2020年全国中考数学真题分类汇编：《圆》解答题（含答案解析）

2020年全国中考数学真题分类精选汇编：《圆》解答题(一)

含答案解析

1.(2020•大连)四边形ABCQ内接于。0,AB是。0的直径，AD=CD.

(1)如图1,求证NABC=2/ACD；

(2)过点力作00的切线，交8c延长线于点P(如图2).若tan/C4B=巨，BC=1,

求的长.

2.(2020•盘锦)如图，BC是00的直径，4。是00的弦，AC交BC于点E,连接A8,

CD,过点E作EF_LAB,垂足为F,NAEF=ND.

(1)求证：ADLBC；

(2)点G在BC的延长线上，连接AG,ZDAG=2ZD.

①求证：AG与。0相切；

②当空=2,CE=4时，直接写出CG的长.

BF5

3.如图，IXABC内接于。0,AD平分NBAC交BC边于点E,交。。于点D,过点A作

AFLBC于点尸，设。。的半径为R,AF=h.

(1)过点。作直线MN〃8C,求证：MN是。。的切线;

(2)求证：AB-AC=2R*h；

(3)设/BAC=2a,求维登•的值(用含a的代数式表示).

AD

4.(2020•陕西)如图，直线4M与。。相切于点A,弦8C〃AM,连接80并延长，交

于点E,交AM于点凡连接CE并延长，交4W于点£).

(1)求证：CE//OA,

(2)若。O的半径R=13,BC=24,求A尸的长.

5.(2020•贵港)如图，在△A8C中，AB=AC,点。在2C边上，£LAD=BD,。0是4

4C。的外接圆，4E是。。的直径.

(1)求证：AB是。0的切线；

(2)若4B=2捉，4。=3,求直径4E的长.

6.(2020•广安)如图，AB是。。的直径，点E在A6的延长线上，AC平分/D4E交。。

于点C,ACQE于点D

(1)求证：直线。E是。。的切线.

(2)如果BE=2,CE=4,求线段4。的长.

7.(2020•广西)如图，在RtZ\4BC中，/84C=90°,以AB为直径的。。交BC于点E,

点。为AC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是OO的切线.

(2)若CE=1,OA=M，求NAC8的度数.

8.(2020•柳州)如图，A8为。。的直径，C为。。上的一点，连接AC、BC,OOLBC于

点E,交。。于点D,连接CD、AD,AD与BC交于点F,CG与BA的延长线交于点G.

(1)求证：△ACQsaCFZ)；

(2)若/CD4=/GC4,求证：CG为。。的切线；

(3)若sin/C4D=」，求tan/CDA的值.

3

9.(2020•陕西)问题提出

(1)如图①，等边4ABC有条对称轴.

问题探究

(2)如图②，在RtAABC中，NA=90°,ZC=30°,BC=\5,等边△£■「P的顶点E,

F分别在BA,BC上，且BE=BF=2.连接8P并延长，与AC交于点P',过点尸'作

P'E'〃PE交AB于点E',作P'F'//PF交BC于前F',连接E'F',求S#b

F'.

问题解决

(3)如图③，是一圆形景观区示意图，。。的直径为60〃?，等边aABP的边是。。

的弦，顶点P在。0内，延长AP交。0于点C,延长8尸交0。于点。，连接CD现

准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪.按照预算，要求花卉种

植面积尽可能小，求花卉种植面积(SAPAB+SAPCD)的最小值.

D^—^C

A:"

BCBFF'

图①图②图③

10.(2020•兰州)如图，在RtAAOB中,乙4。8=90°,。4=08,点C是AB的中点，以

OC为半径作。0.

(1)求证：A3是。。的切线：

(2)若OC=2,求OA的长.

B

11.（2020•日照）阅读理解：

如图1,RtZ\ABC中，a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边，/C=90°,其外接圆半

径为R.根据锐角三角函数的定义：sirt4=且，sinB=电，可得——=_J?——c—2R,

ccsinAsinB

即：—^―=—^―=—S_=2/?,（规定sin90°=1）.

sinAsinBsinC

探究活动：

如图2,在锐角△ABC中，a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边，其外接圆半径为K,

那么：（用＞、=或＜连接），并说明理由.

sinAsinBsinC

事实上，以上结论适用于任意三角形.

