平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理

[文件]sxcbk0078.doc[科目]数学[关键词]初二/几何/中位线/例题[标题]平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理[内容]平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理【内容综述】1.三角形中位线性质定理，梯形中位线性质定理，是三角形、梯形的重要性质。特别是三角形中位线，是继三角形的角平分线、中线、高线后的又一条重要线段。因此在研究三角形问题中，三角形中位线是常常需要添加的辅助线。

2.在复杂图形中，通过观察图形，联系已知条件，联想并构造平行线等分线段定理、三角形中位线定理及梯形中位线定理的基本图形。定理与基本图形的对应关系，是我们正确联想，添加辅助线，将复杂问题转化为简单问题，将不熟悉问题转化为熟悉问题，形成思路的关键环节。

【例题分析】

★例1：如图，MN分别是平形四边形ABCD中AB、CD的中点，CM交BD于E，AN交BD于F，求证：BE=EF=FD

思路：观察图形，若要证在同一条直线上的三条线段相等，联想相关的定理，显然是需要构成“平行线等分线段定理的”基本图形，由于M.N分别是AB、CD的中点，因此有AM=MB，DN=NC，若有AN∥MC，则可构造出一组平行线，从而使问题得证。这样，推证AN∥MC成为解决问题的关键。

由于ABCD是平行四边形，因此有AB//=CD，由于M,N分别是AB、CD的中点，因此NC//=AM，从而可推证出AN//CM。这样我们分别过D，B两点作AN的平行线，则“平行线等分线段定理”的基本图形构成使思路形成。

思路二：若我们没有想到“平行线等分线段定理”，而在平行四边形ABCD中，观察到M，N点分别是△DEC及△AFB的CD、AB边的中点，这时，我们自然联想“平行线等分线段定理推论”的基本图形，只需要推证出F点是DE的中点，E点是FB的中点，显然，不论是联想“平行线等分线段定理”的基本图形，还是“平行线等分线段定理推论”的基本图形，其共性特点，即解决问题的关键，都需要推证出AN//MC，两种思路但根据已知条件，推证AN//MC的方法是一样的。

证明一：分别过D、B两点GD//AN，BH//AN四边形ABCD是平行四边形，CD//=AB.

又M、N分别是AB、CD的中点，AM//=NC，四边形AMCN是平行四边形，AN//MC.GD//AN//MC//BH.BE=EF=FD（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它直线上截得的线段边相等。）

证明二：四边形ABCD是平行四边形，AB//=CD，又M、N分别是AB、CD的中点，AM//=NC，四边形AMCN是平行四边形。AN//CM。NF//CE，ME//AF。F点是DE的中点，E点是BF的中点。（经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。）FE=FD，BE=FE即BE=EF=FD。

说明：平行线等分线段定理及推论常需要与平行四边形及特殊平行四边形的性质综合应用。特别需要注意的是运用平行线等分线段定理的推论是说明中点的。因此，在推证中“点X是中点”这一步是绝不可省略不写的。

★★例2：如图，梯形ABCD中，AD//BC，BC>AD，E、F分别是AD、BC的中点，C=54，B=36，求证：EF=（BC-AD）

思路一：要推证梯形上底，下底中点连线等于两底差的一半，我们不能将AD移到BC上，因此需将梯形通过作平行线转化为平行四边形和三角形，由于BF=FC=BC，AE=ED=AD，因此过E点分别作EM//AB，EN//DC，交BC于M、N.于是可知，MF=BC-AD，FN=BC-AD显然应该有MF=FN，而结论需推证EF=MF=FN因而可联想“一边的中线，等于这边一半”的基本图形应该是RT△，若△MEN是直角三角形，则问题得以解决。因而推证△MEN是直角三角形，成为解决问题的关键。由于B=36，C=54，显然，B+C=90，由于EM//AB，EN//CD，因此有1=36，，从而转化为，从而可推证出，思路形成再利用直角三角形斜边中线，等于斜边的一半，推证出结论。

思路二：若我们观察图形，根据已知条件联想图形性质时，从，，敏感到互余的性质，会自然联想到直角三角形，因而我们可通过延长梯形两腰转化为直角三角形。由于AD//BC，显然△ADM与△BCM都是直角三角形。由于E是AD中点，因此ME=AD2．60

提示：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD，，又

3．14cm.

提示：EF是梯形ABCD的中位线，EF//AD//BCP是BD的中点.EP=EP：PF=1：2

4．证明一：延长CE交AB于G

AD是BAC的平分线，又AE=AE，CEAD，ΔAEGΔAEC，GE=CE。又EF//BG。F是BC中点。

证明二：延长FE交AC于G，FG//AB，则AG=EGAG=CGF是BC中点。

5．证明：过M点分别作MD//AC，MN//AB，交AB于D，交AC于N,M是BC中点，D、N分别为AB、AC中点。DM//=AN//=NC，MN//=AD//=DBAT//MF，，又BE=DE+CF=2AN+AF=2DE+AE即CF=DE+又BE=CF=

6．证明：取CF的中点M，连结DM。D、E分别是BC、AD的中点，DE=BC=ADBD=DE又DM是ΔBCF的中位线，DM//=EF//DMF点是AM的中点，EF是ΔADM的中位线。DM=2EF=2AFBF=2DM=4AF

7．证明：连结AC、BD分别交PS、QR、SR、PQ于E、F、G、H点分别过AC、BD点作BD、AC的平行线L、L、L、LP、Q是AB、BC的中点，S、R是AD、CD的中点，，SR//=AC

PQ//=SR四边形PSRQ是平行四边形。PS//=QR//BDL//P