中考数学一轮复习考点帮（广东专用）专题07 不等式及不等式组（讲义）（解析版）

专题07不等式及不等式组核心知识点精讲理解不等式的的概念、解集；理解不等式的性质并能进行运用；了解一元一次不等式的概念与解法并能进行运用；掌握一元一次不等式组的概念及解法；掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；理解一元一次不等式组的整数解并能正确运用；掌握一元一次不等式（组）的实际应用。考点1不等式的概念与性质1.不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。3.不等式的性质：（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。考点2一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点3一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。（2）一元一次不等式组的解法：a分别求出不等式组中各个不等式的解集b利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。c根据公共部分写出不等式的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解（空集）考点4在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．考点5一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．考点6一元一次不等式应用列不等式组解应用题的一般步骤基本相似，包括：审清题意；（2）设未知数；（3）列不等式；（5）检验；（6）作答。【题型1：不等式的概念与性质】【典例1】（2023•清远一模）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80【答案】B【分析】直接根据题意可得50≤x＜80．【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．故选：B．【典例2】（2023•香洲区校级一模）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．ac2＞bc2 D．a【答案】D【分析】根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项．【解答】解：A、∵a＞b∴a﹣b＞0，故A不合题意；B、∵a＞b∴2a＞2b∴2a﹣1＞2b﹣1，故B不合题意；C、当c2＝0时，ac2＝bc2，故C不合题意；D、a＞b，则a3＞b故选：D．1．（2023•禅城区二模）若a＞b，则下列选项中，一定成立的是（）A．a+2＞b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b【答案】A【分析】根据a＞b和不等式的性子，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵a＞b，∴a+2＞b+2，故选项A正确，符合题意；a﹣2＜b﹣2，故选项B错误，不符合题意；2a＜2b，故选项C错误，不符合题意；﹣2a＞﹣2b，故选项D错误，不符合题意；故选：A．2．（2023•越秀区校级二模）若x＜y，且ax＜ay，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1【答案】A【分析】根据不等式的性质2得出答案即可．【解答】解：∵由x＜y能得出ax＜ay，∴a＞0，故选：A．3．（2023•高明区二模）已知a＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a+1＜b+1 B．a3＞b3 C．﹣3a＞﹣3b D．a﹣c【答案】B【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；由此即可解决问题．【解答】解：A、a＞b，则a+1＞b+1，故A不符合题意；B、a＞b，则a3＞bC、a＞b，则﹣3a＜﹣3b，故C不符合题意；D、a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D不符合题意．故选：B．4．（2023•龙华区二模）农户利用“立体大棚种植技术”把毛豆和芹菜进行混种，已知毛豆齐苗后棚湿在18～25℃最适宜，播种芹菜的最适宜温度是15～20℃．农户在毛豆齐苗后在同一大棚播种了芹菜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（）A．15～18℃ B．18～20℃ C．20～25℃ D．20℃以上【答案】B【分析】根据题意，设大棚温度为t°C，则18≤t≤2515≤t≤20【解答】解：设大棚温度为t°C，则18≤t≤2515≤t≤20解得18≤t≤20，∴这时应该把大棚温度设置在18～20℃最适宜．故选：B．5．（2023•龙川县一模）下列式子中，x＝2是它的解的是（）A．12x=1 B．x2﹣2x+1＝0 C．x＜0 【答案】A【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可．【解答】解：A、∵将x＝2代入原方程，左边＝1＝右边，∴A选项符合题意；B、∵将x＝2代入原方程，左边＝4﹣4+1＝1≠右边，∴B选项不符合题意；C、∵x＝2不是不等式x＜0的解，∴C选项不符合题意；D、∵x＝2不是不等式组x＞1x＞3∴D选项不符合题意．综上所述，A选项符合题意．故选：A．【题型2：一元一次不等式】【典例3】（2022•南海区校级模拟）下列各数中，是不等式3（2﹣x）+1＜0的解是（）A．﹣3 B．−12 C．5【答案】D【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：3（2﹣x）+1＜0，6﹣3x+1＜0，﹣3x＜﹣1﹣6，﹣3x＜﹣7，x＞7∴不等式3（2﹣x）+1＜0的解可以是：3，故选：D．1．（2023•东莞市校级二模）在平面直角坐标系中，点P（a﹣2，2）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＜0 D．a＞2【答案】A【分析】由点P（a﹣2，2）在第二象限，知a﹣2＜0，解之即可．【解答】解：∵点P（a﹣2，2）在第二象限，∴a﹣2＜0，解得a＜2，故选：A．2．（2023•深圳模拟）一元一次不等式x+43A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式即可求解．【解答】解：x+43去分母得：x+4≥6，解得：x≥2．故选：C．3．（2023•从化区二模）定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a+b；当a＜b时，a☆b＝a﹣b，例如：1☆（﹣2）＝1+（﹣2）＝﹣1，（﹣2）☆1＝﹣2﹣1＝﹣3．若（3m﹣1）☆（m+1）＞8，则m的取值范围为（）A．m＞2 B．