初步应用：

在△ABC中，a,b,c分别是NA,NB,NC的对边，NA=60°,ZB=45°,〃=8,

求b.

综合应用：

如图3,在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶

C的仰角为15°,又沿古塔的方向前行了100机到达8处，此时A,B,。三点在一条直

线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°,求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）.（我

-1.732,sinl50=近迹）

4

12.（2020•济南）如图，AB为。。的直径，点C是。。上一点，CQ与。。相切于点C,

过点A作A£»_LOC,连接AC,BC.

（1）求证：AC是/DAB的角平分线;

（2）若4力=2,A8=3,求AC的长.

D

C

13.(2020•西藏)如图所示，AB是00的直径，AO和BC分别切。0于A,B两点,CD

与。。有公共点E,且AD=DE.

(1)求证：CQ是。。的切线；

(2)若AB=12,8c=4,求AO的长.

14.(2020•德阳)如图，在。0中，弦AB与直径C。垂直，垂足为M,C£>的延长线上有

一点P,满足/P8O=/D48.过点P作PN，C£>,交0A的延长线于点N,连接。N交

AP于点H.

(1)求证：8P是。。的切线；

(2)如果04=5,AM=4,求PN的值;

(3)如果PD=PH,求证：AH・OP=HP，AP.

B

15.(2020•葫芦岛)如图，四边形ABCD内接于。0,AC是直径，AB^BC,连接8£>,过

点。的直线与C4的延长线相交于点E,且/ED4=/ACD

(1)求证：直线。E是。。的切线；

(2)若AO=6,CO=8,求的长.

16.(2020•鞍山)如图，A8是。O的直径，点C,点。在00上，AC=CD.AO与BC相

交于点E,A尸与。。相切于点4与BC延长线相交于点E

(1)求证：AE=AF.

(2)若E尸=12,sin/ABF=3,求0。的半径.

17.(2020•桂林)如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中

/CA8=30°,ZDAB=45Q，点。为斜边A8的中点，连接C£>交AB于点E.

(1)求证：A,B,C,。四个点在以点。为圆心的同一个圆上；

(2)求证：CQ平分NACB；

(3)过点。作。F〃BC交AB于点凡求证：BO2+OF2^EF-BF.

18.(2020•赤峰)如图，AB是。。的直径，AC是。。的一条弦，点P是。。上一点，且

PA=PC,PD//AC,与84的延长线交于点。.

(1)求证：是O。的切线；

(2)若tan/B4c=2,AC=12,求直径A8的长.

3

19.(2020•河池)如图，AB是。0的直径，4B=6,OCLAB,OC=5,BC与。。交于点£»,

点E是俞的中点，EF//BC,交OC的延长线于点F.

(1)求证：E尸是。。的切线；

(2)CG//OD,交AB于点、G,求CG的长.

20.(2020•沈阳)如图，在△ABC中，NACB=90°,点。为BC边上一点，以点。为圆

心，OB长为半径的圆与边A8相交于点O,连接。C,当。C为。。的切线时.

(1)求证：DC=AC；

(2)若DC=DB,。。的半径为1,请直接写出的长为.

21.(2020•大庆)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点。，连接

AD,过点。作。M_L4C,垂足为例，AB、M。的延长线交于点N.

(1)求证：MN是。。的切线；

(2)求证：DN2=BN«BN+AC)；

(3)若BC=6,cosC=3,求CW的长.

22.(2020•包头)如图，A8是。。的直径，半径OCd_A8,垂足为。，直线/为。。的切线，

A是切点，。是OA上一点，CO的延长线交直线/于点E,尸是08上一点，CF的延长

线交。0于点G,连接AC,AG,己知。。的半径为3,CE=V34，5BF-5AO=4.

(1)求AE的长；

(2)求cos/CAG的值及CG的长.

23.(2020•宿迁)如图，在△ABC中，力是边BC上一点，以80为直径的。0经过点A,

且NC4Q=NABC.

(1)请判断直线AC是否是OO的切线，并说明理由:

(2)若C£>=2,CA=4,求弦A8的长.

