_o_(〃+2)4S+1)4T

..a“一~~，

整理得：("-l)a〃=(〃+l)4T，

an+l

即工n=-

*”1

a?a,an,an

/.an=67]X—i-X—X...X—^X—2-

a\a2an-2an-\

I34n/i+l小+1)

=lx—X—X...X---------X-----------=-------------,

23n-2n-12

显然对于〃=1也成立，

・・・{4}的通项公式4=当少；

【小问2详解】

_L=2=2

an/?(/?+1)n+\)

21

18.记的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知——；—=-------.

1+sinA1+cos28

（1）若C=」~,求B；

3

2,2

（2）求“：”的最小值.

c

【答案】（1）~

6

⑵4^-5.

【解析】

cowAsin2R

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将-2—=--------化成

1+smA1+cos28

cos（A+B）=sinB,再结合即可求出;

212

（2）由（1）知，C=-+B,A=个一28,再利用正弦定理以及二倍角公式将2二^化

22c2

成4cos2B+一一-5,然后利用基本不等式即可解出.

cos-fi

【小问I详解】

E、IcosAsin282sinBcosBsinB

因为----：-=----=-y——=--,即nn

1+sinA1+cos282cos-BcosB

sinB=cosAcos8-sinAsin5=cos（A+B）=-cosC=^,

而0<3<二，所以B二四:

26

【小问2详解】

兀一八兀

由（1）知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,（）<8<一,

22

而sin3=-cosC=sin|C--

22

TT7E

所以。=々+B,即有A=」—2B.

22

,a2+brsin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所rr以一—=-------；------=----------；--------

c2sin'Ccos"B

（2COS2B-1）2+1-COS2B

=4COS2B+-^—-522我-5=4、Q-5•

cos2BcosB

当且仅当cos?B当时取等号，所以矿1g的最小值为472-5.

19.如图，直三棱柱ABC—A4G的体积为4,sA8。的面积为2&.

（1）求A到平面ABC的距离；

（2）设。为A。的中点，A、-48,平面A8C_L平面AB81A，求二面角ABDC

的正弦值.

【答案】（1）叵

⑵立

2

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解：

（2）由面面垂直的性质及判定可得3C_L平面建立空间直角坐标系，利用空间

向量法即可得解.

23

【小问1详解】

在直三棱柱ABC—A4cl中，设点A到平面A.BC的距离为h,

则V_1Q.卜_2五〃—V-1Q.AA--V--

AJVnV

A-\BC3力.A8C〃-3~3~A8C外人ABC-AyBiCi?

解得/?=夜，

所以点4到平面48。的距离为、伤；

【小问2详解】

取48的中点E,连接AE,如图，因为AA=A8,所以AE_L48,

又平面4BC_L平面,平面A8CCI平面A8B1A=AB,

且AEU平面ABBIA，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-AB|G中，5B1_L平面A8C,

由5Cu平面ABC,BCu平面ABC可得A£_L8C,BB.1BC,

又AE,5片u平面A3片4且相交，所以BC_L平面AB用A,

所以8C,BA,84两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得AE=B所以A4,=AB=2,AB=2垃,所以8C=2,

则4（0,2,0）,其（0,2,2）,8（0,0,0）,。（2,0,0）,所以4。的中点。（11,1）,

24

则30=（1,1,1）,8A=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

,、[mBD=x+y+z=0

设平面AB£）的一个法向量6=（x,y,z）,贝.一.，

m-BA=2y=0

可取机=（1,0,-1）,

z、[m-BD=a-^b+c=0

设平面BOC的一个法向量〃二（4。©,则〈一，

mBC=2a=0

可取。=（0,1,-1）,

则cos佃/­\力m丽n=而1灵?1

所以二面角A—瓦＞—C的正弦值为=专.

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和

不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在

未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选

到的人患有该疾病福与然的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

度的一项度量指标，记该指标为几

⑴证