m＞5 C．2＜m＜5 D．m＜2或m＞5【答案】A【分析】分3m﹣1≥m+1和3m﹣1＜m+1两种情况，根据新定义列出关于m的不等式，解之可得答案．【解答】解：当3m﹣1≥m+1，即m≥1时，3m﹣1+m+1＞8，解得m＞2，符合要求；当3m﹣1＜m+1，即m＜1时，3m﹣1﹣m﹣1＞8，解得m＞5，不符合要求，舍去；故选：A．4．（2023•高州市一模）解不等式1+2x3＞【答案】见试题解答内容【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后确定解集中的正整数解即可．【解答】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），去括号，得1+2x＞3x﹣3，移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，合并同类项，得﹣x＞﹣4，系数化为1，得x＜4，则不等式的正整数解为：1，2，3．【题型3：一元一次不等式组】【典例4】（2023•兴宁市二模）一元一次不等式组3x+2≥4x−54x−3＜21A．x＞8 B．7≤x＜8 C．x≤7 D．x＜6【答案】D【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：3x+2≥4x−5①4x−3＜21②解不等式①得：x≤7，解不等式②得：x＜6，∴原不等式组的解集为：x＜6，故选：D．1．（2023•光明区校级三模）不等式组x−1＜0x+1≥0A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断．【解答】解：在x−1＜0x+1≥0由x﹣1＜0得：x＜1，由x+1≥0得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜1．故选：A．2．（2023•南海区模拟）不等式组−3x＞65x−1A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由﹣3x＞6得：x＜﹣2，由5x−12−7≤0得：则不等式组的解集为x＜﹣2，将解集表示在数轴上如下：故选：B．3．（2023•南山区二模）不等式组x+4＞02(x+1)≥x−1的解集为x≥﹣3【答案】x≥﹣3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x+4＞0得：x＞﹣4，由2（x+1）≥x﹣1得：x≥﹣3，则不等式组的解集为x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．4．（2023•荔湾区校级二模）解不等式组3x−2＜2x2x−1≥x−2【答案】﹣1≤x＜2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由3x﹣2＜2x得：x＜2，由2x﹣1≥x﹣2得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，将解集表示在数轴上如下：【题型4：在数轴上表示不等式的解集】【典例5】（2023•鹤山市模拟）如图，不等式组x−1＜2−3x≤9A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：x−1＜2，①由①，得x＜3；由②，得x≥﹣3；故不等式组的解集是：﹣3≤x＜3；表示在数轴上如图所示：故选：A．1．（2023•盐田区二模）不等式组的解集如图所示，则该解集表示为（）A．﹣1＜x≤2 B．﹣1＜x＜2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x≤2【答案】A【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．【解答】解：由数轴上表示的不等式的解集，得﹣1＜x≤2，故选：A．2．（2023•宝安区校级三模）已知点P（2x+6，x﹣4）在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：∵点P（2x+6，x﹣4）在第四象限，∴2x+6＞0x−4＜0解得﹣3＜x＜4，解集在数轴上的表示为：故选：C．3．（2023•佛冈县二模）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是（）A．x≥0 B．x＜3 C．0≤x＜3 D．0＜x≤3【答案】C【分析】根据数轴上表示的解集找出公共部分即可解答．【解答】解：根据数轴可得：x≥0x＜3∴此不等式组的解集为0≤x＜3，故选：C．【题型5：一元一次不等式的整数解】【典例6】（2023•惠城区一模）下列数值不是不等式组2x+4＞0−x≥−1A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可作出判断．【解答】解：不等式组2x+4＞0①−x≥−1②由①得：x＞﹣2，由②得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，则﹣2不是不等式组的整数解．故选：A．1．（2023•三水区模拟）不等式组6x+3＞3(x+a)x2−1≤7−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由6x+3＞3（x+a）得x＞a﹣1，由x2−1≤7−32x【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a﹣1，由x2−1≤7−3∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、﹣1，∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，解得2≤a＜3或﹣1≤a＜0，符合条件的整数a的值为2和﹣1，故选：B．2．（2023•东莞市一模）不等式组3x−1＜x+3x−32＜x−1【答案】0，1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：由3x﹣1＜x+3得：x＜2，由x−32＜x﹣1得：则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，所以该不等式组的整数解为0，1，故答案为：0，1．3．（2023•潮南区模拟）解不等式组3x−1＜x+12(2x−1)≤5x+1【答案】见试题解答内容【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到最大整数即可．【解答】解：3x−1＜x+1①由①得：x＜1，由②得：x≥﹣3，则不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，则不等式组的最大整数解为0．【题型6：一元一次不等式的应用】【典例7】（2023•深圳模拟）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买1支定制钢笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢笔和2本纪念卡册共需140元．