24.(2020•镇江)如图，0ABe。中，NABC的平分线80交边4。于点0,00=4,以点

0为圆心，0D长为半径作。0,分别交边DA.DC于点M、N.点、E在边BC上，0E

交OO于点G,G为诵的中点.

(1)求证：四边形ABE。为菱形：

(2)已知cosNA8C=2，连接AE,当AE与。0相切时，求48的长.

3

25.(2020•鄂尔多斯)我们知道,顶点坐标为(h,k)的抛物线的解析式为y=a(…)2+k

QW0).今后我们还会学到，圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的方程(x-«)2+(y

-b)2=乙如：圆心为P(-2,1),半径为3的圆的方程为(x+2)2+(y1)2=%

(1)以用(-3,-1)为圆心，遍为半径的圆的方程为.

(2)如图，以8(-3,0)为圆心的圆与y轴相切于原点，C是。B上一点，连接。C,

BDA.OC,垂足为O,延长8。交y轴于点E,已知sin/AOC=旦.

5

①连接EC,证明：EC是©B的切线；

②在8E上是否存在一点。，使QB=QC=QE=Q。？若存在，求点。的坐标，并写出

以。为圆心，以为半径的。。的方程；若不存在，请说明理由.

26.（2020•绵阳）如图，在矩形A8CC中，对角线相交于点O,O"为△BCD的内切圆，

切点分别为N,P,Q,DN=4,BN=6.

（1）求8C,CD；

（2）点，从点A出发，沿线段A力向点O以每秒3个单位长度的速度运动，当点”运

动到点力时停止，过点，作小〃BO交AC于点/,设运动时间为f秒.

①将△AH/沿AC翻折得△AH'I,是否存在时刻f,使点H'恰好落在边BC上？若存

在，求f的值；若不存在，请说明理由；

②若点尸为线段C。上的动点，当△0万/为正三角形时，求，的值.

（备用图）（备用图）

27.（2020•雅安）如图，四边形ABCO内接于圆，NABC=60°,对角线BO平分NAOC.

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）过点B作8E〃。交D4的延长线于点E,若AQ=2,DC=3,求aBOE的面积.

28.（2020•宁夏）如图，在aABC中，NB=90°,点。为AC上一点，以C。为直径的。。

交A8于点E,连接CE,且CE平分NAC&

（1）求证：AE是。。的切线;

29.(2020•云南)如图，AB为。0的直径，C为上一点，ADA.CE,垂足为。，AC平

分NDAB.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若40=4,cosZCAB=—,求AB的长.

30.(2020•黄石)如图，在RtZiABC中，ZC=90°,AO平分NBAC交BC于点。，。为

上一点，经过点A、。的。0分别交AB、AC于点E、F.

(1)求证：BC是的切线；

(2)若BE=8,sinB=W,求。。的半径；

13

(3)求证：AD2=AB'AF.

31.(2020•广西)如图，在aACE中，以AC为直径的。。交CE于点O,连接A。，且/

DAE^ZACE,连接。。并延长交AE的延长线于点尸，P3与。0相切于点&

(1)求证：AP是00的切线；

(2)连接AB交OP于点F,求证：△放QS/\D4E；

(3)若tan/OAF=2，求处的值.

32.(2020•绵阳)如图，ZVIBC内接于。0,点。在。。外，ZADC=90°,8。交。。于

点E,交AC于点F,ZEAC=ZDCE,ZCEB=ZDCA,CD=6,AZ)=8.

(1)求证：AB//CD；

(2)求证：8是。。的切线;

(3)求tan/AC8的值.

33.(2020•十堰)如图，A8为半圆。的直径，C为半圆。上一点，A。与过点C的切线垂

直，垂足为。，A。交半圆。于点E.

(1)求证：AC平分ND4B；

(2)若AE=2DE,试判断以。，A,E,C为顶点的四边形的形状，并说明理由.

34.(2020•毕节市)如图，已知AB是的直径，。。经过的直角边0c上的点

F,交AC边于点E,点尸是弧EB的中点，ZC=90°,连接AE

(1)求证：直线CQ是0。切线.

(2)若B£>=2,OB=4,求tan/AFC的值.

35.(2020•邵阳)如图，在等腰AABC中，AB=AC,点。是BC上一点，以BQ为直径的

OO过点A,连接A。，ZCAD^ZC.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若AC=4,求。0的半径.

36.(2020•呼和浩特)某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行

研究，发现多处出现著名的黄金分割比叵1七0.618.如图，圆内接正五边形ABCOE,

2

圆心为O,OA与BE交于点H,AC、与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的

对称性，只对部分图形进行研究.(其它可同理得出)

(1)求证：是等腰三角形且底角等于36°,并直接说出△BAN的形状；

(2)求证：现屈，且其比值左=1二1；

BNBE2

(3)由对称性知AOLBE,由(1)(2)可知迪也是一个黄金分割数，据此求sinl8°

BM

的值.

37.(2020•玉林)如图，AB是00的直径，点。在直径AB上(。与A,8不重合)，CD

±AB,且C£>=A8,连接CB,与。。交于点F,在CO上取一点E,使EF=EC.

(1)求证：EF是的切线；

(2)若力是的中点，AB=4,求CF的长.

38.(2020•东营)如图，在△48C中，以AB为直径的。。交4c于点M,弦MN〃BC交

AB于点E,且ME=3,AE=4,AM=S.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)求。。的直径AB的长度.

39.(2020•益阳)如图，OM是。0的半径，过M点作的切线AB,且M4=M8,OA,

0B分别交。。于C,D.求证：AC=BD.

40.(2020•丹东)如图，已知△A8C,以AB为直径的00交AC于点Q,连接B£),ZCBD

的平分线交OO于点E，交4c于点F,且AF=A&

(1)判断BC所在直线与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若tanNFBC=」，DF=2,求。。的半径.

3

2020年全国中考数学真题分类精选汇编：《圆》解答题（一）

参考答案与试题解析

一.解答题（共40小题）

1.（2020•大连）四边形内接于OO,AB是。。的直径，AD^CD.

(1)如图1,求证/ABC=2/AC£)；

（2）过点。作。。的切线，交BC延长线于点P（如图2）.若tanNCAB=_",BC=1,

12

求PD的长.

图1

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出NOAC=NAC。，由圆内接四边形的性质得出N

ABC+ZADC=\S00,则可得出答案；

（2）由切线的性质得出NO£>P=90°,由垂径定理得出/。EC=90°,由圆周角定理N

ACB=90°,可得出四边形。ECP为矩形，则。P=EC,求出EC的长，则可得出答案.

【解答】（1）证明：•.•4D=C。，

:.NDAC=NACD,

：.ZADC+2ZACD=\S0°,

又；四边形ABC。内接于。0,

.•./4BC+/AOC=180°,

：.ZABC=2ZACD；

（2）解：连接。。交AC于点E,

B

图2

是。。的切线，

：.OD±DP,

：.ZODP=90a,

XVAD=CD,

A0D1AC,AE=EC,

N£)EC=90°,

是。。的直径，

AZACB=90°,

：.ZECP=90a,

...四边形。EC尸为矩形，

：.DP=EC,

：tan/C4B=-L,BC=1,

12

•CB15

"AC=AC=12,

：.AC=^,

5

.•.EC=LC=2,

25

：.DP=^-.

5

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理的应用，圆内接四边形的性质，垂径定理,

解直角三角形等知识，熟练切线的性质是解题的关键.

2.(2020•盘锦)如图，BC是。。的直径，AO是。0的弦，AD交BC于点E,连接AB,

CD,过点E作垂足为F,ZAEF=ZD.

(1)求证：AD±BC；

(2)点G在8C的延长线上，连接AG,ZDAG=2ZD.

①求证：AG与。0相切；

②当空上，CE=4时，直接写出CG的长.

BF5

【分析】(1)想办法证明N8+N84E=90°即可解决问题.

(2)①连接0A,想办法证明04LAG即可解决问题.

②过点C作C〃J_AG于".设CG=尤，GH=y,利用相似三角形的性质构建方程组解决

问题即可.

【解答】(1)证明：・・・M_LA8,

AZAFE=90°,

・・・NAE尸+NE4b=90°,

■:/AEF=/D,NABE=ND,

，乙48E+NE4尸=90°,

AZAEB=90°,

：.AD1.BC.

(2)①证明：连接04,AC.