（1）求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共60件，总费用不超过1600元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？【答案】（1）每支定制钢笔的价格为30元，每本纪念卡册的价格为25元；（2）5种，见解析．【分析】（1）设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购买定制钢笔m支，则纪念卡册有（60﹣m）本，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．【解答】解：（1）解：设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为x、y元，依题意，得：x+4y=1303x+2y=140解得：x=30y=25答：每支定制钢笔的价格为30元，每本纪念卡册的价格为25元．（2）解：设购买定制钢笔m支，则纪念卡册有（60﹣m）本依题意，得：30m+25(60−m)≤1600解得：15＜m≤20∵m取整数，∴m＝16，17，18，19，20∴总共有5种方案，分别为：方案1：购买定制钢笔16支，纪念卡册44本；方案2：购买定制钢笔17支，纪念卡册43本；方案3：购买定制钢笔18支，纪念卡册42本；方案4：购买定制钢笔19支，纪念卡册41本；方案5：购买定制钢笔20支，纪念卡册40本．1．（2023•禅城区二模）日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．（1）足球与篮球的单价分别为多少元？（2）若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？【答案】（1）每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是70元．（2）15．【分析】（1）设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，根据“购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个篮球，则购买（50﹣m）个足球，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案．【解答】解：（1）设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，依题意得：20x+15y=205010x+20y=1900解得：x=50y=70答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是70元．（2）设购买m个篮球，则购买（50﹣m）个足球，依题意得：70m+50(50−m)≤280050−m≤3m解得：252∵m为整数，∴m的最大值为15，答：最多能买15个篮球．2．（2023•福田区模拟）某企业计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：540x解得：x＝90，当x＝90时，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，由题意得：90m+100(30−m)≥28301.2m+2(30−m)≤48解得：15≤m≤17，w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；∵﹣0.8＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．3．（2023•新兴县三模）某商场计划用7.8万元从同一供应商处购进A，B两种商品，供应商负责运输．已知A种商品的进价为120元/件，B种商品的进价为100元/件．如果售价定为：A种商品135元/件，B种商品120元/件，那么销售完后可获得利润1.2万元．（1）该商场计划购进A，B两种商品各多少件？（2）供应商计划租用甲、乙两种货车共16辆，一次性将A，B两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和B种商品12件，乙种货车可装A种商品20件和B种商品30件，试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（16﹣a）辆，由题意列出不等式组，解不等式组则可得出答案．【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．根据题意得：120x+100y=78000(135−120)x+(120−100)y=12000解得：x=400y=300答：购进A种商品400件，B种商品300件．（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（16﹣a）辆，则30a+20(16−a)≥40012a+30(16−a)≥300解得8≤a≤10．∵a为整数，∴a＝8，9，10．故有3种用车方案：①A种车8辆，B种车8辆；②A种车9辆，B种车7辆；③A种车10辆，B种车6辆．答：有3种用车方案：①A种车8辆，B种车8辆；②A种车9辆，B种车7辆；③A种车10辆，B种车6辆．一．选择题（共8小题）1．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（）A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6【答案】D【分析】分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，故本选项错误；B、∵x＞y，∴3x＞3y，故本选项错误；C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣2x＜﹣2y，故选项错误；D、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，∴﹣3x+6＜﹣3y+6，故本选项正确．故选：D．2．不等式组3x+1＞42x−1≤3A． B． C． D．【答案】C【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集的公共部分是不等式组的解集，可得答案．【解答】解：3x+1＞4①2x−1≤3②解得x＞1x≤2故选：C．3．小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80【答案】B【分析】直接根据题意可得50≤x＜80．【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．故选：B．4．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（）A．17 B．18 C．19 D．16【答案】B【分析】根据题意可得，关系式为：5×答对的题数﹣1×其余题数≥85，进而得出答案．