'：AD-LBCt

：.AE=ED,

：.CA=CD,

：.ZD=ZCAD,

NGAE=2ND,

JZCAG=ZCAD=ND,

,:OC=OAf

：.ZOCA=ZOACf

•；/CEA=90°,

.\ZCAE+ZACE=90°,

：.ZCAG+ZOAC=90°,

・・・0A_L4G,

JAG是。。的切线.

②解：过点C作CH_LAG于设CG=JGGH=y.

•・・C4平分/GAE,C”J_AG,CE±AE9

:・CH=CE,

VZAEC=ZAHC=90°,AC=ACfEC=CH,

Z.RtAACE^RtAAC//(HL),

・・・AE=AH,

9：EFLAB.BC是直径，

；・NBFE=NBAC,

：.EF//AC,

ECAF_2,

*A*BE=BF=T

VCE=4,

：.BE=IO,

•；BCLAD,

/.AC=CD.

：.ZCAE^ZABC,

；NAEC=NAEB=90°,

XAEBsXCEk,

.AE=EB

"CEEA)

."£12=4X10,

'：AE>0,

.\AE=2^/10.

：.AH=AE^2^10,

：ZG=ZG,ZCHG=ZAEG=90°,

:.△GHCs^GEA,

•丝=班=竺

"GEEA蕊，

...y_4_x

x+42V102V104y

解得了=毁.

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，相似三角

形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常

考题型.

3.如图，ZiABC内接于。。，AQ平分/BAC交BC边于点E,交。。于点Q,过点A作

AFJ_BC于点F,设OO的半径为R,AF=h.

(1)过点。作直线MN〃BC,求证：MN是。。的切线；

(2)求证：AB・AC=2R・h；

(3)设NBAC=2a,求维螫•的值(用含a的代数式表示).

【分析】(1)连接0。，由角平分线的性质可得/BAO=/C4。，可得标=而，由垂径

定理可得OOJ_BC,可证。可得结论；

(2)连接A。并延长交。。于H,通过证明△ACFs/\AHB,可得空■望，可得结论；

AHAB

(3)由“HL”可证RtADQB^RtADPC,Rt^DQA^Rt/XDPA,可得BQ=CP,AQ=

AP,可得A8+AC=2AQ,由锐角三角函数可得A£>=—^―即可求解.

cosa

【解答】解：(1)如图1,连接OQ,

MDN

图1

平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

•**BD=CD>

又：。。是半径，

OD±BC,

■:MN//BC,

：.ODLMN,

...MN是。。的切线；

(2)如图2,连接AO并延长交00于H,连接8H,

MDN

图2

:AH是直径，

:.NABH=90°=AAFC,

XVNAHB=NACF,

△ACUXAHB,

.ACAF

•------------，

AHAB

：.AB'AC=AF'AH=2R'h；

(3)如图3,过点。作OQ_LAB于Q,DP±AC,交AC延长线于P,连接CQ,

图3

'：ZBAC=2a,AO平分/8AC,

ZBAD—ZCAD—a,

・,・前=而,

:・BD=CD,

a

：ZBAD=ZCADfDQl.ABfDP1.AC,

：.DQ=DPf

：.Rt/\DQB^Rt/\DPC(HL),

:,BQ=CP,

t：DQ=DP,AD=AD,

：.Rt/\DQA^Rt/\DPA(HL),

：.AQ=AP,

：.AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,

*.*cosZBAD=-^-,

AD

：.AD=AQ,

cosa

.AB+AC2AQ

==2cosa.

AD-AQ

cosa

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判

定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是

本题的关键.

4.(2020•陕西)如图，直线AM与。。相切于点A,弦BC〃AM,连接B。并延长，交。。

于点E,交AM于点F,连接CE并延长，交AM于点D

(1)求证：CE//OA；

(2)若的半径R=13,BC=24,求AF的长.

【分析】(1)根据平行线的性质和切线的性质定理即可得到结论;

(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：是。。的直径,

C.CELBC,

"JBC//AM,

J.CDVAM,

是。0的切线,

：.OA±AM,

：.CE//OA；

(2)解：:。。的半径R=13,

：.OA=\3,BE=26,

,.•BC=24,

--.CE=^BE2_BC2=10,

"JBC//AM,

二NB=NAFO,

'：ZC=ZA=90",

:.丛BCEsXFAO,

.BCCE

••二,,

AF0A

•2410

•-------二,,

AF13

156

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，

圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键.

5.(2020•贵港)如图，在△ABC中，AB=AC,点。在BC边上，±LAD=BD,。。是4

AC。的外接圆，AE是00的直径.

(1)求证：A3是。。的切线：

(2)若AB=2娓,A£>=3,求直径AE的长.

【分析】(1)连接。E,根据等腰三角形的性质得到NB=NC,等量代换

得到根据圆周角定理得到/AOE=90°,得到/B4E=90°,于是得到结

论；

(2)作AHLBC,垂足为点H,证明△ABCSADBA,由相似三角形的性质得出笆_里，

BDAB

求出8c的长，证明△AEDS^ABH,得出岖M,则可求出答案.

ABAH

■：AB=AC,AD=BD,

AZB=ABAD,NB=NC,

:./C=NE,

：.ZE^ZBAD,

是OO的直径，

/.ZAD£=90°,

/.ZE+Z£>A£=90°,

：.ZBAD+ZDAE^90°,

即NBAE=90°,

：.AE1.AB,

直线AB是。。的切线；

(2)解：如图2,作A”_LBC,垂足为点H,

"：AB=AC,

：.BH=CH,

；NB=NC=NBAD,

二AABCS^DBA,

•ABBC

"BD"AB"

即AB2=BD-BC,

又48=2遥，8O=AC=3,

:.BC=8,

在RtZVIB//中，BH=CH=4,

/MW=VAB2-BH2=7(2V6)2-42=2^2,

,:NE=NB,NADE=NAHB,

:.△AEDs^ABH,

•.--A-E-=-.-AD->

ABAH_

.AB・AD=2西孕=3T

AH2A/2

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角

定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

6.(2020•广安)如图，A8是。0的直径，点E在A2的延长线上，AC平分/D4E交。。

于点C,AD_LDE于点。.

(1)求证：直线QE是。。的切线.

(2)如果B£=2,CE=4,求线段AC的长.

D

【分析】(1)连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出NZMC=/ACO,则

AD//OC,证得NOCE=90°,则可得出结论；

(2)连接BC,证明△CBES/SAEC,由相似三角形的性质得出《殳叵皿工」，

ACCEAE42

由勾股定理求出AC的长，证明4cs△C4B,得出处工2,则可求出答案.

ACAB

【解答】证明：(1)如图1,连接OC,

D

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

平分ND4E,

：.ZDAC^ZOAC,

：./£>AC=ZACO,

：.AD//OC,

VAD±DE,

・・・NA£>C=90°,

ZOCE=乙ADC,

：.ZOCE=90°,

・・・OE是。。的切线；

(2)解：如图2,连接BC,

VZOCE=90°,

：.ZOCB+ZBCE=90°,

・・・45是。。的直径，

ZACB=90°,

・・・NCAB+NOBC=90°,

■:OB=OC,

：.ZOCB=ZOBCf

：.ZBCE=ZCAB,

•；NCEB=NAEC,

:ACBESAAEC,

・CB二第二—1

**AC'CE=AE=T=??

・"E=8,

.\AB=6,

设C8=x,则AC=2x,

•：AC2+BC2=AB2,

(2x)2=62,

"：ZDAC=ZCAB,ND=NACB=90°,

：./\DAC^/\CAB,

•••DA=AC>

：.AD=^.

5

【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定

理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常

考题型.

7.(2020•广西)如图，在RtZ\48C中，N8AC=90°,以AB为直径的。0交BC于点E,

点。为AC的中点，连接。E.

(1)求证：OE是。O的切线.

(2)若CE=1,OA=M，求NAC8的度数.

【分析】(1)连接0。，OE,根据点。是AC的中点，。是AB的中点，可得OD〃BC,

证明△AOO丝△E。。，可得NOEQ=/O4O=90°,

A£=2

(2)连接AE,设AD=CD=x,可得VAC-CE2=74x2-V证明△AECs4

BEA,可得生=22,可得关于x的方程，求出AC的长，进而可得N4CB的度数.