【解答】解：设小明答对了x道题．则：5x﹣1×（20﹣x）≥85，解得：x≥17.5，∴小明至少答对了18道题．故选：B．5．已知关于x的不等式组x＜2x＞m无解，则mA．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．不能确定【答案】C【分析】根据不等式组x＜2x＞m无解，可以求出实数m【解答】解：由于不等式组x＜2x＞m所以m≥2，故选：C．6．下列说法不正确的是（）A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若a＜b，则ax2＜bx2 C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，则a+x＞b+x【答案】B【分析】根据不等式的性质，即可解答．【解答】解：A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b，此选项不合题意；B．当x＝0时，ax2＝bx2，此选项符合题意；C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b，此选项不合题意；D．若a＞b，则a+x＞b+x，此选项不合题意．故选：B．7．不等式组2x+3≥1x−1A．0个 B．2个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，解不等式x−12＜1，得：则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，∴其整数解有﹣1、0、1、2这4个，故选：C．8．满足x≤3的最大整数x是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据不等式x≤3得出选项即可。【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3，故选：C．二．填空题（共4小题）9．不等式组x−3＜02x+10＞0的解集是﹣5＜x＜3【答案】﹣5＜x＜3．【分析】分别解出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．【解答】解：解不等式x﹣3＜0，得x＜3；解不等式2x+10＞0，得x＞﹣5．∴该不等式组的解集为﹣5＜x＜3．故答案为：﹣5＜x＜3．10．若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是13．【答案】见试题解答内容【分析】先解不等式得到x＜13（m﹣1），再根据正整数解是1，2，3得到3＜1【解答】解：解不等式3x+1＜m，得x＜13（∵关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，∴3＜13（∴10＜m≤13，∴整数m的最大值是13．故答案为13．11．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程8﹣x＝x、7+x＝3（x+13）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的相伴方程，则m的取值范围为2≤【答案】见试题解答内容【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出m＜x≤m+2，根据x＝3、x＝4均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：解方程8﹣x＝x，得：x＝4，解方程7+x＝3（x+13），得：由x﹣2≤m，得：x≤m+2，由x＜2x﹣m，得：x＞m，∵x＝3、x＝4均是不等式组的解，∴m＜3且m+2≥4，∴2≤m＜3，故答案为：2≤m＜3．12．某学校医务室采购了一批水银温度计和额温枪，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．已知水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用不超过1000元，那么额温枪至多有4支．【答案】4．【分析】设额温枪有x支，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1000元，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．【解答】解：设额温枪有x支，根据题意得：5×10+230x≤1000，解得：x≤95又∵x为正整数，∴x的最大值为4，∴额温枪至多有4支．故答案为：4．三．解答题（共2小题）13．解不等式组：2(x+1)＞43x≤x+5【答案】1＜x≤5【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：2(x+1)＞4①3x≤x+5②解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤5则不等式组的解集为1＜x≤514．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设大地球仪为a个，则小地球仪为（30﹣a）个，根据要求购买的总费用不超过960元，列出不等式解答即可．【解答】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得：x+3y=1362x+y=132解得：x=52y=28答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）设大地球仪为a个，则小地球仪为（30﹣a）个，根据题意可得：52a+28（30﹣a）≤960，解得：a≤5，答：最多可以购买5个大地球仪．一．选择题（共8小题）1．已知关于x的不等式组3x−1＜4(x−1)x＜m无解，则mA．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3【答案】A【分析】先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的x的解集，将得到一个新的关于m不等式，解答即可．【解答】解：解不等式3x﹣1＜4（x﹣1），得：x＞3，∵不等式组无解，∴m≤3，故选：A．2．若点P（1−13m，mA．﹣5＜m＜3 B．﹣3＜m＜5 C．3＜m＜5 D．﹣5＜m＜﹣3【答案】C【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点P（1−13m∴1−1解不等式①得，m＞3，解不等式②得，m＜5，所以，m的取值范围是3＜m＜5．故选：C．3．不等式组4−x≥33x−1＞−10A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：解不等式4﹣x≥3，得：x≤1，解不等式3x﹣1＞﹣10，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，故选：D．4．不等式组2x+13−5x−36＜1⋯①−5≤2x−1≤5⋯②的解集是关于A．0＜a≤1 B．