AEAB

【解答】(1)证明：如图，连接。。，OE,

"：OB=OE,

：.ZOBE=ZOEB,

•.•点。是AC的中点，。是A8的中点,

OD//BC,

：.ZOBE=ZAOD,ZOEB=ZDOE,

：.ZAOD=ZEOD,

在△AO。和△£»力中，

'OD=OD

<ZA0D=ZE0D>

0A=0E

A(SAS),

：.ZOED^ZOAD=9Q°,

，OELDE,

是(DO的切线；

(2)解：如图，连接AE,

'：AB为OO直径，

AZAEB=ZAEC=90°,

；点。为4c的中点，

.•.设AO=CQ=x,

/M£=VAC2-CE2=V4x2-r

VZC+ZCA£=90°,ZBA£+ZCAE=90°,

:.NC=NBAE,

：./\AEC^/\BEA,

ACE=ACJ

"AEAB"

.12x

4乂2-产遍,

两边平方，得

(4X2-1)xz=3,

整理，得4?-J-3=0,

(/-I)(4?+3)=0,

(x2-1)=0或(4x2+3)—0,

解得，x=±l(负值舍去)，(4?+3)=0无解,

/•X=1,

：.AC=2x=2f

•\cos/C=%=2，

AC2

AZC=60°.

答：/4C8的度数为60°.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定，圆心角定理，

正确的作出辅助线是解题的关键.

8.(2020•柳州)如图，AB为。。的直径，C为O。上的一点，连接AC、BC,0£>J_3c于

点E,交。0于点D,连接CD、AD,AD与BC交于点F,CG与BA的延长线交于点G.

(1)求证：MACDs[XCFD；

(2)若/CD4=NGC4,求证：CG为。。的切线；

【分析】(1)由垂径定理得合=俞，由圆周角定理得再由公共角乙4OC

=ZCDF,即可得出△ACQsaCFQ；

(2)连接0C,由圆周角定理得NAC8=90°,则NA8C+/CAB=90°,由等腰三角形

的性质得/OBC=NOC8,证出/OCB=NGC4,得出NOCG=90°,即可得出结论；

(3)连接BD,由圆周角定理得NCAD=/CB。，则sinNC44=sinNCBO=些=工，

BD3

设。E=x,OD=OB=r,则OE=r-x,8O=3x,由勾股定理得BE=2圾X,则BC=

2BE=4>/2X,在RtZ\OBE中，由勾股定理得(r-x)?+(2A/5X)2=解得厂=9方

2

则AB=2r=9x,由勾股定理求出AC=7x,由三角函数定义即可得出答案.

【解答】(1)证明：•••ODLBC,

.•.CD=BD.

；.NCAD=/FCD,

又•:NADC=NCDF,

：.AACD^ACFD；

(2)证明：连接OC,如图1所示：

；AB是。0的直径，

...NACB=90°,

...NABC+NC4B=90°,

•：OB=OC,

：.ZOBC^ZOCB,

'：ZCDA=ZOBC,ZCDA=ZGCA,

：.ZOCB=ZGCA,

：.ZOCG=ZGCA+ZOCA=ZOCB+ZOCA=90°,

：.CG±OC,

；oc是。。的半径，

，CG是。。的切线；

(3)解：连接BQ,如图2所示：

,：ZCAD^ZCBD,

'JOD1.BC,

.,.sinNC4£>=sinNCBQ=^^=2，BE=CE,

BD3

设£>E=x,OD=OB=r,则。E=r-x,BD=3x

在Rt^BDE中，BE=2圾X，

A/B[)2_DE2=^9X2,X2=

：.BC=2BE=4>/2X,

在Rt^OBE中，OE2+B烂=OB2,

即(r-x)2+(2A/^X)2=凡

解得：r=9x,

2

，A3=2/*=9x,

在RtzMBC中，AC2+BC2=AB2,

：.AC2+(4A/2X)2=(9x)2,

：.AC=7x^AC=-lx(舍去),

7近

AtanZCDA=tanZCBA=^-='2

BC啦x8

图1

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角

形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练

掌握圆周角定理、垂径定理和勾股定理是解题的关键.

9.(2020•陕西)问题提出

(1)如图①，等边△ABC有3条对称轴.

问题探究

(2)如图②，在RtZ!\A8C中，ZA=90°,NC=30°,8c=15,等边△£：下「的顶点E,

F分别在84,8c上，且BE=BF=2.连接BP并延长，与4C交于点P',过点尸'作

P'E1//PE交AB于点E',作P'F'//PF交BC于点F',连接E'F',求弘「E，

F.

问题解决

(3)如图③，是一圆形景观区示意图，OO的直径为60m，等边△AB尸的边AB是。。

的弦，顶点P在。。内，延长AP交。。于点C,延长BP交。。于点。，连接CD现

准备在△办8和△PCC区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪.按照预算，要求花卉种

植面积尽可能小，求花卉种植面积(SNAB+S"CD)的最小值.

图①图②图③

【分析】(1)由等边三角形的性质可求解；

(2)通过证明四边形BFPE是菱形，可得2P平分NABC,由锐角三角函数可求ET=

P'E=5,同理可求。产的长，由三角形的面积公式可求解；

(3)通过等边三角形的面积公式可求S△用8+5a8=返/+返CAC-x)2=返(Zx2

444

-2cA・x+C42),由二次函数的性质可得当x=2G时，S△以B+SMC。有最小值，即可求解.

2

【解答】解：(1)等边三角形有三条对称轴，是它的三边的垂直平分线，

故答案为:3；

(2)在中，ZA=90°,ZC=30°,

・・・NA8C=60°,

•:BE=BF,

•••△3"是等边三角形,

：.ZBFE=6O0,

:△PE尸是等边三角形,

AZPEF=60°=NBFE,

：.PE//BC,

同理，PF//AB,

...四边形BFP£是平行四边形，

又,：BE=BF,

.“BFPE是菱形,

，B/平分/4BC,

AZABP'=^ZABC=30°,

2

在RtZXABC中，ZC=30°,BC=15,

."8=』3。=工，

22

在RtZXABP'中，/A8P'=30°,tan300=^L_

_AB

.,.4P'=A8tan30°

6

'：P'E//BC,

.'.NAP'E=30°,

在RtZ\4PE中，cos30°=_^—,

P，E，

cos300

同理可证，尸是等边三角形，

：.EF=P'E'=5,

如图②，EF与的交点记作点0,

图②

同理得，四边形BFPE1是菱形，

：.BP'A.EF,NOP'E=JLNEPF=30°,

2

AOP'=P'Ecos-iQQ

2_

:.SwEF=」E『OP'=25宜.；

24

(3)设AB的长为x,则CP=AC-x,

「△APB是等边三角形，

：.AB=PB=APfN4=NB=60°,

.*.ZC=ZB=60°,ZD=ZA=60Q,

•••△PCD是等边三角形，

；.s△以B+S"CD=®/+返(AC-X)2=返(2?-2CA«x+CA2),

444

.•.当x=.儿上-=生■时,SAPAB+S&PCD，

2X22

：.AB=AP=PC,

：.DP=BP,

此时点P与点O重合，则AC是直径，

•••。0的直径为60m

：.FA=PB=AB=30Cm),

.”△以《+1户8最小值=45(h/^(m2).

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的判定和性质，菱形的

判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用二次函数的性质求最值是本

题的关键.

10.(2020•兰州)如图，在RtZXAOB中，NAOB=90°,0A=08,点。是AB的中点，以

OC为半径作OO.

(1)求证：AB是。。的切线；

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出OCLAB,根据切线的判定定理即可证得结论;

(2)根据直角三角形斜边中线的性质求得48,然后根据三角形面积公式即可求得.

【解答】(1)证明：；。4=08,点C是A8的中点，

OCA.AB,

•••OC为。。的半径,

...A8是。。的切线；

（2）:△AOB是等腰直角三角形，点C是A8的中点，

OC1AB,AB=2OC=4,

7-|O/l2：=yAB-0C-

：.OA=72X4=2®

【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形的性

质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

11.（2020•日照）阅读理解：

如图1,Rt/XABC中，a,b,c分别是/A,NB,/C的对边，/C=90°,其外接圆半

径为R.根据锐角三角函数的定义：sinA=旦，sinB=2可得一7a