−1C．−13＜a≤1 D．−【答案】D【分析】先求出不等式组的解集，分为三种情况：a＞0、a＜0，a＝0，求出不等式ax＞﹣1的解集，再求出答案即可．【解答】解：2x+13解不等式①，得x＞﹣1，解不等式组②，得﹣2≤x≤3，所以不等式组的解集是﹣1＜x≤3，分为三种情况：①当a＜0时，不等式ax＞﹣1的解集是x＜−1∵不等式组是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，∴−1∴a＞−1②当a＞0时，不等式ax＞﹣1的解集是x＞−1∵不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，∴−1∴a≤1，③当a＝0时，ax＞﹣1变成0＞﹣1，此时不是一元一次不等式，舍去，即a的取值范围是−13＜a故选：D．5．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（）A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4【答案】A【分析】根据第二次运算结果不大于28且第三次运算结果要大于28列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．【解答】解：依题意，得：3(3x−2)−2≤283[3(3x−2)−2]−2＞28解得：2＜x≤4．故选：A．6．关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥xA．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥x有解，可以求得k【解答】解：由方程3﹣2x＝3（k﹣2），得x=9−3k∵关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，∴9−3k2≥0，得k≤3且9﹣3x−2(x−1)≤3①由①，得x≥﹣1，由②，得x≤k，∵关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x∴﹣1≤k，得k≥﹣1，由上可得，﹣1≤k≤3且9﹣3k能被2整除，∴符合条件的整数k的值为：﹣1，1，3，∴符合条件的整数k的值的和为：﹣1+1+3＝3，故选：C．7．已知关于x的不等式组x−a＞05−2x＞1有三个整数解，则aA．﹣2＜a＜﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1 D．﹣2＜a＜0【答案】B【分析】先把不等式组标号，求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定a的取值范围即可．【解答】解：x−a＞0①解不等式①得，x＞a，解不等式②得，x＜2，∴不等式组的解集是a＜x＜2，∵不等式组有3个整数解，∴整数解为﹣1、0，1，∴﹣2≤a＜﹣1．故选：B．8．若关于x的不等式组x−12≤1+x34x−a＞x+1有且只有8个整数解，关于yA．﹣8 B．﹣10 C．﹣8或﹣10 D．﹣8或﹣9或﹣10【答案】D【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．【解答】解：不等式组x−12解①得x≤5，解②得x＞a+1∴不等式组的解集为a+13＜∵不等式组有且只有8个整数解，∴﹣3≤a+1解得﹣10≤a＜﹣7；解分式方程2y+a+1y+9+99+y=1得y∵方程的解为非负数，∴﹣a﹣1≥0即a≤﹣1；综上可知：﹣10≤a＜﹣7；∵a是整数，∴a＝﹣8或﹣9或﹣10．故选：D．二．填空题（共4小题）9．如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是m＜−12【答案】m＜−1【分析】根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．【解答】解：根据题意得m＜0①1+2m＜0②解①得m＜0，解②得m＜−1则不等式组的解集是m＜−1故答案为：m＜−110．不等式组2x+3＞3xx+33−【答案】2．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进一步即可求解．【解答】解：2x+3＞3x①x+3由①得x＜3，由②得x≥﹣1，故原不等式组的解集﹣1≤x＜3，故原不等式组的整数解是﹣1，0，1，2．和为﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．11．若关于x的不等式组x2−1＜2−3x3a−3＜4x−2有且仅有3个整数解，a【答案】﹣7≤a＜﹣3．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：x2解不等式①得：x＜10解不等式②得：x＞a−1∵关于x的不等式组x2∴﹣2≤a−1∴﹣7≤a＜﹣3，故答案为：﹣7≤a＜﹣3．12．已知x满足不等式组2x＞−4x2−1≤3−【答案】4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：2x＞−4①x解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤2，∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤2，∴原不等式组的整数解为﹣1，0，1，2共4个．故答案为：4．三．解答题（共4小题）13．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号销售收入第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解．【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：3x+5y=18004x+10y=3100解得：x=250y=210答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元．14．2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品．某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件．已知购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且A型号兔子挂件比B型号兔子挂件每件贵15元．（1）该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？（2）该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定为48元，30元．假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价（x﹣15）元，根据购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元列出方程，解方程即可；（2